多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的基本概念PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的基多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的基本概念本概念- 2 -（1 1）鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 1 有關(guān)有關(guān)區(qū)域的概念區(qū)域的概念定義定義第1頁(yè)/共27頁(yè)- 3 -（2 2）區(qū)域）區(qū)域().EPPU PEPE 設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)的某一鄰域，則點(diǎn)的某一鄰域，則稱(chēng)為稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)的的.EE的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于EP .EE如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)，如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)，則稱(chēng)為則稱(chēng)為開(kāi)集開(kāi)集點(diǎn)點(diǎn)41),(221 yxyxE例如，例如，即為開(kāi)集

2、即為開(kāi)集P xyo第2頁(yè)/共27頁(yè)- 4 -PEEPEEPE如果點(diǎn)的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，如果點(diǎn)的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，也有不屬于的點(diǎn)（點(diǎn)本身可以屬于，也也有不屬于的點(diǎn)（點(diǎn)本身可以屬于，也可以不屬于），則稱(chēng)為的可以不屬于），則稱(chēng)為的 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)EP EE的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱(chēng)稱(chēng)為為的的邊邊界界DDDD設(shè)是點(diǎn)集如果對(duì)于內(nèi)設(shè)是點(diǎn)集如果對(duì)于內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來(lái)，且該折線上的點(diǎn)都屬于，則稱(chēng)且該折線上的點(diǎn)都屬于，則稱(chēng)集合是集合是連通的連通的 第3頁(yè)/共27頁(yè)- 5 -連通的開(kāi)集稱(chēng)為連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域區(qū)域或或開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域.41| ),(22 yxy

3、x例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo連通的不是開(kāi)集連通的不是開(kāi)集是開(kāi)集不是連通的是開(kāi)集不是連通的xyo不是閉區(qū)域的例子：不是閉區(qū)域的例子：去掉邊界不是開(kāi)區(qū)域去掉邊界不是開(kāi)區(qū)域第4頁(yè)/共27頁(yè)- 6 -0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；是無(wú)界開(kāi)區(qū)域是無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo例如，例如，EKPEAAPKAPKPEE 對(duì)于點(diǎn)集如果存在正數(shù)，使一切點(diǎn)與對(duì)于點(diǎn)集如果存在正數(shù)，使一切點(diǎn)與某一定點(diǎn)間的距離不超過(guò)，即某一定點(diǎn)間的距離不超過(guò)，即對(duì)一切成立，則稱(chēng)為對(duì)一切成立，則稱(chēng)為 有界點(diǎn)集有界點(diǎn)集，41| ),(22 yxyx無(wú)無(wú)否則稱(chēng)為否則稱(chēng)為界點(diǎn)集界點(diǎn)集第5頁(yè)/共27頁(yè)-

4、 7 -（3 3）聚點(diǎn)聚點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明說(shuō)明邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)第6頁(yè)/共27頁(yè)- 8 -點(diǎn)集點(diǎn)集E E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E E，也可以不屬于，也可以不屬于E E10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0,0) (0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合第7頁(yè)/共27頁(yè)- 9 -2 2 n n維空間維空間n n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為說(shuō)明說(shuō)明：;

5、nRn n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 n),(21nxxx元數(shù)元數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為維空間中的一個(gè)維空間中的一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，而每個(gè)而每個(gè)組組nnn),(21nxxxn設(shè)設(shè)為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱(chēng)為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱(chēng)數(shù)組數(shù)組的全體為的全體為維空間維空間，元元ixi為該點(diǎn)的第為該點(diǎn)的第個(gè)個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo). .數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng).)()()(|2222211nnxyxyxyPQ ),(21nxxxP),(21nyyyQ設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為定義定義第8頁(yè)/共27頁(yè)- 10 -n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng)3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、

6、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離第9頁(yè)/共27頁(yè)- 11 -D,),(DyxP 設(shè)設(shè)是是 平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)點(diǎn)3 3 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義n元函數(shù)元函數(shù)的定義，的定義，Dyxyxfz ),(),(記為記為定義定義(1) 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義z是是的的二元函數(shù)二元函數(shù)，則稱(chēng)則稱(chēng)yx、或或DPPfz ),(變量變量z按照一定的法則按照一定的法則值和它對(duì)應(yīng)，值和它對(duì)應(yīng)，f總有唯一確定的總有唯一確定的其中其中D稱(chēng)為函數(shù)的稱(chēng)為函數(shù)的

7、定義域定義域，yx、稱(chēng)為函數(shù)的稱(chēng)為函數(shù)的自變量自變量，z稱(chēng)為函數(shù)的稱(chēng)為函數(shù)的因變量因變量。說(shuō)明說(shuō)明如果將如果將D換成換成)2( nRn中的點(diǎn)集，中的點(diǎn)集， 相應(yīng)的相應(yīng)的可可得出得出n元函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為元函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù)多元函數(shù). .第10頁(yè)/共27頁(yè)- 12 -例例1 1 求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 的定義域的定義域xyo1322 yx02 yx4222 yx2yx 第11頁(yè)/共27頁(yè)- 13 -(2)(2) 二元函數(shù)二元函數(shù)),(yxfz 的圖形的圖形),(yxfz ,D 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域

8、為),(yxfz 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值這個(gè)點(diǎn)集稱(chēng)為二元函數(shù)的圖形這個(gè)點(diǎn)集稱(chēng)為二元函數(shù)的圖形. .,),(DyxP 對(duì)于任意取定對(duì)于任意取定的的),(yxfz xyzo),(yxP ),(,(yxfyxMDyz),(zyxM為縱坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、為豎坐標(biāo)在空間就為豎坐標(biāo)在空間就確確x這樣以這樣以為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、定一點(diǎn)定一點(diǎn)),(yxD,),(),(|),(Dyxyxfzzyx 當(dāng)當(dāng)取遍取遍個(gè)個(gè)空間點(diǎn)集空間點(diǎn)集 時(shí)，得一時(shí)，得一二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. .第12頁(yè)/共27頁(yè)- 14 -xyzxyzsin 例如例如, ,224yxz o第13頁(yè)/共27頁(yè)- 1

9、5 -例如例如, ,2222azyx 222yxaz (3)(3) 多值函數(shù)多值函數(shù)xyzo在函數(shù)的定義中要求對(duì)每個(gè)在函數(shù)的定義中要求對(duì)每個(gè),),(Dyx 按照一確定按照一確定z法則有法則有唯一的唯一的一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)與與),(yx對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，但在實(shí)際問(wèn)題中但在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常存在多個(gè)數(shù)經(jīng)常存在多個(gè)數(shù)z與與),(yx對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為多值函數(shù)多值函數(shù)，因此因此我們說(shuō)由我們說(shuō)由2222azyx 確定確定了一個(gè)多值函數(shù)。了一個(gè)多值函數(shù)。對(duì)于多值函數(shù)可分成幾個(gè)對(duì)于多值函數(shù)可分成幾個(gè)(單值單值)函數(shù)來(lái)討論，函數(shù)來(lái)討論， 例如例如, ,2222azyx 可分成可分成222yxaz

10、 對(duì)于每個(gè)點(diǎn)對(duì)于每個(gè)點(diǎn)),(yx)(222ayx 有兩個(gè)確定的數(shù)有兩個(gè)確定的數(shù)和和與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，222yxaz 和和222yxaz 討論。討論。),(yx 第14頁(yè)/共27頁(yè)- 16 -1 1 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限, 20200)()(|0yyxxPP,PD |),(|Ayxf),(yxfz ,0 xx 0yy Ayxfyyxx ),(lim00)0(),( Ayxf|0PP 定義定義),(000yxP是其聚點(diǎn)，是其聚點(diǎn)，總存在正數(shù)總存在正數(shù)使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)，且的一切點(diǎn)，且都有都有成立，成立，在在時(shí)的時(shí)的極限極限，或或這里這里, 如果對(duì)于任意給定的正如

11、果對(duì)于任意給定的正數(shù)數(shù)為函數(shù)為函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)A記為記為則則),(yxfz ,D的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)第15頁(yè)/共27頁(yè)- 17 -說(shuō)明說(shuō)明：（1 1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似確定極限不存在可以找多種確定極限不存在可以找多種),(yxP趨向于趨向于),(000yxP的路徑，的路徑，且且),(yxf的極限不相等。的極限不相等。（4）求二元函數(shù)可以通過(guò)轉(zhuǎn)變，化為一元函數(shù)的極限）求二元函數(shù)

12、可以通過(guò)轉(zhuǎn)變，化為一元函數(shù)的極限第16頁(yè)/共27頁(yè)- 18 -例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立第17頁(yè)/共27頁(yè)- 19 -例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx yxyx22)sin( 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim

13、22200 yxyxyxyxu2 0,222yxyx 00limyx第18頁(yè)/共27頁(yè)- 20 -例例4 4 證明證明證證2200limyxxyyx 取取kxy 220limyxxykxyx 2220limxkxkxxx ,12kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在 不存在不存在第19頁(yè)/共27頁(yè)- 21 -類(lèi)似可以定義類(lèi)似可以定義n元函數(shù)的極限元函數(shù)的極限n)(Pf0, PD, , |00PPDP |)(|APfn)(Pf0PP APfPP )(lim0定義定義 設(shè)設(shè)元函數(shù)元函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對(duì)

14、于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)總存在正數(shù)使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)都有都有成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng)元函數(shù)元函數(shù)在在時(shí)的時(shí)的極限極限，為為A記為記為 第20頁(yè)/共27頁(yè)- 22 -2 2 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義)()(lim00PfPfPP n)(Pf0Pn)(Pf,D設(shè)設(shè)元函數(shù)元函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集如果如果則稱(chēng)則稱(chēng)元函數(shù)元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處處連續(xù)連續(xù). .0P)(Pf設(shè)設(shè)是函數(shù)是函數(shù)的定義域的聚點(diǎn)，的定義域的聚點(diǎn)，)(Pf0P在點(diǎn)在點(diǎn)處不連續(xù)，處不連續(xù)，如果如果0P)(Pf是函數(shù)是函數(shù)的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). .則稱(chēng)則稱(chēng)如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上上各點(diǎn)處

15、各點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù), 則稱(chēng)此函數(shù)則稱(chēng)此函數(shù)在在 D上上連續(xù)連續(xù).,0DP 是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且0P第21頁(yè)/共27頁(yè)- 23 -例例5 5 討論函討論函數(shù)數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解),(yxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(0,0)處連續(xù)處連續(xù)0)0 . 0( f|222xyxx |222yyxy |yx 0000yx第22頁(yè)/共27頁(yè)- 24 - 函數(shù)函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0)

16、(0 , 0) 極限不存在極限不存在, , 函數(shù)函數(shù)11),(22 yxyxf上間斷上間斷. .122 yx 故故 ( 0, 0 )( 0, 0 )為其間斷點(diǎn)為其間斷點(diǎn). .在圓周在圓周第23頁(yè)/共27頁(yè)- 25 - 多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域00000lim()()()()lim()().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P 一般地，求時(shí)，如果是初等函數(shù)，一般地，求時(shí)，如果是初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則在點(diǎn)處連續(xù)，且是的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則在點(diǎn)處連續(xù)，于是于是第24頁(yè)/共27頁(yè)- 26 -例例6 60011lim.xyxyxy求求解解0011lim(11)xyxyxyxy 原式原式111lim00 xyyx.21 222)3arcsin(),(yxyxyxf 例例7 求函求函數(shù)數(shù)的連續(xù)域的連續(xù)域.1322 yx4222 yx解解:02 yx2yx 第