信號(hào)與系統(tǒng)PPTcp7-1-離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析-胡

1、連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的分析：連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的分析： 時(shí)域（第時(shí)域（第1 1章、章、2 2章）章） 變換域變換域 頻域（第頻域（第3 3章、章、4 4章）章） 復(fù)頻域（第復(fù)頻域（第5 5章）章）離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析：離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析： 時(shí)域（第時(shí)域（第6 6章）章） 頻域（第頻域（第7 7章）章） 變換域變換域 復(fù)頻域（第復(fù)頻域（第8 8章）章） 本章介紹主要內(nèi)容：本章介紹主要內(nèi)容： 離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析即離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析即離散傅立葉分析離散傅立葉分析 信號(hào)的頻域分析包括：信號(hào)的頻域分析包括： 周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFSDFS） 非周

2、期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFTDTFT） 離散傅立葉變換和反變換（離散傅立葉變換和反變換（DFTDFT） 快速算法即快速傅立葉變換（快速算法即快速傅立葉變換（FFTFFT） 快速傅立葉反變換（快速傅立葉反變換（IFFTIFFT） 離散系統(tǒng)的頻域分析方法離散系統(tǒng)的頻域分析方法 n mnmmmmy nh m x nmh m zzh m z h n nx nzz為任意復(fù)數(shù) mmH zh m z ny nz H z特征函數(shù)或特征信號(hào)特征函數(shù)或特征信號(hào) nz系統(tǒng)特征值、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)特征值、系統(tǒng)函數(shù) H zLSI卷積和卷積和任意的復(fù)指數(shù)序列任意的復(fù)指數(shù)序列 響應(yīng)響應(yīng))

3、(ny nkkkx na z x n x n nkkkkkky nyna H zz 本章中考慮本章中考慮 的情況的情況njez0jte0002T 002,0, 1, 2,jkT tjktkteek 或002T 連續(xù)時(shí)間虛指數(shù)信號(hào)連續(xù)時(shí)間虛指數(shù)信號(hào)基波頻率基波頻率基波周期基波周期信號(hào)集信號(hào)集 0 x tx tkT連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)為周期為周期 00001220(:11(:2(:(:jtjtjntnktktekteknte 零次諧波或直流）； 1次諧波或基波）； 2次諧波）； ； n次諧波）等。0T虛指數(shù)序列虛指數(shù)序列 02N 2jN ne22jnNjnNNee kNnxnx類似的，

4、周期序列類似的，周期序列（N為基波周期）為基波周期）周期為周期為N的周期序列的周期序列基波頻率為基波頻率為 以以 N 為周期的周期虛指數(shù)序列也可以構(gòu)成一個(gè)序列集為周期的周期虛指數(shù)序列也可以構(gòu)成一個(gè)序列集 02,0, 1, 2,jknjknNkneek或 kt 中具有無窮多個(gè)互不相同中具有無窮多個(gè)互不相同(對(duì)對(duì)k而言而言)的諧波信號(hào)，與虛指的諧波信號(hào)，與虛指 數(shù)序列集的情況有所不同，數(shù)序列集的情況有所不同，虛指數(shù)序列集是周期相同的。虛指數(shù)序列集是周期相同的。 類似：類似：02N 周期的序列周期的序列 周期周期N 基波頻率基波頻率 序列集中每一個(gè)序列的頻率均為基波頻率的整數(shù)倍，因而序列集中每一個(gè)序

5、列的頻率均為基波頻率的整數(shù)倍，因而各個(gè)序列的頻率之間構(gòu)成各個(gè)序列的頻率之間構(gòu)成諧波關(guān)系諧波關(guān)系。說明：說明：DFSDFS為一有限項(xiàng)級(jí)數(shù)為一有限項(xiàng)級(jí)數(shù), ,即任一周期為即任一周期為 N N 的周期序列的周期序列 ，都可以分解，都可以分解為為 N N 項(xiàng)獨(dú)立的虛指數(shù)序列項(xiàng)獨(dú)立的虛指數(shù)序列 的線性組合。的線性組合。7.2.1 離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)展開式離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)展開式 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分析中，一個(gè)周期為離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分析中，一個(gè)周期為N N 的周期序列的周期序列 可以用可以用 中所有獨(dú)立的中所有獨(dú)立的N N 個(gè)虛指數(shù)序列的線性組合表示，即個(gè)虛指數(shù)序列的線性組合表示，即 Nxn

6、 kn 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en Nxn NXk2,jknNekN周期序列周期序列DFSDFS NxnDFSDFS的系數(shù)，也稱為的系數(shù)，也稱為 的頻譜系數(shù)的頻譜系數(shù). . tjnnenXtx00比較，連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開比較，連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開7.2.2 傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)10, 11,11NnNnNqqqqq （7.14）2jkNqe0, 2,kNN21jkNe2122022 0, 2,110,11NjknjkNNj kNnjkjkNNNkNNeeekee 其余 值，注意到在2, 0, 2,0 jknNnNNkNNek，其余 值一個(gè)重

7、要式一個(gè)重要式子的證明子的證明周期序列求和周期序列求和與起點(diǎn)無關(guān)與起點(diǎn)無關(guān)幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)離散序列的直流離散序列的直流 基波基波 二次諧波二次諧波N-1N-1高次諧波高次諧波 在區(qū)間在區(qū)間 上構(gòu)成一個(gè)正交序列集，正交性可以表示為：上構(gòu)成一個(gè)正交序列集，正交性可以表示為：在幾何級(jí)數(shù)求和公式：令，注意到在時(shí)， （7.15） knnN 2,0,1,2,0 ,0,1,2,lj k lnNknNnNN klmN mnneklmN m可知：可知：20jnNe2jnNe22jnNe21j NnNe，正交正交同乘以同乘以 在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)n 求和求和2jmnNe 2222 = jmnjmnjknN

8、NNNNnNnNkNj k mnNNkNnNxn eeXk eXke交換求和次序（7.18）mkmk 21jkN nNNnNXkxn eN分析公式分析公式 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 內(nèi)和式為零內(nèi)和式為零內(nèi)和式為內(nèi)和式為N 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 周期序列周期序列DFS 21jkN nNNnNXkxn eN分析公式分析公式 DFS 00001tTjnttX nx t edtT比較比較 tjnnenXtx007.2.3 展開式系數(shù)展開式系數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì) NXkDFS DFS 的系數(shù)的系數(shù) 有與連續(xù)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)有與連續(xù)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù) 相似的性

9、質(zhì)，兩者之間相似的性質(zhì)，兩者之間的根本區(qū)別在于的根本區(qū)別在于 具有周期性具有周期性。（1 1）若）若 是一個(gè)周期為是一個(gè)周期為 的周期序列，則的周期序列，則 也是一個(gè)周期為也是一個(gè)周期為N N的的周期序列周期序列 （2 2）若）若 是實(shí)周期序列時(shí)，則是實(shí)周期序列時(shí)，則 具有具有共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性 （3 3） 的模和相角分別是的模和相角分別是k k 的的偶函數(shù)和奇函數(shù)，偶函數(shù)和奇函數(shù)， 的實(shí)部和的實(shí)部和虛部分別是虛部分別是k k 的的偶函數(shù)和奇函數(shù)偶函數(shù)和奇函數(shù)。 NXk NXknX NxnN NXk NNXkNXk Nxn NXk NNXkXk 2211jkN njkN nNNNNnNnNX

10、kxn exn eXkNN NXk NXk例：求序列例：求序列 的頻譜系數(shù)。的頻譜系數(shù)。 （7.77.7）因此， 0sinx nn解：解：（1 1）對(duì)于正弦序列來說，要成為周期序列對(duì)于正弦序列來說，要成為周期序列, ,02應(yīng)為應(yīng)為N N 221122jN njN nx neejj 11 2 ,11 2 ,0,1 NNNXj Xj Xkk 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en 對(duì)比對(duì)比K=1K=-111 2 ,11 2 , NNXNj XNj0,1NXNkk （7.7）因此，周期性正弦序列周期性正弦序列 在長(zhǎng)度為在長(zhǎng)度為N N 的任一周期內(nèi)的任一周期內(nèi)僅有僅有兩個(gè)非零兩個(gè)非零的系數(shù)

11、。的系數(shù)。 0sinx nn （7.7）因此，02 P N (2) ，且，且P、N 無公約數(shù)，無公約數(shù)， 是周期序列是周期序列 x n 221122jPN njPN nx neejj 1 2 ,1 2 ,0, NNNXPj XPj XkkP 2,jkN nNNkNkNkNxnXknXk en （7.7）因此， （7.7）因此， （7.7）因此， 11112211 NNjknjknNNNNnNnNX kx n eeNN11212122122121sin21,0,2,1 sin21,0,2,NNjkjkjkNNNjkjkjkNNNNkNeeekNNNkNNeeeNkNNN，1122121= 1jk

12、NjkNNNjkNeeNe1221121,111,1nnnnn naaaaanna利用 （7.7）因此，110sin21/ 2211sin/ 2NNNN101001sin210212221NkNNkNkNN 第一個(gè)零點(diǎn)位置第一個(gè)零點(diǎn)位置峰值為峰值為2kN （7.7）因此，隨著隨著N 的增大，譜線的幅度和間隔的增大，譜線的幅度和間隔( )都都減小減小脈沖寬度脈沖寬度N1 越大，則頻譜包絡(luò)的主瓣寬度越大，則頻譜包絡(luò)的主瓣寬度( ) 越窄越窄 N21221N與連續(xù)周期矩形脈沖的結(jié)論類似與連續(xù)周期矩形脈沖的結(jié)論類似2-T-T1 1T T1 1E E0 02 txt連續(xù)、周期連續(xù)、周期非周期、離散非周期

13、、離散離散、周期離散、周期周期、離散周期、離散7.2.4 7.2.4 離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性若用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來近似表示原信號(hào)序列，若用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來近似表示原信號(hào)序列，DFS DFS 不存在不存在收斂收斂問題，也問題，也不存在不存在吉布斯吉布斯現(xiàn)象，這也是它和連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)之間的一個(gè)差別現(xiàn)象，這也是它和連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)之間的一個(gè)差別 NxnN N 為周期的離散時(shí)間序列為周期的離散時(shí)間序列N N 個(gè)序列值是獨(dú)立的個(gè)序列值是獨(dú)立的信號(hào)的一個(gè)周期信號(hào)的一個(gè)周期DFS DFS 的系數(shù)的系數(shù) 也是以也是以N N 為周期的，它有為周期的，它有N N 個(gè)獨(dú)立的值個(gè)獨(dú)立的值 N

14、Xk NXk序列在時(shí)域中序列在時(shí)域中N N 個(gè)獨(dú)立的值個(gè)獨(dú)立的值頻域中頻域中N N 個(gè)獨(dú)立的值個(gè)獨(dú)立的值對(duì)應(yīng)變換對(duì)應(yīng)變換原離散時(shí)間信號(hào)可以用復(fù)指數(shù)序列線性原離散時(shí)間信號(hào)可以用復(fù)指數(shù)序列線性組合表示，而系數(shù)就是這組合表示，而系數(shù)就是這N N 個(gè)獨(dú)立值個(gè)獨(dú)立值周期性矩形脈沖序列的周期周期性矩形脈沖序列的周期N N 頻譜譜線的間隔頻譜譜線的間隔 時(shí)域中時(shí)域中 周期序列周期序列 非周期序列非周期序列 頻域中頻域中 離散頻譜離散頻譜 連續(xù)頻譜，連續(xù)頻譜， 譜線的幅度也將趨于無窮小量譜線的幅度也將趨于無窮小量DFS DFS 不適宜表述離散非周期信號(hào)，這種情況與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的完全相似。不適宜表述離散非周期信

15、號(hào)，這種情況與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的完全相似。采用與連續(xù)時(shí)間情況下對(duì)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)令周期趨于無窮大，從而引采用與連續(xù)時(shí)間情況下對(duì)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)令周期趨于無窮大，從而引出非周期信號(hào)的傅立葉變換完全相同的方法。出非周期信號(hào)的傅立葉變換完全相同的方法。由周期序列的由周期序列的DFSDFS來建立非周期離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換表示式，稱之為來建立非周期離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換表示式，稱之為離散時(shí)間傅立葉變換（離散時(shí)間傅立葉變換（DTFTDTFT）。2NN 7.3.1 7.3.1 非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換周期延拓周期延拓 x n Nxn 11,0 ,NxnnNx n

16、nN隨著周期隨著周期N N 的增大，的增大， 就會(huì)在一個(gè)更長(zhǎng)的時(shí)間段內(nèi)與就會(huì)在一個(gè)更長(zhǎng)的時(shí)間段內(nèi)與 一致一致當(dāng)當(dāng) 時(shí)，在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)或者說對(duì)于任意時(shí)，在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)或者說對(duì)于任意 n n 值，值， Nrxnx nrN Nxn x nN Nxnx n 周期序列周期序列 N N 在區(qū)間在區(qū)間 所在的這個(gè)周期內(nèi)，有所在的這個(gè)周期內(nèi)，有 , ,將求和區(qū)間將求和區(qū)間 就選在該周期內(nèi)就選在該周期內(nèi)周期序列周期序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)為的離散傅里葉級(jí)數(shù)為 Nxn 2jkN nNNkNxnXk e 21jkN nNNnNXkxn eN2nN Nxnx nN 112211NjkN njkN nNNnNnXkx

17、n ex n eNN 2jkN nNnNXkx n eN 02Nd 0NXk NNXk jX eNkk/20非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換DTFTDTFT jj nnX ex n e頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù) 把區(qū)間把區(qū)間 稱為稱為 的的主值區(qū)間主值區(qū)間 ：弧度為單位的：弧度為單位的數(shù)字頻率數(shù)字頻率 ：周期：周期 以以 為變量的連續(xù)函數(shù)為變量的連續(xù)函數(shù) jX e2, 周期序列離散傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)周期序列離散傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 就是與其相對(duì)應(yīng)的非周期序列即有就是與其相對(duì)應(yīng)的非周期序列即有限長(zhǎng)序列的限長(zhǎng)序列的DTFT DTFT 在點(diǎn)在點(diǎn) 的抽樣值乘以的抽樣值乘以1/N1/

18、N，非周期序列的，非周期序列的DTFT DTFT 則是與其相對(duì)應(yīng)的周期序列的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的包絡(luò)則是與其相對(duì)應(yīng)的周期序列的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的包絡(luò) 。 jj nnX ex n e 021jNkkNXkX eN NXkjX e0kjX e NNXk jjjjjRIX eX eeXejXe 21jkN nNNnNXkxn eN jj nnX ex n e7.3.2 非周期序列的離散時(shí)間傅里葉反變換非周期序列的離散時(shí)間傅里葉反變換變?yōu)橐粋€(gè)非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變?yōu)橐粋€(gè)非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉反變換反變換 021jNkkNXkX eN 00012jkjknNkNxnX ee02N N 212jj n

19、x nX eedIDTFTIDTFTDTFTDTFTnNjkNkNNekXnx)/2()()(時(shí)域中的非周期序列時(shí)域中的非周期序列 可以分解為無窮多個(gè)頻率從可以分解為無窮多個(gè)頻率從 連續(xù)分布連續(xù)分布的的虛指數(shù)序列的線性組合虛指數(shù)序列的線性組合，每個(gè)虛指數(shù)分量的幅度，每個(gè)虛指數(shù)分量的幅度 積分區(qū)間可以是任何一個(gè)長(zhǎng)度為積分區(qū)間可以是任何一個(gè)長(zhǎng)度為 的區(qū)間，對(duì)應(yīng)于的區(qū)間，對(duì)應(yīng)于DFSDFS中中k k 的取值周期的取值周期N N。 212jj nx nX eedjX ej nejjnX ee x n0 212jX ed表明：表明：2周期周期連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)2周期周期連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)2

20、jj nnX ex n e 212jj nx nX eedIDTFTIDTFTDTFTDTFT7.3.3 7.3.3 非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換的收斂性非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換的收斂性對(duì)于無限長(zhǎng)的非周期序列，并不一定能保證其對(duì)于無限長(zhǎng)的非周期序列，并不一定能保證其DTFTDTFT都存在都存在如果序列如果序列 滿足絕對(duì)可和條件，即滿足絕對(duì)可和條件，即 或者若或者若 的能量有限，即的能量有限，即應(yīng)該注意，由于有應(yīng)該注意，由于有所以這里的絕對(duì)可和與平方可和的條件并不是等價(jià)的所以這里的絕對(duì)可和與平方可和的條件并不是等價(jià)的序列的絕對(duì)可和與平方可和只是離散時(shí)間傅立葉變換收斂的序列的絕對(duì)可和與平方

21、可和只是離散時(shí)間傅立葉變換收斂的充分條件充分條件，離散時(shí)間傅立葉變換存在的離散時(shí)間傅立葉變換存在的充分必要條件充分必要條件至今尚未找到。至今尚未找到。 x n x n nx n 2nx n 22nnx nx n jj nnX ex n e收斂收斂周期、離散周期、離散 周期周期N N非周期、連續(xù)非周期、連續(xù) ：幅頻、相頻特性：幅頻、相頻特性 非周期、離散非周期、離散 ：頻譜線：頻譜線連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)、連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)、離散周期信號(hào)、離散非周期時(shí)間連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)、連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)、離散周期信號(hào)、離散非周期時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析表示式，這些表示式在時(shí)域和頻域上，均具有離散性和周信號(hào)的傅立葉分析表

22、示式，這些表示式在時(shí)域和頻域上，均具有離散性和周期性、連續(xù)性和非周期性之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。期性、連續(xù)性和非周期性之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。周期、連續(xù)周期、連續(xù) 周期周期 txjXnXkTtx連續(xù)非周期函數(shù)連續(xù)非周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)與離散傅氏分析比較連續(xù)與離散傅氏分析比較FSFSFTFTjeXDTFDTFT T nxN kXN nx時(shí)域的非周期時(shí)域的非周期頻域的連續(xù)頻域的連續(xù)頻域的周期頻域的周期頻域的非周期頻域的非周期頻域的離散頻域的離散時(shí)域的離散時(shí)域的離散時(shí)域的連續(xù)時(shí)域的連續(xù)時(shí)域的周期時(shí)域的周期離散周期序列離散周期序列離散非周期序列離散非周期序列DFSDFS2規(guī)律：規(guī)律：幅度譜、相位

23、譜都是以幅度譜、相位譜都是以22為周期的周期函數(shù)。因而一般只要畫出為周期的周期函數(shù)。因而一般只要畫出 或或 譜線圖即可。譜線圖即可。1 1、單邊指數(shù)序列、單邊指數(shù)序列 nx nan1a 1a 011( )()11cossinjnjnjnjnnX ean eaeaeaja 2112 cosjX eaasinarctan1cosaa 頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性0 2圖（圖（a a），由于序列值變化較慢，所以幅度譜集中在），由于序列值變化較慢，所以幅度譜集中在 附近，附近，即頻譜能量主要集中在即頻譜能量主要集中在低頻低頻附近，具有附近，具有低通特性低通特性；圖（圖（b b）

24、中，由于序列值正負(fù)交替，變化較快，故其幅度譜集中在）中，由于序列值正負(fù)交替，變化較快，故其幅度譜集中在 附近，即頻譜能量主要集中在附近，即頻譜能量主要集中在高頻高頻附近，具有附近，具有高通特性高通特性。 越接近于越接近于1 1，其幅頻特性曲線越尖。，其幅頻特性曲線越尖。0, 2 , 4 , , 3 , a 為一實(shí)偶序列，其頻譜也是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)，其相位譜為零。為一實(shí)偶序列，其頻譜也是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)，其相位譜為零。 時(shí)，雙邊指數(shù)序列的頻譜圖如圖所示。時(shí)，雙邊指數(shù)序列的頻譜圖如圖所示。2 2、雙邊指數(shù)序列、雙邊指數(shù)序列1a nx na10100022 11 =11111 1 2 cosnjj nnj

25、nnj nnnnnnjjnnnnjjjjnnX ea ea ea eaeaemnaeaeaeaeaaa 上等式第一個(gè)和式中作代換： x n01a3 3、矩形脈沖序列、矩形脈沖序列有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列 11x nnNnN111111212122211222sin212 = 1sin2NNjjjjNNj Njj njjjjnNeeeNeeX eeeeee 的頻譜為的頻譜為1 1，這表明單位脈沖信號(hào)包含了所有的頻率分量，而且，這表明單位脈沖信號(hào)包含了所有的頻率分量，而且這些頻率分量的幅度和相位都相同。這些頻率分量的幅度和相位都相同。 的波形及頻譜示于圖中。的波形及頻譜示于圖中。4 4、單位樣值序列、

26、單位樣值序列 x nn 1jjnnX en e n n5 5、常數(shù)序列、常數(shù)序列 不滿足絕對(duì)可和條件，不能直接應(yīng)用公式不滿足絕對(duì)可和條件，不能直接應(yīng)用公式 離散直流信號(hào)（常數(shù)）離散直流信號(hào)（常數(shù)）1 1 頻域中強(qiáng)度頻域中強(qiáng)度 2kkk22， 1x n 21 122jlX elkkk22周期為周期為若若2區(qū)間上只一個(gè)區(qū)間上只一個(gè) 21112222j nj nlleded 2 1x n 1 1kkk2222jlX elkkk22周期周期6 6、符號(hào)函數(shù)序列、符號(hào)函數(shù)序列該序列可以看成是雙邊指數(shù)序列該序列可以看成是雙邊指數(shù)序列 2， 100010nx nsgn nnn nnanan 1lim,01n

27、naSgn nanana211112sinsinlimlim111 2 cos1 cosjjjaajajX eaeaeaa 11njDTFT anae 0011nnnjnjjnnDTFT ana eaeae 實(shí)奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)7 7、單位階躍序列、單位階躍序列應(yīng)用上面所求出的三個(gè)序列即應(yīng)用上面所求出的三個(gè)序列即1 1、 和和 的離散時(shí)間傅立葉變換的離散時(shí)間傅立葉變換2 x nn 112nsgn nn sgn n n1sin112221 cos2 1 cos1 2111 21jjkkjjjkjkjeX ekkekeeke 離散時(shí)間傅里葉變換有著與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換相類似的特點(diǎn)，離散

28、時(shí)間傅里葉變換有著與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換相類似的特點(diǎn)，推導(dǎo)得到的頻譜也有著對(duì)應(yīng)關(guān)系。推導(dǎo)得到的頻譜也有著對(duì)應(yīng)關(guān)系。但他們又有著根本的區(qū)別，離散時(shí)間信號(hào)的頻譜是以但他們又有著根本的區(qū)別，離散時(shí)間信號(hào)的頻譜是以22為周為周期的周期函數(shù)，這一點(diǎn)應(yīng)期的周期函數(shù)，這一點(diǎn)應(yīng)特別注意特別注意。2注意：注意：連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析周期信號(hào)和非周期信號(hào)均可用其傅立葉變換來表示周期信號(hào)和非周期信號(hào)均可用其傅立葉變換來表示 周期信號(hào)的傅立葉變換表示式是利用在周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉變換表示式是利用在周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式兩邊取傅立葉變換的方法導(dǎo)出的。展開式兩邊取傅立葉變換的方

29、法導(dǎo)出的。類似地，類似地，周期序列的周期序列的DTFTDTFT利用在周期序列的傅立葉級(jí)數(shù)展開式兩邊取離利用在周期序列的傅立葉級(jí)數(shù)展開式兩邊取離散時(shí)間傅立葉變換得出周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換，從而散時(shí)間傅立葉變換得出周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換，從而也使周期序列與非周期序列都可以統(tǒng)一地用其離散時(shí)間傅立葉也使周期序列與非周期序列都可以統(tǒng)一地用其離散時(shí)間傅立葉變換來表示。變換來表示。1 1、 周期性虛指數(shù)序列的離散時(shí)間傅立葉變換周期性虛指數(shù)序列的離散時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間 離散域中離散域中021222j nlled kkk2200jte02 由于在任意一個(gè)長(zhǎng)度為由于在任意一個(gè)長(zhǎng)度為 的積分

30、區(qū)間內(nèi)只含有一個(gè)單位樣值信號(hào)，積分的積分區(qū)間內(nèi)只含有一個(gè)單位樣值信號(hào)，積分區(qū)間選擇包含區(qū)間選擇包含 處的單位樣值信號(hào)處的單位樣值信號(hào)02 r r 為任意整數(shù)對(duì)偶對(duì)偶kkk2202的頻譜的頻譜0jnejX e0022040nje0kkk2200000022212222 j nj nljr nj nrjnl edr ede e ekkk220002jnlDTFTl e27.5 周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換 tjnnnTeXtx112nXnntje11122kknjkeDTFT2200 001001000 22 22 0-1 2 2 jknjNkNNkNlNNlkNNlk

31、X eXkDTFT eXkklXkklkNXkklNN 的取值范圍選為 是周期函數(shù)是周期函數(shù) NXk ,0, 1, 2,NNXkXklNl 2. 2. 一般周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換一般周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換周期序列周期序列DFSDFS兩邊同時(shí)取兩邊同時(shí)取DTFTDTFT 2jkN nNNkNxnXk e 1001100000 0:1: = NNkNNNNkkNlXkklXkkNXkNkNXkkk 211100003102:222 = 2 NkNNNNNkkNNkNkNlXkkNXkNkNXkkkkN 2 110000110 : = NNNNkkmNNkNlmXkkmNXkmNkmNX

32、kkkkmN m 周期函數(shù)周期函數(shù) 111000022 =2mNNjNNkkmNNkX eXkkXkkXkk + 0=2jNkX eXkk 1 1）周期序列）周期序列 的的DTFTDTFT由一系列沖激序列組成；由一系列沖激序列組成；2 2）各個(gè)沖激序列僅出現(xiàn)在）各個(gè)沖激序列僅出現(xiàn)在 的各次諧波頻率點(diǎn)上即基波頻率的各次諧波頻率點(diǎn)上即基波頻率 的整數(shù)倍頻率上，位于頻率的整數(shù)倍頻率上，位于頻率 處沖激序列強(qiáng)度為處沖激序列強(qiáng)度為 ；3 3）傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)）傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 是以是以 為周期的（相當(dāng)于為周期的（相當(dāng)于 以以 為周期），為周期）， 是一個(gè)周期等于是一個(gè)周期等于 的周期函數(shù)。的周期函數(shù)。3

33、 3）與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉變換表示式完全對(duì)應(yīng)，其含義也相同。）與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉變換表示式完全對(duì)應(yīng)，其含義也相同。 類似于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，對(duì)于類似于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，對(duì)于 即可以利用其定義式求取，也可以即可以利用其定義式求取，也可以利用單個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換求得，即利用單個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換求得，即 Nxn02N 2kk N 2NXk NXkN2jX eN NXk 011jNkXkXeN tjnnnTeXtx112nXnn 0=2jNkX eXkk 7.5 周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換 nNjkNkNNekXnx/2連續(xù)周期連

34、續(xù)周期FSFS離散周期離散周期DFSDFS離散周期離散周期DTFTDTFT連續(xù)周期連續(xù)周期FTFTdtetxTXTTtjnn221111)(1dtetxXTTtj22011)()(1)(101nnXTX 011jNkXkXeN 21jkN nNNnNXkxn eNNnnjNjenxeX)()(1 011jNkXkXeN 12nXXnn 是周期序列是周期序列 在第一個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)的在第一個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)的DTFTDTFT1jXe Nxn00100102= =jkjkjkkX eXekNXek 周期序列（或信號(hào)）的周期序列（或信號(hào)）的DTFT(DTFT(或或FT)FT)與它的單個(gè)周期與它的單個(gè)周期內(nèi)

35、序列（或信號(hào)）的內(nèi)序列（或信號(hào)）的DTFT(DTFT(或或FTFT）之間的關(guān)系）之間的關(guān)系 0=2jNkX eXkk 1)(101nnXTX 110111012nnXnnXTXnn對(duì)比對(duì)比小小 結(jié)結(jié) 2jkN nNNkNxnXk e 21jkN nNNnNXkxn eNDFSDFS周期序列周期序列 jj nnX ex n e 212jj nx nX eedDTFTDTFT非周期序列、周期序列非周期序列、周期序列 0=2jNkX eXkk 011jNkXkXeN NnnjNjenxeX)()(1 21jkN nNNnNXkxn eN周期序列周期序列DTFTDTFT離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào) 的離散

36、時(shí)間傅立葉變換的離散時(shí)間傅立葉變換 對(duì)于對(duì)于 以以 為周期為周期 x njX e22jjX eX e1.1.周期性周期性 2.2.線性線性 11( )jDTFT x nXe22( )jDTFT x nXe1 1221122( )( )()()jjDTFT a x na x na X ea Xe3.3.位移（時(shí)移）性位移（時(shí)移）性 00()()j njDTFT x nneX e 表明表明：序列位移（時(shí)移）后其幅頻特性保持不變，相頻：序列位移（時(shí)移）后其幅頻特性保持不變，相頻特性附加一個(gè)線性相移，即時(shí)域位移對(duì)應(yīng)頻域相移。特性附加一個(gè)線性相移，即時(shí)域位移對(duì)應(yīng)頻域相移。4.4.頻移性頻移性 00( )

37、jjnDTFT ex nX e 表明：表明：時(shí)域調(diào)制對(duì)應(yīng)于頻域頻移時(shí)域調(diào)制對(duì)應(yīng)于頻域頻移 122lDTFTl002jnlDTFTl e2000sin22lDTFTnllj 000cos22lDTFTnll 正弦和余弦序列的波形及其頻譜圖正弦和余弦序列的波形及其頻譜圖 oxn1 1）共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列）共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列 時(shí)域時(shí)域復(fù)序列復(fù)序列任一復(fù)序列任一復(fù)序列 可以分解為一個(gè)共軛對(duì)稱序列分量與一個(gè)共可以分解為一個(gè)共軛對(duì)稱序列分量與一個(gè)共軛反對(duì)稱序列分量和軛反對(duì)稱序列分量和5. 5. 對(duì)稱性對(duì)稱性 nxe *ooxnxn nxnxee*共軛對(duì)稱序列共軛對(duì)稱序列共軛反對(duì)稱序列共

38、軛反對(duì)稱序列 *eeooxnxnxnxnxn eox nxnxn *1-2oxnx nxn nxnxnxe-21* nx 分解分解 jX ejjjeoX eXeXe jjeeXeXejjooXeXe 共軛對(duì)稱分量共軛對(duì)稱分量共軛反對(duì)稱分量共軛反對(duì)稱分量12 jjjeXeX eXe12 jjjoXeX eXeDTFTDTFT頻域頻域復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) nx 2 2 復(fù)序列離散時(shí)間傅立葉變換的對(duì)稱性復(fù)序列離散時(shí)間傅立葉變換的對(duì)稱性（1 1）若）若（2 2）復(fù)序列分解為實(shí)部分量和虛部分量）復(fù)序列分解為實(shí)部分量和虛部分量 rix nxnjx n 時(shí)域序列的實(shí)部分量和虛部分量與該序列時(shí)域序列的實(shí)部分量和虛部分

39、量與該序列頻域函數(shù)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量相對(duì)應(yīng)頻域函數(shù)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量相對(duì)應(yīng) )(jeXnxDTFT )(*jnnjnnjeXenxenxnxDTFT )(*jnnjnnjeXenxenxnxDTFT )()()(2121*jejjreXeXeXnxnxDTFTnxDTFT )()()(2121*jojjieXeXeXnxnxDTFTnjxDTFT（3 3）()()()jjjRIX eXejXe eox nxnxn 時(shí)域序列的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量與時(shí)域序列的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量與 該序列頻域函數(shù)的實(shí)部和虛部相對(duì)應(yīng)該序列頻域函數(shù)的實(shí)部和虛部相對(duì)應(yīng) )()()

40、(2121*jRjjeeXeXeXnxnxDTFTnxDTFT )()()(2121*jIjjoejXeXeXnxnxDTFTnxDTFT（4 4）實(shí)序列）實(shí)序列DTFTDTFT的對(duì)稱性的對(duì)稱性1 1）實(shí)序列）實(shí)序列 的的DTFTDTFT具有共軛對(duì)稱性具有共軛對(duì)稱性 x nx nxn= = 8.59 jjX eXex nxn在式中應(yīng)用條件：()()()jjjRIX eXejXe()()jjRRXeXe ()()jjIIXeXe arg()()()jjX ejjX eX ee|()| |()|jjX eX e argargjjX eX e 實(shí)部實(shí)部 是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù)虛部虛部 是是 的奇函數(shù)

41、的奇函數(shù)()jRXe()jIXe 幅頻特性是幅頻特性是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， 相頻特性是相頻特性是 的奇函數(shù)的奇函數(shù)2 2）任一實(shí)序列總能分解為一個(gè)偶對(duì)稱序列分量和一個(gè)奇對(duì)稱序列）任一實(shí)序列總能分解為一個(gè)偶對(duì)稱序列分量和一個(gè)奇對(duì)稱序列分量之和，即分量之和，即 ( )( )( )eox nx nx n( )()eex nxnoo( )() x nxn奇對(duì)稱序列奇對(duì)稱序列偶對(duì)稱序列偶對(duì)稱序列 12exnx nxn 12oxnx nxn( )jeRDTFT x nXe( )joIDTFT x njXe實(shí)序列偶分量的實(shí)序列偶分量的DTFTDTFT為原序列傅立葉變換的實(shí)部分量為原序列傅立葉變換的實(shí)部分量

42、 奇分量的奇分量的DTFTDTFT為原序列傅立葉變換的虛部分量為原序列傅立葉變換的虛部分量 jRXejIjXe實(shí)實(shí)實(shí)實(shí)時(shí)域時(shí)域頻域頻域共軛對(duì)稱共軛對(duì)稱共軛反對(duì)稱共軛反對(duì)稱共軛對(duì)稱共軛對(duì)稱共軛反對(duì)稱共軛反對(duì)稱虛虛虛虛6.6.時(shí)域卷積特性時(shí)域卷積特性 y nx nh n jDTFT y nY e ,jDTFT h nH e()()()jjjY eX eH e 它不僅將時(shí)域的卷積運(yùn)算簡(jiǎn)化為頻域的乘法運(yùn)算，提供了一種由頻它不僅將時(shí)域的卷積運(yùn)算簡(jiǎn)化為頻域的乘法運(yùn)算，提供了一種由頻域計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的簡(jiǎn)易方法，而且說明系統(tǒng)響應(yīng)域計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的簡(jiǎn)易方法，而且說明系統(tǒng)響應(yīng) 是離散系統(tǒng)頻率是離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)響應(yīng)

43、 對(duì)激勵(lì)信號(hào)頻譜對(duì)激勵(lì)信號(hào)頻譜 進(jìn)行加權(quán)的結(jié)果。產(chǎn)生這種時(shí)域卷積進(jìn)行加權(quán)的結(jié)果。產(chǎn)生這種時(shí)域卷積特性的根本原因是由于虛指數(shù)序列特性的根本原因是由于虛指數(shù)序列 是線性移不變系統(tǒng)的特征函數(shù)。是線性移不變系統(tǒng)的特征函數(shù)。注意：該特性不能直接應(yīng)用于兩個(gè)序列都是周期序列的情況，因?yàn)槠渚矸e注意：該特性不能直接應(yīng)用于兩個(gè)序列都是周期序列的情況，因?yàn)槠渚矸e和不收斂和不收斂()jY e()jH e()jX e x n7. 7. 頻域卷積特性（調(diào)制特性）頻域卷積特性（調(diào)制特性） y nx n z n jDTFTy nY e jDTFT x nX e ,jDTFT z nZ e()11()()* ()() ()22

44、jjjjjY eX eZ eX eZ ed頻域卷積性質(zhì)有兩個(gè)重要應(yīng)用頻域卷積性質(zhì)有兩個(gè)重要應(yīng)用: :其一是調(diào)制，即利用和正弦指數(shù)信號(hào)相乘對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行搬移，如其一是調(diào)制，即利用和正弦指數(shù)信號(hào)相乘對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行搬移，如頻移性質(zhì)；頻移性質(zhì)；其二是加窗，即利用和有限長(zhǎng)的窗口函數(shù)相乘對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行截?cái)?，其二是加窗，即利用和有限長(zhǎng)的窗口函數(shù)相乘對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行截?cái)?，如?shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。加窗的方法在信號(hào)分析、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、離散傅里如數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。加窗的方法在信號(hào)分析、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、離散傅里葉變換等許多方面都有著重要應(yīng)用，其主要原因在于不可能對(duì)一個(gè)無葉變換等許多方面都有著重要應(yīng)用，其主要原因在于不可能對(duì)一個(gè)無限長(zhǎng)的信號(hào)進(jìn)行處理，故而