參數(shù)方程化普通方程

1、參數(shù)方程化普通方程重點(diǎn)難點(diǎn)掌握參數(shù)方程化普通方程的方法，理解參數(shù)方程和消去參數(shù)后所得的普通方程的等價(jià)性；應(yīng)明 確新舊知識之間的聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題能力。例題分析 sin1 把參數(shù)方程化為普通方程卜 =（0（R , B為參數(shù)）解：T y=2+1-2sin 2 0,把 sin 0=x 代入，二 y=3-2x 2,又/ |sin 0|W1, |cos20|<1, |x|W1,1<y<3所求方程為y=-2x2+3(-1<xW1,1<yW3)齊=$in H 十PF弧"（0駅，0為參數(shù)）解：T x2=(sin 0+cos 0)2=1+2sin 0c

2、os 0,把 y=sin 0cos 0 代入，二 x2=1+2y。又 x=sin 0+cos 0=f( 0+)y=sin 0cos 0=52 0|x| < - - , |y| W-。所求方程為 x2=1+2y (|x| <, |y| W-)小結(jié):上述兩個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，都是利用三角恒等式進(jìn)行消參。消參過程中都應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出x, y的范圍。在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法。(1-£X =1 + i '21 y =-一I 】+ f (t工1, t為參數(shù))法一:注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因

3、而可以采取加減消參的辦法。1-/ 2f 1 + f2-(l + f) 22(Z +1)-2 _2+ =二z x+y= 1 + f 1 + f 1 + 才=1, 又 x= 1+f l + f-1 工-1 , y= £ + 11 + £ 工2,所求方程為x+y=1 （x m-1, y工2）。法二:其實(shí)只要把t用x或y表示，再代入另一表達(dá)式即可。由1-/x+xt=1-t.X=,2 二二 儀.1 r _2（1 - X）i-xT7F 丄i + + i- （x+1）t=1-x，即 t=二一一 代入=1-x , x+y=1，（其余略）這種方法稱為代入消參，這是非常重要的消參方法，其它不少

4、方法都可以看到代入消參的思想。rZ = V| 1+?:2t2I 1十瓷（t為參數(shù)）分析:此題是上題的變式，僅僅是把t換成t2而已，因而消參方法依舊，但帶來的變化是范圍的改變，可用兩種求值域的方法：2-（1 + 廣）212法一 :x=-rl-1, '-t2 X）, t2+1 >1, 0<： 一一胡，-iv-. -1 <1, .-1<x <1oI法二:解得t2= 一 二», -1<x <1,同理可得出y的范圍。| 1X =r1+?2t（5） I I" （t為參數(shù)）分析:現(xiàn)在綜合運(yùn)用上述各種方法進(jìn)行消參，首先，求x,y范圍。1-?

5、1-x2i由 x=- 得 x2= 1 - - >0, '-1<x <1,由 y= - - 一' ，t=0 時(shí)，y=0 ;2|£| 坐“0 時(shí)，|y|= - * " < -卜=1，從而 |y| <1 o1-F 2i 1-加+八護(hù)（1 + F法一:注意到分子，分母的結(jié)構(gòu)，采用平方消參，x2+y2=（ 一-）2+（）2=丨 =_； =1。3 拋物線y2=4p(x+p)(p>0)，過原點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別被拋物線截得線段為AB，CD，M 為 AB1-卩 1 - xi 1 - x、7 1 +法二:關(guān)鍵能不能用x, y表示t,且

6、形式簡單由x= _ -一“得t2= _：，代入y. . =t(1+x)y.=i-產(chǎn)嚴(yán)l + x1 + ( y )2再代入x=一-，化簡得x2+y2=1。法三:注意到表達(dá)式與三角中萬能公式非常相象K K 1 -繪巾2tgS可令 t=tg B, Bq- _ _ ),x=cos2 B, y= 1+0=sin2 B,x2+y2=i，又 2 Bq- ； ,； ) ,. -1<x=cos2 B<1, -1 Wy=s in2 B<1,所求方程為 x2+y2=1(x 工-1)。2已知圓錐曲線方程是x =+ 5cos+1y = -6i2 + 4 sin- 51) 若t為參數(shù)，$為常數(shù)，求它的普

7、通方程，并求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。2) 若0為參數(shù),t為常數(shù)，求它的普通方程，并求它的離心率解：1)由已知x - 5 cos p- 1 =.-一(1)廠畑響+5初，由(1)得t=i-5cos-l代入(x 唧一 I)'y-4s in(j)+5=-6 (x-5cos $-1)2=- - (y-4sin $+5)為頂點(diǎn)在(5cos $+1,4sin $-5)開口向下的拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=。2)由已知x-3?-l =cos5j; + 6i2 + 5.=sin尸+° + 6八 5)2516=1 ,表示中心在(3t+1, -6t 2-5)的橢圓，其中 a=5, b=4, c=3 ,

8、 . e= :' o分析:從上題可以看出，所指定參數(shù)不同，方程所表示的曲線也各不相同。從而給出參數(shù)方程一般應(yīng)指明所 取參數(shù)。中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，G為MN中點(diǎn)。求G點(diǎn)軌跡方程，并說明其圖形。解:設(shè)AB方程為y=kx代入拋物線方程y2=4p(x+p)A>0yi+y2=x1 + 耳=字 k2x2-4px-4p 2=0,若 A, B 坐標(biāo)為(xi, yi), (x2, y2)貝U l七TAB JCD, CD 方程為 y=-；. x,代入 y2=4p(x+p),丄" x2-4px-4p 2=0，設(shè) C(X3, y3),D(x 4,y4) N(2pk 2, -2pk)=2p，而y

9、R在方程中都已體現(xiàn),A>0= Apk1_2(巧 +百)"-4護(hù)疋I k丄 上y2=p2(l' +k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)軌跡方程為y2=p(x-2p)為頂點(diǎn)(2p,0)開口向右的拋物線。說明:消參一般應(yīng)分別給出 x,y的范圍，而二題中變量的范圍已體現(xiàn)在方程之中。在某些特殊情況，消參之lx = COS331 v = sin7T后給出x,y的范圍也不能說明原曲線的軌跡，這時(shí)應(yīng)用語言作補(bǔ)充說明。如方程Bqo, - n,是-個(gè)圓，但消參之后得 x2+y2=1(|x| <1, |y| <1)卻無法說明這一點(diǎn)。在線測試選擇題( 2X = cos tpy

10、= 1 - cos31.曲線的參數(shù)方程為 I"" (0為參數(shù))，則方程所表示的曲線為()A、射線 廠 B、線段 C、雙曲線的一支D、拋物線C、拋物線的一部分，且過(-1,-)點(diǎn)D、拋物線的一部分，且過(1 ,-)點(diǎn)3.已知直線I的參數(shù)方程為2 -£cos '則直線I的傾斜角為（）4.拋物線rrrA、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-2A = 4/" _1 （t為參數(shù)）的準(zhǔn)線方程是（）5彈道曲線的參數(shù)方程為x = v0/ cos a,. 1 2y = vsin a 二 （t為參數(shù)，a, V0, g為常數(shù)）當(dāng)炮彈到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，炮彈飛行的水平距離是

11、（）2v； sin ctcoscsv0 sin 2av0 sin ctcossv0 cos 2aJl + sin 占y = cos3 （-）2.參數(shù)方程【42（9為參數(shù)，且0 < <2 n）所表示的曲線是（A、橢圓的一部分B、雙曲線的一部分D、答案與解析解析：(1) / x=cos2$0, 1, y=1-cos 2 $=1-xx+y -1=0 , x0, 1為一條線段。故本題應(yīng)選B。a 1 + cos( - 3)1+42(2> / x£0f a/2 ,. ycas-)=.故本題應(yīng)選 D.42222(3)本題認(rèn)為直線l的傾斜角是是不對的，因?yàn)橹挥挟?dāng)直線的參數(shù)方程為:t

12、，化參數(shù)方程為普通方程后,一-& (其中t為參數(shù))，其中的a才是直線的傾斜角，消去參數(shù)再求直線l的傾斜角是可以的。但直線 I的傾斜角B適合tan 0=這里只要把兩個(gè)方程相除就可得:i cos 廠26_isin 6=-cot 6-cot- F， tan 0=- =_，'，2k=匚。故本題應(yīng)選D。(4)化參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程，得(x-2)2=4(y+1)，其準(zhǔn)線方程為y=- -1=-2。故本題應(yīng)選 D。v0 sin a，代入 X=V0tCOS a,得亠(5)由y=votsin a-知，當(dāng)炮彈到達(dá)最咼點(diǎn)時(shí)，t=v0 sin cr _ vc sin a cos erX=V 0COS

13、a-。故本題應(yīng)選c。參數(shù)方程、極坐標(biāo)疑難辨析參數(shù)方程是曲線與方程理論的發(fā)展，極坐標(biāo)是坐標(biāo)法的延伸參數(shù)方程的基本概念與極坐標(biāo)系的理論是本章的重點(diǎn)參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程同解性的判定、極坐標(biāo)方程與曲線的基本理論是本章的難點(diǎn)與疑點(diǎn)弄清這兩個(gè)難點(diǎn)，把握參數(shù)法變與不變矛盾的統(tǒng)一的思想是學(xué)好本章的關(guān)鍵.把握求軌跡方程的參數(shù)法的基本思路和消參數(shù)的基本方法，重視消參數(shù)前后x、y的取值范圍的變化是保證軌跡完備性、純粹性的關(guān)鍵.弄清一點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表達(dá)式：(-1)np，0+n n)，( n巳)和極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化是運(yùn)用極坐標(biāo)解決問題的基本功.題1 下列參數(shù)方程(t是參數(shù))中方程 y2=x表示同一曲

14、線的是(x = sin ty = sintI 1 - C0s2tC.D,1 + cos2t【疑難或錯(cuò)解】參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程是否表示同一曲線的判定是一難點(diǎn)問題的實(shí)質(zhì)在于判定方程的同解性.方程的同解性原是代數(shù)中的難點(diǎn)，加上參數(shù)方程中出現(xiàn)的函數(shù)不局限于代數(shù)函數(shù)，其困難就更大了本題各個(gè)參數(shù)方程消去參數(shù)后所得普通方程都是y2=x，更增加迷惑性，因而誤選A、B、C都有.【剖析】從A、B、C、D消去參數(shù)t后所得的普通方程都是 y2=x .但在A中y=t2>0，這與y2=x中y的允許值范圍y駅 不一致，故A應(yīng)排除.在B中，x=sin 2tX), x qo, 1與y=sint q-1 ,

15、1與方程y2=x中的x, y取值范圍不一致，故 B也應(yīng)排除.在C中！ y二丘£山+同這與二沖R&不同故的褂除.只有在D中* x 二'"號二 tt 0, + 8), y = tgt£ R,和yx'中的x qo , + a), yR完全相同，所以D中參數(shù)方程與y2=x同解，應(yīng)選D .【點(diǎn)評】參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得普通方程是否同解的判定，涉及函數(shù)定義域與值域的研究而無通法可循，只能根據(jù)參數(shù)方程x =F(t), 廠 g(t)中函數(shù)盤=£(t)和y =g(t)的定義域和值域與消去參數(shù)t后所得晉通方程F(x , y)=0中x, y的允許值范

16、圍(即方程 F(x , y)=0的定義域)是否一致來判斷.僅根據(jù)消去參數(shù)后所得的普通方程F(x , y)=0的外形來判定，常易失誤.= r題2參數(shù)方程J2t(t為參數(shù))表示的曲線是(y的取值范圍，即斷言表示的曲線為圓，而誤選A.A.圓 B .半圓 C .四分之一圓 D.以上都不對1?t剛或錯(cuò)解】令衛(wèi)則斜市心岀廠彷F扯消去0,得x2+y2=1，未分析x,M】卩二時(shí)t不存在，所以消去t后方程X2+y2=1中x M-1，即在圓X2+y2=1中應(yīng)除去一點(diǎn)（-1 , 0） 所以此參數(shù)方程表示的曲線為單位圓X2+y2 = 1上除去一點(diǎn)（-1 , 0）.在普通方程x2+y2=1中應(yīng)注明xq-1 , 1 .應(yīng)

17、選D.題3設(shè)直線F = " +弘0為參數(shù)）與雙曲線F = t以（0為參數(shù)）交于A、B兩點(diǎn)，求弦長|AB| .【疑難或錯(cuò)解】以直線的參數(shù)方程代入雙曲線的普通方程（y-2） 2-x2=1，有（-4t） 2-（-l+3t） 2=1，即7t2+6t-2=0 .方程的兩個(gè)根分別為 ti=PA , t2=PB，其中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1 , 2）2.陶書J（t -樂也【剖祈】丁言線的參數(shù)方程*坷+too，（a為g線的躺甬t堆數(shù)）因而兀+曲'方程的兩個(gè)根:2t/PAf t/PB, |AB冃錯(cuò)解混淆了直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型中參數(shù)t的幾何意義.在標(biāo)準(zhǔn)型中，P （ xo, yo）為直線上的定

18、點(diǎn)，Q （x, y）為直線上任意一點(diǎn)，則 t表示有向線段PQ的數(shù)量（規(guī)定直線向上、向右為正方向）.這一結(jié)論不適用于非標(biāo)準(zhǔn)型因此運(yùn)用直線參數(shù)方程求二次曲線的弦長時(shí)，應(yīng)先將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)型，否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤.GEIS1直線的參數(shù)方程為+尤（t為參數(shù)）.y = 2-4t,443此直線的斜率為k = tgCL -,snCl =- , cos =-*此直線參數(shù)方程的標(biāo)淮型為3盤=-l-t,«| （t為參數(shù)）y = 2 + -t,將雙曲線方程化為普通方程_/（y-2）2-x2=1 .以代入，得7 2 6_t22 = Q®方程的兩個(gè)根分別為ti=PA , t2=PB,|£

19、B冃t-訃4亂【點(diǎn)評】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xi, yi）、(X2 , y2).TA* E在直線師參數(shù)）上y = y0 +btF （x0, y0）為直線上的定點(diǎn),|X! =so +atp IYl =Yc +btr故xi-X2=a(ti-t2), yi-y2=b(t i-t2),：(xi-X2)2+(yi-y2)2=(a2+b2)(ti-t2)2.利用這一結(jié)果也可求|AB|之長，結(jié)果與正解同.“心叫g(shù)為參數(shù)）的圖像.y = arccost未分祈瓦y的取值范圍，即斷言曲線x+y二£的圖像為-直錢，如題4試作曲線礙難或錯(cuò)解/ ar ant + arccost -,/曲線的普通方程為遲+

20、xE【正解】(- x = arcs nt Ey = arccost£ 0,你.'*x+y = arcsint+arccost =心5所以此曲線為以第叭力為端點(diǎn)的線段?！军c(diǎn)評】消去參數(shù)過程中不分析 x, y的取值范圍，導(dǎo)致軌跡純粹性受破壞.題5化參數(shù)方程（t為參數(shù)）為普通方程*礙難或刪書罔飛罔卜,所以曲線為雙曲線【剖析】錯(cuò)解僅考慮ab丸 的情況，而忽視ab=0的情形，因而解答不完整.ab=0時(shí)，有a=0 , b丸;a工0, b=0 ; a=0 , b=0三種情況，應(yīng)逐一進(jìn)行討論.雙曲線）-不再贅述-【正確】當(dāng)ab丸時(shí)，如上解有-當(dāng)ab=0時(shí)，有下列三種情形：x = 0,彳 t&

21、gt; 1 t 即莖=0, yE R.（1） a=0 , b工0時(shí)，原方程為此時(shí)，曲線為y軸（含原點(diǎn)）n（2） a0 , b=0，原方程為210,221 |t|+ 'I UlJ+8）.此時(shí)曲線為x軸上的兩|x| 刑，即 x>|a|或 x<-|a| .消去 t,得普通方程為y=0, xg, -|a| L|a|,條射線，端點(diǎn)分別為（|a|, 0）指向正半軸；（-|a| , 0）指向負(fù)半軸.（3）a = 0, b = 0時(shí)，原為y = 0.曲線為一點(diǎn)（0, 0）,即原點(diǎn).【點(diǎn)評】消去參數(shù)過程中不注意方程中x, y的取值范圍，對任意常數(shù)a,b的可能情況不分別討論是導(dǎo)致失誤的主要原因

22、.x =1 + cos 2,y =5-4sin2 9,x = 2t -1,y = 4t -1,（t為參數(shù)）問11與12是否表示同一曲線？為什么?【疑難或錯(cuò)解】11:x = l + cos2 0 =2cos2 9 s 亠 n + 廠5 Wl + 4c"消去谿X侍y S 0 1“中消去參姐也得駐沖丸11和12表示同一直線，焉能不失誤.未對x, y的取值范圍進(jìn)行分析，根據(jù)兩曲線的普通方程，即斷言【剖析】在曲線11的參數(shù)方程中，x=1+cos2B=2cos2BqO,2,消去參數(shù)B所得的普通方程2x-y+1=0x 0, 2,所以曲線1i為以（0, 1 ）與（2, 5 ）為端點(diǎn)的線段.只S32K

23、-y + l = 0±的但曲線1屮氐-y + l=0標(biāo)一條直線hj，所以12不是同一條曲線.【點(diǎn)評】 在曲線11消去參數(shù)時(shí)，未分析 x的取值范圍，破壞了軌跡的純粹性，是導(dǎo)致失誤的主要原因.題丁直線怎sin20*+3, 廣亠s衛(wèi) 占云人匕IG為參數(shù)）的傾斜角是Y = -tcos 20A. 20° B. 70° C. 110° D . 160誤認(rèn)x = tan2Qfl + 3< y = -t cos 20°樁直繕數(shù)輝的標(biāo)魁而誤選（A）.或?qū)⒃匠袒癁閦 = t汕;+乳當(dāng)作直線方程的標(biāo)準(zhǔn)型而誤選 ystcosluU >:（D）.還有將原方

24、程化為x = tcos(-70s )+3, y = tsin(70* ) #x = t cos290 + 3,y = tsin2904 ,而無法作出判斷.【剖析】上述疑難的根源在于對直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)型概念模糊所致.在直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型:x = 3£o +tcosQ-廠詢至猶）廠兀+燭J 切笏網(wǎng) 中3為宜線的傾斜角，応肌 叭時(shí)，cos Cl >0, sin且 cos' Q + a T,如V V + st°中、當(dāng)且JT才:® 廠九中btrJTK_當(dāng)a =時(shí)，& = 0, b = L才是標(biāo)準(zhǔn)型；當(dāng)可兀時(shí).cossin a> 0，故當(dāng)a v

25、0 , b> 0,且a2+b2=1時(shí)，才是標(biāo)準(zhǔn)型.可見x = tsm20& + 3,y = -t cos 204 ,x = t sld.160"+ 3iy = t coslfiO* ,x = t cos(-70e )+3, y = t si 11(-70° ),x = t cos290° + 3,y = t sin 290",等都不是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型，由此推出的直線的傾斜角都是錯(cuò)的。欲將其化為標(biāo)準(zhǔn)型，應(yīng)將x=tsin20 °+3 化為 x=3+(-t)sin(-20 °)=3+(-t)cos(90 °+20

26、 °即 x=3+(-t)cos110 °, y=(-t)sin(90 °+20 °)=(-t)sin110.,._x = 3+1; cos 110° ,廣，亠斗農(nóng)令i = -U則有/ y . 11AO(t丿為參數(shù))y = t sin 110,這才是此直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型，此直線傾斜角為110 °應(yīng)選C .+ 25= 225._ %念o2 =179x -225占17't1=PA > 0, t2=PB v 0 .|PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=t1-t2悄諜I從直劇肪程G際準(zhǔn)型)求傾斜角，y u -tcos2Uco

27、s 20°可先捋4率c=-ctg?0& = tg(2Qfr +9L ) = 11 .an 20傾斜率為110 °無須化為標(biāo)準(zhǔn)型.另外結(jié)合直線的圖像，過點(diǎn)(3, 0)、( 3+sin20 ° -cos20 °。所以直線的傾斜角為鈍角，排除 A、B，又由cos20 °>sin20 °可知傾斜角v 160 °排除D，而選C .誠如華羅庚所說:“不可得義忘形”，形義結(jié)合，常可快速獲解。F：； r B兩點(diǎn)，試求 IPAI+IPBI 之值.。+ ;嚴(yán)，G為參數(shù))y = tan 135,代入橢圓方程，得丄二方程的兩個(gè)根分別為

28、t1=PA , t2=PB .=J(t】+_4t】切= 2(34-x).【剖析】錯(cuò)解對P(X0, 0)的不同位置未加分析，貿(mào)然畫圖，把點(diǎn)P畫在橢圓內(nèi)部，只就|X0| v 5的情況作解答，忽視了點(diǎn) p在橢圓上或外的情況，可見錯(cuò)解是不完整的.【正確】當(dāng)點(diǎn)P（X0, 0）在橢圓內(nèi)部時(shí)，|xo|V 5，此時(shí),上時(shí)，|xo|=5 ,|P礎(chǔ)PB|=|AB|書訃曙廂二帝証確的.當(dāng)點(diǎn)P（% 0）橢圓方程為|PA|+|PB|1717當(dāng)點(diǎn)P（X0,0）在橢圓外時(shí)，|Xo|> 5 , tlt2> 0，即tl、t2同號,|PA|+|PB沖艸書+切二遑【點(diǎn)評】當(dāng)問題中出現(xiàn)任意常數(shù)（如這里的X0）時(shí)，應(yīng)考慮各

29、種可能，逐個(gè)進(jìn)行分析討論，否則可能犯以偏概全或漏解的錯(cuò)誤.直線及圓的參數(shù)方程教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：直線參數(shù)方程及圓的參數(shù)方程的基本形式，對直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t的理解，非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程如何化為標(biāo)準(zhǔn)方程并求岀傾角，并應(yīng)用直線參數(shù)方程解決有關(guān)問題。例題分析：例1 下列各式中，哪一個(gè)是直線的三角式方程，試述理由，若是點(diǎn)角式參數(shù)方程時(shí)， 寫岀始點(diǎn)和傾角， 若不是,化為點(diǎn)角式參數(shù)方程。x = 2-£2V3>=31，J （t為參數(shù)）；（2）廠"（t為參數(shù)）；（3）一 £y = 2-£龍（t為參數(shù)）（1）解：（1 ）始點(diǎn)（-2 , 3），傾角為_ n是點(diǎn)角式參數(shù)方程。

30、（2）不是點(diǎn)角式參數(shù)方程，不滿足x = x0+力為點(diǎn)角式參數(shù)方程的必要條件，即2=1但是形如x =+ a£y=y0+（t為參數(shù)）的可化為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式即(3)btWo（t為參數(shù)）（t為參數(shù)）不是點(diǎn)角式參數(shù)方程，令Xt'=-t，得 i= 2+5x = 1 +Zcos45°y = -2+t sin 45°（I）（t為參數(shù)）把（I）代入12方程,721+ _ t+2(-2+72-t)-4=05解岀 t=(II )，1罷 |AB|=|t-O|= -直線始點(diǎn)為（-2，2），傾角為八例2 寫岀過點(diǎn)A（ 1 ,-2 ），傾角為45 °的直線li的點(diǎn)角式參數(shù)方

31、程，若li與l2：x+2y-4=0相交于B（1）求|AB| ;（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)解:設(shè)li的參數(shù)方程為,Vs 7/210r 1 +'=|233'M 110 1尹一一£ + _把(II)代入(I)得：I3' = B( 3 , 3)小結(jié):從此例可看岀應(yīng)用三角式參數(shù)方程求距離很簡捷。例3 .求橢圓 j =1中斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡解：（1）用普通方程解決，設(shè)弦中點(diǎn)P（xo, yo），弦的兩端點(diǎn)A(xi, yi), B(x 2, y2)(5)由已知得：斯+心）（可-乃）*仙+”）（戸一兀）-：匚-=0，2州（兩兒仙32將（5）代入，二2= 一匚I . ,xo+3y

32、 0=0,軌跡為含在橢圓內(nèi)的一條線段法(2)參數(shù)方程解題設(shè)弦中點(diǎn)P(xo,yo)，弦的傾角為 a， = x0 cos ay = yn +/ sin ct平行弦的直線參數(shù)方程為：1丿丿°(t為參數(shù))(1)將(1)代入 2x2+3y 2-6=0 中，整理后得：(2cos 2 a+3sin2 a)t2+2(2x ocos a+3ysin a)t+2x o2+3y o2-6=O,-2(2x0 cosa + 3y0 sin a) t1+t2="_ .T P 為弦中點(diǎn)， t1 +t2=0，即 2x0cos a+3y0sin a=0，又 tg a=2, -'2x0+6y 0=0,

33、 2 2x y+ _P點(diǎn)軌跡是方程為x+3y=0在橢圓匚 -=1內(nèi)的一條線段。小結(jié):此例用普通方程及參數(shù)方程對比解決，體會參數(shù)t的幾何意義，其中tl+t2 = 0對點(diǎn)角式方程而言具有普遍的意義，常用于解決弦中點(diǎn)問題。例4 .設(shè)M, N是拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上兩點(diǎn)，且它們關(guān)于頂點(diǎn)0對稱，過M , N作兩條平行線， 分別交拋物線于 Pi ,P2 ,Qi, Q2,求證:|MP i| |MP2|=|NQ i| INQ2I。證明：由已知可設(shè) M(a,O), N(-a, 0)(a>0) 則直線MPi, NQ 1的參數(shù)方程為：(1)其中t是參數(shù),a是傾斜角把(1)( 2 )分別代

34、入y2=2px中，由韋達(dá)定理可得2ap|NQi| |NQ2|= 一二一 ”二,2ap:|MP i| |MP2|= 一二一 ”二,|MPi| |MP2|=|NQi| |-NQ2|評述:此例中應(yīng)用了點(diǎn)角式參數(shù)方程中t的幾何意義，即|ti|,|t2|為相應(yīng)點(diǎn)到定點(diǎn)M的距離，據(jù)此證明了關(guān)于線段M ,的等式問題。例5 橢圓長軸|AiA2|=6，焦距|FiF2|=4，過橢圓焦點(diǎn)Fi引直線交橢圓于 兩點(diǎn)，設(shè)/ F2FiM= a, a0, n)，若|MN|等于短軸時(shí)，求 a。解:.0=3, c=2 ”- ,b=1, Fi(-2 “-,0) ,橢圓方程+y2=1。-2/5 + icosc法(i)設(shè)MN所在直線參

35、數(shù)方程為y = ism a(t為參數(shù))42 cos ce-1將(1)代入+y2=1 得:(1+8sin2 a)t2-4心 tCOS a-1=0(*|A ti+t2= 1 _一 L： , ti t2= 1 一 二二"二,2b=232 cos2 a +4(1 + 8 sinJ a)'|tl-t2|2=廠-:-丄 "-.，36(l + 8sinaa)a% 11' 11 r :=22,sin2a= -1 a 0, n), Sin a=- a= r.'或 r.Tt o(法二)設(shè)MN 方程:y=k(x+29(腫-1)(1),x 1 X2=1 + . .<

36、'?+9/_9 = °7侮廠如昭=xz= TIP<i>/ |MN|=v|>又 |X1-X2|2=(X l+ X2)2_4x 1X2(3)將(1),(2)代入，將代入(I)解得:k2= 1 (下略)2血另；<ii> .e= 了 , M(x 1,y 1), N(x 2,y2)由第二定義：|MF 2|=ex2+a, |MF 1|=ex 1+a2V22V2 -込加 |MN|=e(x 1+X2)+2a=(X1+X2)+6, 2= 匚 1 + U3 +6, k2=1 (下略)評述:利用直線參數(shù)方程，常常解決弦長的問題，對比普通方程的弦長公式可知，形式上要簡捷

37、，運(yùn)算上也將更 加簡化，減少運(yùn)算的岀錯(cuò)可能。例6 .過M(-1,0)的直線I交雙曲線x2-y2=10于A，B兩點(diǎn)，且|MA|=3|MB|，求直線I的方程。分析：1MA|=3|MB|，若設(shè)普通方程，則兩線段間的上述關(guān)系表述很繁瑣，條件不利于應(yīng)用。設(shè)直線參數(shù)方程點(diǎn) 角式，直接利用參數(shù) t的幾何意義表達(dá)|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去應(yīng)用解:設(shè)直線MA的參數(shù)方程為卩Sin K(t 為參數(shù))(-1+tcos a)2-t2sin2 a-10=02 cos a-9(COS 2 a-sin 2 a)t2-2tcos a-9=0，有 t1+t2=l二二,t1t2=l二一二二又 |MA|=3|MB

38、| ,.ti = ±3t22 COSES<i> 當(dāng) t1= ±3t2 時(shí)，.4t2= i二一一二二,3-.:-9=cos"一：- 一打二,cos acos2 a-922a t2= 2(co$ o - sin &),.飛 4(cos! a - smJ審=I. .L 一：-二一:1213解得:cos 2a= - - - ， sin 2 a=二-二,tg a=， l:y= ± F (x+1)。<ii> 當(dāng) ti =3t2 時(shí)，同理可求 l：y= 了 （x+1）本周小結(jié)：直線參數(shù)方程點(diǎn)角式問題，應(yīng)注重從下面幾點(diǎn)講解。<1&g

39、t;會判斷方程是否為點(diǎn)角式參數(shù)方程；<2>若參X =心+皿y -"會化為點(diǎn)角式，并會求岀傾角，一定要注意傾角的范圍。<3>會應(yīng)用它解決弦長問題，弦的中點(diǎn)線分弦成定比問題，點(diǎn)在直線上位置等常見問題。參考練習(xí)：x = i sin 20° + 3I y = -/ cos 20°1.直線：I（t為參數(shù)）的傾斜角是（） A、20 ° B、70 °C、110 ° D、160X = Vs cosa y = V5 sin ck（a為參數(shù)）相交所得弦長為（1Z =-£* 2y = -3+i2 直線I#(t是參數(shù))與圓A

40、、B、-C、-3圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)Po(-1,2) , AB為過P0且傾角為 a的弦(1)當(dāng)a= - n,求|AB| ;( 2)當(dāng)弦A'B'被點(diǎn)Po平分時(shí)，寫岀直線 A'B'的方程。參考答案:1.C2.B3.解:設(shè)直線AB方程為:(1)v = 2 +Z sin a , / ,(t為參數(shù))把(1)代入x2+y 2=8,整理得:t2-2(cos a-2sin a)t-3=0(2)直線與圓相交，有實(shí)根，則由韋達(dá)定理：ti+t2=2(cosa-sin a), ti t-2=-3,(1)當(dāng) a= - n 時(shí),|AB| 2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t

41、2=2(cos 4 n-sin 2 n)2-4 x(-3)=30(2)弦A'B'被點(diǎn)P0平分-+ = 0A>0 cos a-2sin 久)=0 = tg a=-，即 k=-, AB 方程為：y-2= 1 (x+1)，即 x-2y+5=0在線測試選擇題x - Z sin 20° +31直線jy卅r(t為參數(shù))的傾斜角是()A、 20° rB、70C、110 °Jr7 =3i2 +2ry =?-l.2 曲線的參數(shù)方程為(0)，則曲線是()D、160rrrA、線段B、雙曲線的一支C、圓弧D、射線x = 3 + 3cos 帆y = -l+5sin&l

42、t;p3 橢圓:專的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是A、(-3,5), (-3,-3)r B、(3,3),(3,-5) 廠 C、(1,1),(-7,1)r D、(7,-1),(-1,-1)4 下列參數(shù)方程（t為參數(shù)）與普通方程x2-y=0表示同一曲線的方程是（）A -域1 + COS2 ty =1 - cosD、1 cos1 + cos 2t弄= l_5 .曲線的參數(shù)方程是7 = 1l （t是參數(shù)，t0），它的普通方程是（）x(x-2)1A、(x-1)2(y-1)=1rB、y=(l-廠C、y= (1_ X)，-1答案與解析答案：1、C 2、A 3、B解析：1 .本題考查三角變換及直線的參數(shù)方程。” -/cos

43、20°解：由直線方程知此直線過定點(diǎn) （3 , 0），那么它的斜率k=X3= £沏20° =-ctg20 °tg（90 °+20 °=tg110 °。因此直線的 傾斜角為110 °。故應(yīng)選C2 本小題考查化參數(shù)方程為普通方程的方法，及解不等式的知識。解：消去參數(shù)t，得x-3y-5=0。因?yàn)?豈<5，所以2<X<77 , -1今<24。因此是一條線段，故選 A3 本小題考查參數(shù)方程和橢圓方程的知識，以及坐標(biāo)軸平移。（X -毀 +A + 1尸解：原方程消參得-=1，是中心為（3，-1），焦點(diǎn)在x=3這條直線上的橢圓，c=4，二焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3， 3）及（3，-5），所以選B4 本小題考查參數(shù)方程和三角函數(shù)式的恒等變形解：選項(xiàng)A中x初，與x2-y=0中x的取值范圍不符；B中，-1，與x2-y=0中的x范圍不符；2