12_定積分講課型

1、1.2 定積分 如圖，陰影部分是由拋物線如圖，陰影部分是由拋物線f(xf(x) )x x2 2，直線，直線x x1 1以及以及x x軸所圍成的平面圖形軸所圍成的平面圖形問題問題1 1：通常稱這樣的平面圖形為什么？通常稱這樣的平面圖形為什么？ 曲邊梯形曲邊梯形問題問題2 2：如何求出所給平面圖形的面積近似值？如何求出所給平面圖形的面積近似值？把平面圖形分成多個小曲邊梯形，求這些小曲邊梯形把平面圖形分成多個小曲邊梯形，求這些小曲邊梯形的面積和的面積和 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧問題問題3 3：如何更精確地求出陰影部分的面積如何更精確地求出陰影部分的面積S?S? 提示：提示：分割的曲邊梯形數(shù)目越多，所求的面積

2、分割的曲邊梯形數(shù)目越多，所求的面積越精確越精確 曲邊梯形的面積的解決思路：曲邊梯形的面積的解決思路： 利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時，利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -逼近逼近” ” 的步驟的步驟. .將曲邊梯形的底，即將曲邊梯形的底，即a ,b進(jìn)行分割進(jìn)行分割( (用垂直于用垂直于x軸的直線軸的直線).).第一步第一步 分割；分割；a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x記記1.iiixxx 取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積. .第二步第二步 取近似；取近似；

3、a bxyo)(xfy ()if 高高底底ix1x1 ix1 nx2xix 典型小區(qū)域面積典型小區(qū)域面積 iS i ().iiiSfx a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x第三步第三步 求和；求和；i 矩形面積和與曲邊梯矩形面積和與曲邊梯形面積不相等形面積不相等1 2 1n n 11().nniiiiiSfx 將每個小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所將每個小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來有的小矩形面積加起來. .第四步第四步 逼近逼近. .當(dāng)對曲邊梯形底的分割越來越細(xì)時，矩形面積之當(dāng)對曲邊梯形底的分割越來越細(xì)時，矩形面積之和越近似和越近似于于曲邊梯形面

4、積曲邊梯形面積. .a bxyo)(xfy 0,1,2,ixinmax0ix 11()nniiiiiASfx 112233( )()()(),nnfxfxfxfx 曲曲邊邊梯梯形形面面積積的的近近似似值值為為: :被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式 , a b 為為積積分分區(qū)區(qū)間間積分上限積分上限積分下限積分下限1(0)( )lim()nbiianif xxfx d d積分變量積分變量積分和積分和( )f xx即即注意：注意：( )baxfx d d( )baf t t d d( )baf u u d d(2).i 在在定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和 的的取取法法是是任任意意的的(1)

5、,.積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān) 而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān)(3)( ) , ,( ) , f xa bf xa b當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分存存在在時時稱稱在在區(qū)區(qū)間間上上可可積積. .xtuxtu223sin tdt 中中,積分上限是積分上限是_,積分下限是積分下限是_,積分區(qū)間積分區(qū)間是是_.2 2-2-2-2,2-2,2練一練練一練xaxby0yf(x)xaxb探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 定積分的幾何意義定積分的幾何意義, 0)( xf( )baf x xA d d曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xfd d( )b

6、af x xA 曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值1234( )baf xxAAAA d d 定積分的幾何意義3A4A2A1A abyxO幾何意義( ),;xf xxa xbxx 它它是是介介于于軸軸、函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形及及兩兩條條直直線線之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代數(shù)數(shù)和和在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號號 在在軸軸下下方方的的面面積積取取負(fù)負(fù)號號 _ _abyxO思考思考1 1 根據(jù)定積分的幾何意義，根據(jù)定積分的幾何意義， 的值一定是正數(shù)的值一定是正數(shù)嗎？嗎？ baf(x)dx思考思考2 2 試將曲線試將曲線 與直線與直線x=0,x=4,y=0 x=0,x=4,y

7、=0所圍成的所圍成的圖形的面積寫成定積分的形式圖形的面積寫成定積分的形式. .提示提示: : 0(x0(x0,40,4) )，由定積分的幾何意，由定積分的幾何意義知，曲線義知，曲線 與直線與直線x=0,x=4,y=0 x=0,x=4,y=0圍成圖形的圍成圖形的面積可以用定積分表示為面積可以用定積分表示為yxyxyx40Sx dx.例例 說明下列定積分所表示的意義，并根據(jù)說明下列定積分所表示的意義，并根據(jù)其其意義求出定積分的值意義求出定積分的值. .102dx21xdxdxx1121(1)(1)(2)(2)(3)(3)oyx2y1解解（1 1）102dx表示的是圖表示的是圖中所示長方形中所示長方

8、形的面積，由于這個長方形的面積，由于這個長方形的面積為的面積為2.2.所以所以2210dx2oyxxy 1（2 2）表示的是圖表示的是圖中所中所示梯形的面積，示梯形的面積，由于這個梯形的面由于這個梯形的面21xdx122積為積為 . .2321xdx23所以所以o（3 3）半徑為半徑為1 1的半圓的面的半圓的面表示的是圖中所示表示的是圖中所示積，積，由于這個半圓由于這個半圓oyx1-11dxx1121的面積為的面積為 . .2dxx1121221xy所以所以【變式練習(xí)【變式練習(xí)】說明定積分說明定積分 所表示的意義，并根據(jù)其意義所表示的意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值求出定積分的值. .212x

9、dx解析解析是圖中所示三角形的是圖中所示三角形的面積之差，面積之差，由于由于表示的表示的所以所以212xdx3OCDOABSS212xdx3oyxxy2-1-2224ABCDabd dd d1.bbaaxxba 定理定理d d203 x d d2033.2x 對定積分的補(bǔ)充規(guī)定對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:(1),( )0.baabf xx 當(dāng)當(dāng)時時 令令d d(2)( ),( )( ).abbaababf x xf x xf x x 當(dāng)當(dāng)且且d d 存存在在時時則則d dd d定理定理( ) , ,( ) ,( )( ).,bbaaf xa bkkf xkffaxbxxkx 若若在在上上可可積積為為常

10、常數(shù)數(shù) 則則在在上上d dd d也也可可積積 且且三、三、定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)定理定理( ) , ,( )( ) , ,( ( )( )( )( ).bbbaaaf xg xxf xa bf xgfbx xg x xxa 若若在在上上可可積積 則則在在上上也也可可積積 且且 d dd dd d補(bǔ)充：補(bǔ)充：不論不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,定理定理 （積分區(qū)間的可加性）（積分區(qū)間的可加性）d dd dd d323002( )( )( ),f xxf xxf xx d dd dd d363006( )( )( ),f x xf x xf x x 有有界界函

11、函數(shù)數(shù)在在上上都都可可積積的的充充要要條條件件是是在在上上也也可可積積 且且 dddddd ( ) , , , ( ) , ( )( )( ),.bcbaacf xxf xxff xa cc bf xaxxb266032 063 2abcSacScbS2323思考思考1 1 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)(3)(3)能推廣到多個函數(shù)的和或能推廣到多個函數(shù)的和或差的定積分運(yùn)算嗎？差的定積分運(yùn)算嗎？提示提示: :能能. .推廣公式為推廣公式為b12maf (x)f (x)f (x)dxbbb12maaaf (x)dxf (x)dxf (x)dx.思考思考2 2 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)(4)(4)能推廣

12、到有限個區(qū)間上的能推廣到有限個區(qū)間上的積分和嗎？積分和嗎？提示提示: :能能. .推廣公式為推廣公式為 (ac(ac1 1cc2 2 cck kb). b). 121kbccbaaccf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx練一練練一練-1-11.1.設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù)f(xf(x) )在在a, ba, b上恒有上恒有f(xf(x)0,)0,則定積則定積分分 值的符號值的符號( )( )A.A.一定為正一定為正B.B.一定為負(fù)一定為負(fù)C.C.可能為正也可能為負(fù)可能為正也可能為負(fù)D.D.不能確定不能確定baf(x)dxB B2.2.（20102010福建師大附中高二檢測）用福建師大附中

13、高二檢測）用S S表示圖中陰影部分的表示圖中陰影部分的面積，則面積，則S S的值是的值是( )( ) 【解題提示【解題提示】注意注意 與圖中面積的不同與圖中面積的不同. .【解析【解析】選選D.D.根據(jù)定積分的幾何意義可知，應(yīng)選根據(jù)定積分的幾何意義可知，應(yīng)選D.D.3.3.若若 ( )( )（A A）9 9 （B B）12 12 （C C）15 15 （D D）1818【解析【解析】選選C.C.根據(jù)定積分的性質(zhì)及幾何意義可得根據(jù)定積分的性質(zhì)及幾何意義可得 =3+4=3+4(3-0)=15.(3-0)=15.5 52 2利用幾何意義求定積分 解 函數(shù) y1x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y1x為曲

14、邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積. 因?yàn)橐詙1x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是一個直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以 首頁 例2 例 2 用定積分的幾何意義求10)1 (dxx. 211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx. 三、解答題（三、解答題（6 6題題1212分，分，7 7題題1313分，共分，共2525分）分）6.6.將下圖陰影部分的面積用定積分表示出來將下圖陰影部分的面積用定積分表示出來. . 【解題提示【解題提示】利用定積分的幾何意義直接求解即可，不能利用定積分的幾何意義直接求解即可，不能直接表示出來時，要將

15、圖形適當(dāng)分割，使得可以利用定積分來直接表示出來時，要將圖形適當(dāng)分割，使得可以利用定積分來表示表示. .【解析【解析】由由y=xy=x2 2和和y=xy=x可得它們的交點(diǎn)為可得它們的交點(diǎn)為(0,0)(0,0)，(1,1)(1,1)，所以，所以圖中陰影部分的面積為圖中陰影部分的面積為4.4.（1515分）用定積分表示拋物線分）用定積分表示拋物線y=xy=x2 2-2x+3-2x+3與直線與直線y=x+3y=x+3所圍成所圍成的圖形的面積的圖形的面積. .【解析【解析】解方程組解方程組 得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0 x=0和和x=3.x=3.如如圖，圖，2y=x -2x+3,y=x+3由由

16、y=xy=x2 2-2x+3-2x+3、x=0 x=0、x=3x=3和和y=0y=0圍成的曲邊梯形的面積為圍成的曲邊梯形的面積為 由由y=x+3y=x+3、x=0 x=0、x=3x=3和和y=0y=0圍成的梯形的面圍成的梯形的面積為積為 ，所以所求圖形（陰影）的面積為，所以所求圖形（陰影）的面積為 dxx 311求求 3111111xxxxx因?yàn)橐驗(yàn)閐xxdxxdxx 311131111所以所以 3111)1()1(dxxdxx4)2()2(312112 xxxx 若被積函數(shù)是分段函數(shù)，當(dāng)分段點(diǎn)在積若被積函數(shù)是分段函數(shù)，當(dāng)分段點(diǎn)在積分區(qū)間內(nèi)時，計(jì)算定積分要用定積分對區(qū)間的可加性分區(qū)間內(nèi)時，計(jì)算定積分要用定積分對