大學(xué)物理剛體力學(xué)習(xí)題課

1、2021-12-111剛體力學(xué)習(xí)題課剛體力學(xué)習(xí)題課主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：平行軸定理。的計(jì)算（常見(jiàn)的公式）瞬時(shí)軸）或質(zhì)心系適用于慣性系（定軸或二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律：, JJMZ2 :r, ar, arv rs nt量的關(guān)系一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)線量和角2021-12-11222221122221212121,2121JmvJEmghEJJMd Acckcp 固固剛剛體體的的動(dòng)動(dòng)能能剛剛體體的的重重力力勢(shì)勢(shì)能能。能能定定理理：三三、剛剛體體定定軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)的的動(dòng)動(dòng)機(jī)機(jī)械械能能守守恒恒定定律律。原原理理系系統(tǒng)統(tǒng)中中有有剛剛體體時(shí)時(shí)的的功功能能 ,2021-12-113慣性系或質(zhì)心系：角動(dòng)量守恒定律的條件動(dòng)量定理：四、剛

2、體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角)2( 0) 1 ( 112221MJJMdttt系系統(tǒng)統(tǒng)角角動(dòng)動(dòng)量量守守恒恒定定律律。量量定定理理系系統(tǒng)統(tǒng)中中有有剛剛體體時(shí)時(shí)的的角角動(dòng)動(dòng) ,2021-12-114進(jìn)動(dòng)方向的判斷。）（六、剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)： (2) sin 1 LM 適用于任意參照系。只適用于慣性系。五、剛體的平面運(yùn)動(dòng)： ,3 21212 1 22J MamF) (Jmv) E (rvv) (ccccckicci2021-12-115例。一均勻細(xì)棒（例。一均勻細(xì)棒（m,lm,l) )的兩端用繩子自天花板豎的兩端用繩子自天花板豎直吊住，棒處于水平，若一端突然剪斷，求此直吊住，棒處于水平，若一端突然剪斷，求此時(shí)另一端

3、繩的張力。時(shí)另一端繩的張力。ABTmg分析：分析：mgTmgmgTmgTmgT21 )4( 21 )3( )2( 21 ) 1 (2021-12-116例。一均勻細(xì)棒（例。一均勻細(xì)棒（m,lm,l) )的兩端用繩子自天花板的兩端用繩子自天花板豎直吊住，棒處于水平，若一端突然剪斷，豎直吊住，棒處于水平，若一端突然剪斷，求此時(shí)另一端繩的張力。求此時(shí)另一端繩的張力。ABTmg解：解：剪斷瞬間，剪斷瞬間，A端可認(rèn)為靜止點(diǎn)。端可認(rèn)為靜止點(diǎn)。 23122 ccAamaTmgmmgM)23,43( 41ggamgTc2021-12-117例（習(xí)題例（習(xí)題3.413.41）質(zhì)量為）質(zhì)量為m m 的人站在質(zhì)量為

4、的人站在質(zhì)量為M M，長(zhǎng)長(zhǎng)L L的竹筏的一端，起初，人和筏處于靜止?fàn)顟B(tài)，若的竹筏的一端，起初，人和筏處于靜止?fàn)顟B(tài)，若人以速度為人以速度為v（相對(duì)于河岸）向垂直于筏身的方相對(duì)于河岸）向垂直于筏身的方向水平跳出，求竹筏獲得的角速度。（筏作為細(xì)向水平跳出，求竹筏獲得的角速度。（筏作為細(xì)桿，水的阻力可忽略）桿，水的阻力可忽略）)121( 02 2MJmvJ筏筏角動(dòng)量守恒：水平面的軸為轉(zhuǎn)軸，以過(guò)竹筏中心垂直解：把人和竹筏為系統(tǒng)Mmv61232021-12-118解法解法1：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。點(diǎn)的垂直軸為固定軸，所以過(guò)止點(diǎn)。為人跳離筏過(guò)程中的靜為筏的中心，為系統(tǒng)，取岸為參照系，人和筏PPO)121( 0)2

5、(22MxMJxmvJPPOPx v2021-12-1190 mvMVC系統(tǒng)動(dòng)量守恒：xVC:相互關(guān)系MmvVMmvxC ,6 ,6VcOPx v2021-12-1110方法方法2 2：動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理MLdtLFM: mvdtFm21212 :Mmv6 VcOPx v2021-12-1111方法方法3 3：質(zhì)心坐標(biāo)系C 略2021-12-1112例例 如圖，設(shè)如圖，設(shè)m1m2+m3，（M，R）、(m3,r)為兩均質(zhì)園柱為兩均質(zhì)園柱, ,繩子與圓柱體無(wú)滑動(dòng)，圓柱體中心軸無(wú)摩擦繩子與圓柱體無(wú)滑動(dòng)，圓柱體中心軸無(wú)摩擦。求各物體的加速度和繩子的張力。求各物體的加速度和繩子的張力。m3,rm1m2

6、M,R2021-12-1113M,Rm3,rm1m2T1T2T3T4a1a2122224223322334321221111121)(21)(amgmTrmrTTamgmTTTMRRTTamTgm解： :,)2( :, :,2223212213111rammrRraRmMRaMm2021-12-1114.43282243213212gMmmmmmma2021-12-1115例例 如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開(kāi)始時(shí)直桿自與單擺的擺錘相等。開(kāi)始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度然下垂，將單擺的

7、擺錘拉到高度h h0 0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下下垂垂, ,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的高度下端達(dá)到的高度h 。chchhbamlhol2021-12-1116chchhbamlhol分析分析: :以小球、棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在碰撞前、以小球、棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在碰撞前、中和碰后，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。碰撞中系統(tǒng)中和碰后，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。碰撞中系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，但系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。動(dòng)量不守恒，但系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。2021-12-1117解：設(shè)碰前擺球的速度為解：設(shè)碰前擺球的速度為v v0 0 ; ;碰撞后直桿的角速度碰撞后直桿的角速

8、度為為 ，擺錘的速度為，擺錘的速度為v。桿下端上升的高度為桿下端上升的高度為h 。則則有：有：2031 (2) mlJvmlJmlv式中碰中系統(tǒng)：(3) 2121212220vmJmv碰中系統(tǒng)：(1) 21020mghmv碰前擺球和地球：2021-12-1118lvvv23,2002320hhhc由此得由此得chchhbamlhol(4) 212cmghJ碰后桿和地球：2021-12-1119。，水平邊長(zhǎng)為板的豎直邊長(zhǎng)為薄減為原來(lái)的一半？已知問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間角速度。方的乘積，比例常數(shù)為正比于該面積和速度平小小面積上所受阻力的大阻力垂直于板面，每一，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到空氣阻力轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為直邊的勻質(zhì)矩

9、形薄板繞其豎一質(zhì)量例abkm0 ab分析：關(guān)鍵是計(jì)算阻力分析：關(guān)鍵是計(jì)算阻力矩和板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩和板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2021-12-1120解：解：建立如圖坐標(biāo)系，在距原點(diǎn) x 處取寬為 dx 的細(xì)薄板，根據(jù)題意，其受空氣的阻力為 bdxxkdskvdf22其對(duì)Oy 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)阻力矩為dxxkbxdfdMf32整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)阻力矩為bakdxxkbdMMaff4203241Oxyabdxx2021-12-1121細(xì)薄板對(duì)Oy 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為bdxabmxdsxdmxdJ222整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為22031madxxamdJJa代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律dtdJMfOxyabdxx2021-12-1122始

10、條件兩邊積分，并考慮到初得2202003141dmdtbkat所以得0234bkamt 2243141dmabdtka得：2021-12-1123例。如圖，轉(zhuǎn)軸平行的兩飛輪例。如圖，轉(zhuǎn)軸平行的兩飛輪A A、B B，半徑分半徑分別為別為R1、R2。對(duì)各自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別對(duì)各自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別 為為J1、 J2 。A A輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 0 0，B B輪不輪不轉(zhuǎn)動(dòng)。移動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。移動(dòng)B B輪使兩輪邊緣互相接觸。兩輪使兩輪邊緣互相接觸。兩軸仍保持平行，軸光滑，輪間有摩擦。軸仍保持平行，軸光滑，輪間有摩擦。問(wèn)轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)后，兩輪的角速度各為多少？問(wèn)轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)后，兩輪的角速度各為多少？O1O202021-12-1124 221101 JJJ 2211 R R線速相等：O1O2Ff1f2m1gm2gT1T2N1N2解：由系統(tǒng)（解：由系統(tǒng)（A，B）受力分析可知，受力分析可知，f1, f2 為為內(nèi)力，其它力的延長(zhǎng)線內(nèi)力，其它力的延長(zhǎng)線過(guò)轉(zhuǎn)軸，所以力矩為零，過(guò)轉(zhuǎn)軸，所以力矩為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量恒。所以系統(tǒng)的角動(dòng)量恒。2021-12-1125恒分析系統(tǒng)的角動(dòng)量不守解： 22201111ttJdtfRBJJd