平面向量公式

1、設(shè) a= (x, y), b=(x' , y')。1、向量的加法向量的加法滿足 平行四邊形法則 和三角形法則。AB+BC=AC 。a+b=(x+x' , y+y')。a+O=O+a=a。向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a；結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的減法如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b， b=-a， a+b=0. 0的反向量為0AB-AC=CB.即共同起點(diǎn)，指向被減”a=(x,y) b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量實(shí)數(shù)入和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作入a且I入a

2、l = I入I?丨al。當(dāng)心0時(shí)，入&與a同方向；當(dāng)入v 0時(shí)，入&與a反方向；當(dāng)入=0時(shí)，入a=0方向任意。當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù) 入，都有 入a=0注：按定義知，如果 入a=0那么 入=0或a=0。實(shí)數(shù)入叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量 入a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。當(dāng)I XI > 1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(X> 0)或反方向(入v 0) 上伸長(zhǎng)為原來 的I XI倍；當(dāng)I X I v 1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(X> 0)或反方向(XV 0) 上縮短為原來 的I X I倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：(X a)

3、?b= X (a?b)=(a? X b)向量對(duì)于數(shù)的 分配律(第一分配律)：(X +)a= X a+ a.數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：X (a+b)= X a+ Xb數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù) 入工且X a=XI那么a=b。 如果aO且 X a=(j,那么X =性 3、向量的的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b> 并規(guī)定 0w a,b> <n定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作a?b>若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos a, b>若 a、b 共線，則 a?b

4、=+- I a II b I。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a?b=b?a（交換律）；（入a）?b=入（a關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律）;（a+b）?c=a?c+b?c（分配律）；向量的數(shù)量積的性質(zhì)a?a=|a的平方。a 丄 b =a?b=03|a?b| w向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1、 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：（a?b）?c豐a?（b?例如：（a?b）A2豐aA2?bA22、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c （a藝0推不出b=c。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、 由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b。4、向

5、量的向量積定義：兩個(gè)向量 a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a>b。若a、b不共線，則a>b的模是：la>bI=|a|?|b|?sina,b>ab的方向是：垂直于 a和b,且a、b和a>b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a=0。向量的向量積性質(zhì)：I a©I是以a和b為邊的平行四邊形面積。a >=0。a II b = > axb=0o向量的向量積運(yùn)算律a>b=-b 冶；（入）x b= （a>b） =ax （入 b;（a+b） xc=a xc+b xc.注：向量沒有除法，向量AB/向量CD'是沒有意義的。向量的

6、三角形不等式1、I I a I -I bI I w I a+b I w I a I + I b I ；當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào)；當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。2、I I a I -I bI I w I a-b I w I a I + I b I 。當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào)；當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式 （向量P1P=X?量PP2）設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是I上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 人使向 量P1P=X?向量PP2,入叫做點(diǎn)P分有向線段 P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1） , P2（x2,y2） , P（x,y），則有0P=（0P1+入OP2）（1+入；（定比分點(diǎn)向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）,y=（y1+入y2）/（1+。入（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理若OC=X 0A +卩OBJ且入+卩=1則A、B、C三點(diǎn)共線三角形重心判斷式在厶ABC中，若 GA +GB +GC=O,貝U G ABC的重心 編輯本段向量共線的重要條件若b0則a/b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)入，使a=ba/