大學(xué)物理系列之簡諧振動PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1大學(xué)物理系列之簡諧振動大學(xué)物理系列之簡諧振動如：機(jī)械振動、電磁振動、分子振動、原子振動。 任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為振動. 機(jī)械振動 物體圍繞一固定位置往復(fù)運(yùn)動. 如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及原子的振動等.機(jī)械振動的特點(diǎn)：（1）有平衡點(diǎn)。 （2）且具有重復(fù)性。即具有周期性振動。 第1頁/共66頁機(jī)械振動的分類： （1）按振動規(guī)律分： 簡諧、非簡諧、隨機(jī)振動。（2）按產(chǎn)生振動原因分： 自由、受迫、自激、參變振動。（3）按自由度分： 單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動。（4）按振動位移分： 角振動、線振動。（5）按系統(tǒng)參數(shù)特征分： 線性、非線性振動。 簡諧振動 最簡單、最

2、基本的振動.簡諧運(yùn)動復(fù)雜振動合成分解 第2頁/共66頁第3頁/共66頁一 彈簧振子的振動 彈簧振子若彈簧本身的質(zhì)量和摩擦力忽略不計(jì)，即只有彈性恢復(fù)力作用下的質(zhì)點(diǎn)的模型稱為彈簧振子 平衡位置物體所受合力為零，物體所在位置稱為平衡位置。kl0 xmoAA自然長度 l0平衡位置(原點(diǎn)）00Fx第4頁/共66頁xxFmoAA任意位置makxFkaxm mk2令xa2xtx222dd222d0dxxt 即簡諧振動的微分方程該微分方程的通解)cos(tAx簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程A,為求解時(shí)的積分常量，由初始條件決定。km 是由諧振子本身的性質(zhì)決定的，稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率。 第5頁/共66頁A簡諧振動的加

3、速度A簡諧振動的振動方程簡諧振動的速度AAA最大最大最大AAA第6頁/共66頁彈簧振子在彈性恢復(fù)力作用下的振動是簡諧振動。 （1）運(yùn)動學(xué)定義：物體位移隨時(shí)間按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）規(guī)律變化的運(yùn)動稱為簡諧振動。 x = A cos(t + )（2）動力學(xué)定義：物體僅受下式的合力作用的振動稱為簡諧振動。 F = - k x（3）簡諧振動的運(yùn)動微分方程 d2x / dt2+ 2 x = 0 簡諧振動定義 第7頁/共66頁討論: 豎直方向的彈簧振子的運(yùn)動是否簡諧振動？ 第8頁/共66頁 試證明，若選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動力學(xué)方程和振動方程相同。平衡點(diǎn)在受力平衡點(diǎn)小

4、球受彈性力大小選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)小球在為置坐標(biāo) 處所受彈性力合外力振動方程A動力學(xué)方程微分方程的解：均與水平彈簧振子結(jié)果相同第9頁/共66頁三 描寫簡諧振動的三個(gè)特征量 從描寫簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程 中可看出，一個(gè)簡諧振動系統(tǒng)，若確定了A、，則簡諧振動系統(tǒng)的振動就完全確定了，因此稱這三個(gè)量為簡諧振動的三個(gè)特征量。 )cos(tAx1 振幅A 物體的運(yùn)動范圍為： ，將物體離開平衡位置的最大位移的絕對值稱為振動的振幅。AxA平衡位置X-AA第10頁/共66頁2 周期和頻率 （1） 周期完成一次振動需時(shí)間-振動的周期。)()(Ttxtx)(cos)cos(TtAtA（2）頻率 每秒內(nèi)振動的

5、次數(shù)稱為頻率，單位：赫茲（HZ） 2T2TmkkmT2對彈簧振子：T122T角頻率 tx圖AAxT2TtoglT22周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)第11頁/共66頁3 相位 )cos(tAxAA相位 ：是界定振子在時(shí)刻 的運(yùn)動狀態(tài)的物理量運(yùn)動狀態(tài)要由位置 和速度 同時(shí)描述，而 和 的正負(fù)取決于 ，不是指開始振動，而是指開始觀測和計(jì)時(shí)。所謂時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)AA位置速度初始條件即為初相 ：是時(shí)，振子的相位。tx圖AAxT2TtoX20( 取 或 )第12頁/共66頁22020vxA4 常數(shù) 和 的確定A000vv xxt初始條件cos0Ax sin0Av)sin(tAv)cos(tAxk

6、m 00tanx v 0, 0, 0vxt已知 求2 0 2 0sin 取第13頁/共66頁某物體沿 X 軸作簡諧運(yùn)動，振幅 A = 0.12周期 T = 2 s，t = 0 時(shí)x0 = 0.06 m處初相 ,t = 0 .5 s 時(shí)的位置 x, 速度 v, 加速度 a物體背離原點(diǎn)移動到位置A = 0.12 m，T = 2 s , = 2 / T = rad s -1 , 將 = / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入諧振動的 x, v, a 定義式得x A cos ( t )0.104 (m)A0.19 ( m s -1 )A1.03 ( m s -2 )x = A cos ( t

7、)由簡諧振動方程t = 0 時(shí)0.06 = 0.12 cos 得 = / 3再由題意知 t = 0 時(shí)物體正向運(yùn)動，即A0且 = / 3，則 在第四象限，故取第14頁/共66頁0.040.0412簡諧振動的曲線完成下述簡諧振動方程A (m)T = 2 (s) = 2 / T = (rad /s )0.042SI0cos0 xA0sin0vA t=0時(shí)2 第15頁/共66頁在不能延伸的輕線下端懸一小球m，小球在重力和拉力作用下，在鉛直平面內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動，這樣的振動系統(tǒng)稱為單擺。 懸線與鉛直方向之間的角度作為小球位置的變量，稱為角位移，規(guī)定懸線在鉛直線右方時(shí)，角位移為正 。 懸線的張力和重力的合力沿

8、懸線的垂直方向指向平衡位置。 sinmgF二 單擺的振動 模型 平衡位置-鉛直方向0F 任意位置第16頁/共66頁當(dāng)很小時(shí) sin ( 5 )mgF 符合簡諧振動的動力學(xué)定義由牛頓第二定律mgmatmgdtdml22lg2令0222dtd)cos(tmsinmgFglT22第17頁/共66頁第18頁/共66頁)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE線性回復(fù)力是保守力，作簡諧運(yùn)動的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的動力學(xué)意義）總機(jī)械能振幅不變第19頁/共66頁簡 諧 運(yùn) 動 能 量

9、圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21均隨時(shí)間而變且能量相互轉(zhuǎn)換均隨時(shí)間而變且能量相互轉(zhuǎn)換變到最大時(shí)變?yōu)榱阆到y(tǒng)的機(jī)械能守恒。及A變?yōu)榱阕兊阶畲髸r(shí)第20頁/共66頁例 如圖，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=24N/m，重物的質(zhì)量m=6kg，重物靜止在平衡位置上。設(shè)以一水平恒力F=10N向左作用于物體（不計(jì)摩檫），使之由平衡位置向左運(yùn)動了，此時(shí)撤去力F。當(dāng)重物運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，求物體的運(yùn)動方程。解:JE5 . 005. 010mkEA204. 0245 . 022)/1 (2624s

10、mk)2cos(204. 0 tx,0Axt時(shí)第21頁/共66頁 例 質(zhì)量為 的物體，以振幅 作簡諧運(yùn)動，其最大加速度為 ，求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T第22頁/共66頁（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 時(shí)，J100 . 13pE由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x第23頁/共66頁第24

11、頁/共66頁描述諧振動的方法：2. 曲線法：3. 旋轉(zhuǎn)矢量法：1. 函數(shù)法：cos()xAt第25頁/共66頁oAx cos()xAt xt+t = t : 初相位t+ ：相位11t = 0AAx = A cos ( t )第26頁/共66頁oAx cos()xAt t+t = t : 初相位t+ ：相位11t = 0AAx = A cos ( t )02t 物體正越過原點(diǎn), 以最大速率運(yùn)動.下個(gè)時(shí)刻要向x 軸的負(fù)方向運(yùn)動.第27頁/共66頁oAx cos()xAt t+t = t : 初相位t+ ：相位11t = 0AAx = A cos ( t ) A物體在負(fù)向位移極大處, 速度為零.下個(gè)

12、時(shí)刻要向x 軸的正方向運(yùn)動. t第28頁/共66頁oAx cos()xAt t+t = t : 初相位t+ ：相位11t = 0AAx = A cos ( t )032t 物體正越過原點(diǎn), 以最大速率運(yùn)動.下個(gè)時(shí)刻要向x 軸的正方向運(yùn)動.第29頁/共66頁oAx cos()xAt t+t = t : 初相位t+ ：相位11t = 0AAx = A cos ( t )A0t 物體在正向位移極大處, 速度為零.下個(gè)時(shí)刻要向x 軸的負(fù)方向運(yùn)動.第30頁/共66頁oAx cos()xAt t : 初相位t+ ：相位11t = 0AA循環(huán)往復(fù)A旋轉(zhuǎn)一周，投影點(diǎn)作一次全振動，所需時(shí)間為諧振周期。 2T第3

13、1頁/共66頁oAx xt+t = t 11t = 0AAx = A cos ( t )旋轉(zhuǎn)矢量的模 A 振幅旋轉(zhuǎn)角速度逆時(shí)針 角頻率與x軸的0時(shí)刻夾角 初相位t 時(shí)刻與x軸的夾角( t )相位矢量 畫法小結(jié)第32頁/共66頁旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn) M 作勻速圓周運(yùn)動振子的運(yùn)動速度（與 X 軸同向?yàn)檎〢其 速率AtAXAAXOtO 旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn) M 的加速度為法向加速度，其大小為A振子的運(yùn)動加速度（與 X 軸同向?yàn)檎〢t和任一時(shí)刻的 和 值，其正負(fù)號僅表示方向。同號時(shí)為加速異號時(shí)為減速第33頁/共66頁xxvxxvxxvxxv振動質(zhì)點(diǎn)位移、速度與特征點(diǎn) (t=0時(shí)對應(yīng)的)x00時(shí)在1,4象限v00時(shí)

14、在3,4象限第34頁/共66頁例1. 一物體沿 x 軸作簡諧振動，A= 12cm, T = 2s 當(dāng)t = 0時(shí), x0= 6cm, 且向x正方向運(yùn)動。解：（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖看cm()x0t 121 1 3 2 3 （2）t =0.5s 時(shí), 物體的位置、速度、加速度。2cos()xAtT sin()vAt 2cos()aAt 212cos(0 5)23 10.4 (cm) 118.9(s ) 2103(cm s ) 2 求（1） 初位相。0?（2）t s 時(shí)第35頁/共66頁0.040.0412簡諧振動的曲線完成下述簡諧振動方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) = 2 / T =

15、(rad /s )0.042A= / 2 t = 0v0 從 t = 0 作反時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，A矢端的投影從x=0向X軸的負(fù)方運(yùn)動，即 ，與 已知 X t 曲線一致。v0SI第36頁/共66頁彈簧振子x0 = 0t = 0 時(shí)v0 = 0.4 ms -1m = 510 -3 kgk = 210 -4 Nm -1 完成下述簡諧振動方程v0km0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為20.2(SI)v0第37頁/共66頁AAx2AtoabxAA0討論 相位差：表示兩個(gè)振動狀態(tài)相位之差 . 1）對同一簡諧運(yùn)動，相位差可以給出兩運(yùn)動狀態(tài)間變化所需的時(shí)間.)()(12t

16、t)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt第38頁/共66頁0 xto同步 2）對于兩個(gè)同頻率的簡諧運(yùn)動，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.（解決振動合成問題）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它超前落后txo反相第39頁/共66頁例 已知振動曲線求初相位及相位。 如圖所示的xt振動曲線，已知振幅A、周期T、且t=0 時(shí) ，求：2Ax (1)該振動的初相位； (2)a、b兩點(diǎn)的相位； (3)從t=0到a、b兩態(tài)所用的時(shí)間是多少? 第40頁/共66頁方法二，用旋轉(zhuǎn)矢量法 由已知條件可畫出t=0時(shí)振幅矢量，同時(shí)可畫出，時(shí)刻的

17、振幅矢量圖如圖所示。由圖可知，(3)(1)3(2)0at2bt623TTta TTtb125/23/2/2/ 第41頁/共66頁例 已知振動曲線求初相位及相位。 如圖所示的xt振動曲線，已知振幅A、周期T、且t=0 時(shí) ，求：2Ax (1)該振動的初相位； (2)a、b兩點(diǎn)的相位； (3)從t=0到a、b兩態(tài)所用的時(shí)間是多少? 解：方法一 (1) 由題圖可知， t=0時(shí)， 2cosAAx21cos30sinAdtdxv3)3cos(tAx第42頁/共66頁(2) 由題圖a點(diǎn)，cos()aaxAtA 則a點(diǎn)的相位0at 由題圖b點(diǎn)， cos()0bbxAt 2bt 0)sin(tAdtdxv故b

18、點(diǎn)的相位為 :2bt (3) 設(shè)從t=0到兩態(tài)所用的時(shí)間為ta、tb 0at2bt623TTtaTTtb125/23/2/2/第43頁/共66頁第44頁/共66頁且 相同同在 X 軸合成振動用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動方程與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻有關(guān)合成初相分振動初相差與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻無關(guān)，但它對合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用第45頁/共66頁解析法推導(dǎo)： )cos()cos(221121tAtAxxxtAtAtAtAsinsincoscos sinsincoscos22221111()()tAAtAAsinsinsincoscoscos22112211tAtAsinsincoscos()tAcos其

19、中， 2211coscoscosAAA2211sinsinsinAAA解之可得： ()12212221cos2AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg第46頁/共66頁xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1）相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 討論相互加強(qiáng)第47頁/共66頁xxtoo21AAA)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2）相位差) 12(12k) , 1 0( ，k若為其它值，則 處于與之間相互削弱第48頁/共66頁為了突出重點(diǎn)，設(shè)兩分振動的振幅相等

20、且初相均為零。合振動此合振動不是簡諧振動，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見現(xiàn)象：頻率為 的簡諧振動頻率為 的簡諧振動第49頁/共66頁若與較大且相差不大，可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相對較高的簡諧振動 頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡諧運(yùn)動的合成，其合振動的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.第50頁/共66頁可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相對較高的簡諧振動1 秒9 Hz8 Hz（包絡(luò)線）兩分振動的頻率1 Hz合振動頻率8.5 Hz合振幅每變化一周叫做一拍，單位時(shí)間出現(xiàn)的拍次數(shù)叫拍頻。拍的頻率為兩個(gè)分振動的頻率之差。385 Hz383 Hz聽到的音頻384 Hz強(qiáng)度節(jié)拍性變化2 Hz第5

21、1頁/共66頁)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡1） 或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （橢圓方程） 討論第52頁/共66頁yx1A2Ao2）12xAAy123）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao第53頁/共66頁簡諧運(yùn)動的合成圖兩相互垂直同頻率不同相位差第54頁/共66頁4. 振動方向垂直、不同頻率的諧振動的合成 軌跡曲線稱為李薩如圖形。一般軌跡曲線復(fù)雜，且不穩(wěn)定。-1-0.50.51-1-0.50.5

22、1-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51xy4:26:410:8:xyN N 由切點(diǎn)數(shù)之比及已知頻率可測未知頻率。yxyxNN 2:13:25:4可以證明：兩振動的頻率之比 成整數(shù)時(shí), 合成軌跡穩(wěn)定。yx 圖形形狀還與位相差及振幅有關(guān)46第55頁/共66頁其合運(yùn)動一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng) 為兩個(gè)簡單的整數(shù)之比時(shí)可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱為李薩如圖形例如第56頁/共66頁（1）0 ；（2）4 cm；（4）8 cm。結(jié)束選擇請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案 兩個(gè)同方向同頻率的諧振動，振動方程為x1=610-2 cos (5t + ),x2=210-2 sin ( 5 t )2 則其合振動的振幅為諧振動（3）4 cm；第57頁/共66頁用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動合成圖第58頁/共66頁 任意形狀的剛體懸掛后繞一固定軸作小角度擺動，稱為復(fù)擺。 設(shè)質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距離為L，則當(dāng)其擺角為時(shí)剛體受到的重力矩為： sinmglM當(dāng)很小時(shí) sin ( 5 )mglM根據(jù)轉(zhuǎn)動定理：22dtdIIMImglIMdtd22022Imgldtd【復(fù)擺】oC*lP（