高中數(shù)學(xué)求值域的種方法

1、求函數(shù)值域的十種方法一. 直接法(觀察法)：對于一些比擬簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例1 .求函數(shù)y1的值域。【解析】I、x 0 , - .X 1 1，二函數(shù)y , x 1的值域?yàn)?,)?！揪毩?xí)】1. 求以下函數(shù)的值域： y 3x 2( 1 x 1)； f(x) 24 x ；X2 y; y x 11 , x 1,0,1,2。x 1【參考答案】1,5:2,):(，1巾(1,) ； 1,0,3 0二. 配方法：適用于二次函數(shù)及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型。形 如F(x) af2(x) bf(x) c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例2 .求函數(shù)y x2 4x 2 ( x 1,1)的值

2、域?！窘馕觥縴x2 4x 2 (x 2)2 6 o 1 x 1 , 3x21 , 1 (x 2)2 9 , 3 (x 2)2 6 5, /3 y 5 o函數(shù) yx2 4x 2 ( x 1,1)的值域?yàn)?,5。例3.求函數(shù)y 2x2 4x(x 0,4)的值域。【解析】此題中含有二次函數(shù)可利用配方法求解，為便于計算不妨設(shè)：f(x)x2 4x( f(x) 0)配方得：f (x) (x 2)2 4(x 0,4)利用二次函數(shù)的相關(guān)知識得f(x) 0,4，從而得出：y 0,2 o說明：在求解值域(最值)時，遇到分式、根式、對數(shù)式等類型時要注意函 數(shù)本身定義域的限制，此題為：f(x) 0 o【分析與解】 此

3、題可看成第一象限內(nèi)動點(diǎn)P(x, y)在直線x 2y 4上滑動時函數(shù)Igx lg y Igxy的最大值。利用兩點(diǎn)(4,0)， (0,2)確定一條直線，作出圖象易得:x (0,4), y (0,2),而 Igx lg y Igxy lgy(4 2y) lg 2(y 1)2 2，y=1 時，Igx lg y取最大值lg2 ?！揪毩?xí)】2. 求以下函數(shù)的最大值、最小值與值域: y x2 4x 1 ; yx24x 1,x 3,4; yx2 4x 1,x 0,1;【參考答案】3,73)2 2 2 2'1 ；® I3® ；$6盲；G0,2 yx2 4x 1,x 0,5 ； 5 yx

4、2 2x 4x1x 4,4 y . x2 2x 3。三. 反函數(shù)法：反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù) 的關(guān)系，求原函數(shù)的值域。適用類型：分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型。例5.求函數(shù)y亙的值域。x 1分析與解：由于此題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出x，從而便于求出反函數(shù)。y互反解得x y ，故函數(shù)的值域?yàn)?，2)(2,) ox 12 yv【練習(xí)】2x 31. 求函數(shù)y 的值域。3x 22. 求函數(shù)y竺衛(wèi)，c 0,x-的值域。cx dc【參考答案】(釗韋)；(自U® )四. 別離變量法:適用類型1:分

5、子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用別離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。例6:求函數(shù)解：2x 5丄上的值域。2x 51 7-(2x 5)-2 22x 572 ，2x 52x 50，y12，二函數(shù)=的值域?yàn)閥|y ,適用類型2:分式且分子、分母中有相似的項(xiàng)，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為y k f(x)( k為常數(shù))的形式。例7:求函數(shù)y分析與解：觀察分子、分母中均含有x2x項(xiàng)，可利用別離變量法;那么有2x x y x x 1x2x 1 1x2 x 111x2(X 1)不妨令:1f(x) (x ?)34，g(x)3f(x) 0)從而 f(x) 7注意：在此題中假設(shè)出現(xiàn)應(yīng)排除f(x)0，因?yàn)閒

6、(x)作為分母.所以g(x)1y 3,1。另解：觀察知道此題中分子較為簡單,可令t , 1 1，求出t的值域,x xx x進(jìn)而可得到y(tǒng)的值域?！揪毩?xí)】2x22x 31求函數(shù)y 2 2x 3的值域。x x 1【參考答案】1. 2,103五、換元法：對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的根本函數(shù)。其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，當(dāng)根式里是一次式時，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時，用三角換兀。例8:求函數(shù)y 2x ,1 2x的值域。 yt21 251t 1；。1 t2解：令 t .1 2x (t 0)，那么 x 一-23

7、 z8時,5ymax 4，無最小值。函數(shù)2x .1 2x的值域?yàn)?，5 o4解：因 1 (x 1)20，即(x 1)21o故可令 x 1 cos ,0, ，.y cos 1. 1 cos2sincos1- 2 sin()1 o4 0,5 ，444'sin(2-)1，0,2 si n( ) 1 1 遼44例9:求函數(shù)y、2。x 2故所求函數(shù)的值域?yàn)?,1T12的值域。例10.求函數(shù)y3x x-4rx 2x-的值域。1解：原函數(shù)可變形為:2x 11 x21 x2可令X=tan ，那么有2x1 x2k2時8時'ymaxk_2時，ymin8而此時tan有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)? 14

8、,41，x祛2的值域。解：y(sin x 1)(cosx 1)令 sin xcosx t，貝V sinxcosx -(t221)由 t sin x cosx 2 sin(x )且x12, 2可得：.2 - t .2 2當(dāng) t&時，ymax 3邁，當(dāng)t2時,22故所求函數(shù)的值域?yàn)? -2,- x 2。例11.求函數(shù)y (sin x1)(cosx42 23、2y ；飛例12.求函數(shù)y x 4的值域。解：由 5 x20，可得 |x| -.5故可令 x 、5cos ,0, 0當(dāng) -時，Ymax 4當(dāng) 時，Ymin 45故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? ,5,4 .10六、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于X的一

9、次方程Fx,y 0 ;通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式0，從而求得原函數(shù)的值域，形如盼：dx G ( ai、92 不a2xb2x c同時為零的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例13:求函數(shù)y2X2 X 3的值域。X X 1解：由y2乞衛(wèi)變形得(y 1)x2 (y 1)xX x 1當(dāng)y 1時，此方程無解；當(dāng) y 1 時，T x R , (y 1)2 4(y 1)(y 3)0，1111解得 1 y ，又 y 1，二 1 y 33函數(shù)y篤一x_3的值域?yàn)閥 |1 y -X2 x 13七、函數(shù)的單調(diào)性法： 確定函數(shù)在定義域或某個定義域的子集上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域例14:求函數(shù)y x ,1 2x的值域。x增大時

10、,1 2x隨x的增大而減少，1 2x隨x的增大而增大,函數(shù)y1，2上是增函數(shù)。12； 2，函數(shù)y，1。例15.求函數(shù)y .，廠.、廠的值域。解：原函數(shù)可化為:2令y,v'T7, y2，顯然y1,y2在1,上為無上界的增函數(shù)所以y yi y在1，上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時，y y1 y2有最小值、2，原函數(shù)有最大值 2.2V2顯然y 0，故原函數(shù)的值域?yàn)?0,.2適用類型2:用于求復(fù)合函數(shù)的值域或最值。(原理：同增異減)2例16：求函數(shù)y logi(4x x)的值域。2分析與解：由于函數(shù)本身是由一個對數(shù)函數(shù)(外層函數(shù))和二次函數(shù)(內(nèi)層函數(shù))復(fù)合而成，故可令：t(x)x2 4x(t

11、(x) 0)配方得：t(x) (x 2)2 4所以t(x) (0,4)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)知：y 2,)。八、利用有界性：一般用于三角函數(shù)型，即利用 sinx 1,1,cosx 1,1等。例17：求函數(shù)y cosx的值域。sin x 3解：由原函數(shù)式可得：ysin x cosx 3y，可化為:即 sin x(x ) 繹VY 1T x Rsin x(x ) 1,1解得：上y 244故函數(shù)的值域?yàn)?：244注：該題還可以使用數(shù)形結(jié)合法cosx yco，利用直線的斜率解題1 2x例18:求函數(shù)y捋的值域。12xx 1 y解：由y二解得2X廠2 ,1 2X1 y1 y - 2X 0，二 0，

12、二 1 y 11 y函數(shù)y捋的值域?yàn)檠?,1九、圖像法數(shù)形結(jié)合法：其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義, 如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目假設(shè)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡 單，一目了然，賞心悅目例19:求函數(shù)y|x 3|x 5|的值域。y.2x 2 (x3)解： y |x3|x 5|8( 3x 5)，82x 2 (x5)*-3o5x y|X 3|x5|的圖像如下圖，由圖像知：函數(shù)y |x 3| |x 5|的值域?yàn)?,例20.求函數(shù)y 、X 22 、x 82的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y |x 2| |x 8|上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn) P X到定點(diǎn)A 2，B 8間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)

13、點(diǎn) P在線段AB上時，y |x 2| |x 8| | AB | 10當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y |x 2| |x 8| |AB| 10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0,例21.求函數(shù)y “廠6x_13/x_45的值域。解：原函數(shù)可變形為:上式可看成X軸上的點(diǎn)P(x,O)到兩定點(diǎn)A(3,2), B( 2, 1)的距離之和,由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與X軸的交點(diǎn)時，ymin |AB | .(3 2)2 (2 1)2 、43 , 故所求函數(shù)的值域?yàn)榍?，?2.求函數(shù)yx2 6x 13x2 4x 5的值域。解：將函數(shù)變形為： y、廠3廠(0一2)22廠(0一1)2上式可看成定點(diǎn)A(3，2)到點(diǎn)P(

14、 x，0)的距離與定點(diǎn)B( 2,1)到點(diǎn)P(x,0)的 距離之差。即: y | AP| |BP |由圖可知：(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線 AB與x軸的交點(diǎn)時，如點(diǎn)P'， 那么構(gòu)成ABP'，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有|AP'| |BP'| | AB| , (3 2)2 (2 1)2.26即:,26 y .26(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時，有|AP| | BP| | AB| -.26綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?726,726例23、：求函數(shù)y 3 sinx的值域.2 cosx分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中兩點(diǎn)求直線的斜 率的公式

15、k 宜1，將原函數(shù)視為定點(diǎn)(2，3)到動點(diǎn)(cosx,sinx)的斜率，又知 動點(diǎn)(cosx,sin X)滿足單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(2，3)到單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時取 得，從而解得：點(diǎn)評：此題從函數(shù)本身的形式入手，弓I入直線的斜率，結(jié)合圖形，從而使 問題得到巧解。例24.求函數(shù)y ,1 x . 1 x的值域。分析與解答：令 u ,1 x , v ,1 x，那么 u 0,v 0, u2 v2 2, u v y,原問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)直線u v y與圓u2 v22在直角坐標(biāo)系uov的第一象限有公共點(diǎn)時，求直線的截距的取值范圍。由圖1知：當(dāng)

16、u v y經(jīng)過點(diǎn)(0, .、2)時，ymin2 ；當(dāng)直線與圓相切時，ymax OD 2OC , 2 2 2。所以：值域?yàn)?2 y 2十：不等式法： 利用根本不等式 a b /ab, a b c 3$abc (a, b, c R )，求 函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和 為定值，不過有時需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例 25.求函數(shù) y (sinx )2 (cosx)2 4 的值域。sin xcosx解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)tanx cotx即當(dāng)x k 時(k z)，等號成立4故原函數(shù)的值域?yàn)椋?,)例26.求函數(shù)y 2sin xsin2x的值域。解： y 4sin xsin xcosx當(dāng)且僅當(dāng)sin2x 2 2sin2x，即當(dāng)sin2 x -時，等號成立。y 833由y264可得：口8.33279故原函數(shù)的值域?yàn)椋憾喾N方法綜合運(yùn)用:例27.求函數(shù)y、門的值域。x 3解：令t x 2(t0)，那么t2 1(1)t 0時,12，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即