概率論第一章習題解答(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上1. 寫出下列隨機試驗的樣本空間：1) 記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（以百分制記分）；2) 一個口袋中有5個外形相同的球，編號分別為1、2、3、4、5，從中同時取出3個球；3) 某人射擊一個目標，若擊中目標，射擊就停止，記錄射擊的次數(shù)；4) 在單位圓內任意取一點，記錄它的坐標. 解：1）設小班共有個學生，每個學生的成績?yōu)榈降恼麛?shù)，分別記為，則全班平均分為，于是樣本空間為=2）所有的組合數(shù)共有種，3）至少射擊一次，4）單位圓中的坐標滿足，2. 已知，求，和.解 （因為）（因為，則）3. 設有10件產(chǎn)品，其中6件正品，4件次品，從中任取3件，求下列事件的概率：1）

2、只有一件次品；2） 最多1件次品；3） 至少1件次品. 解 1）設表示只有一件次品，.2)設為最多1件次品，則表示所取到的產(chǎn)品中或者沒有次品，或者只有一件次品，.3）設C表示至少1件次品，它的對立事件為沒有一件次品，4. 盒子里有10個球，分別標有從1到10的標號，任選3球，記錄其號碼. （1）求最小號碼為5的概率. （2）求最大號碼為5的概率. 解1）若最小號碼為5，則其余的2個球必從6，7，8，9，10號這5個球中取得。則它的概率為.2)若最大號碼為5，則其余的2個球必從1，2，3，4號這4個球中取得。則它的概率為.5. 有a個白球，b個黑球，從中一個一個不返回地摸球，直至留在口袋中的球都

3、是同一種顏色為止. 求最后是白球留在口袋中概率. 解 設最后留在口袋中的全是白球這一事件為A，另設想把球繼續(xù)依次取完，設取到最后的一個球是白球這一事件為B，可以驗證A=B， 顯然.6. 一間學生寢室中住有6位同學，求下列事件的概率：1）6個人中至少有1人生日在10月份；2）6個人中有4人的生日在10月份；3）6個人中有4人的生日在同一月份. （假定每個人生日在同各個月份的可能性相同）解 1）設6個人中至少有1人生日在10月份這一事件為A；它的逆事件為沒有一個人生日在10月份，生日不在10月份的概率為，則2）設6個人中有4人的生日在10月份這一事件為B，則.3) 設6個人中有4人的生日在同一月份

4、這一事件為C. 則7. 甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，問由甲射中的概率為多少？解 設A和B分別表示甲和乙射中。C表示目標被射中，則.8. 某商店出售的電燈泡由甲、乙兩廠生產(chǎn)，其中甲廠的產(chǎn)品占60%，乙廠的產(chǎn)品占40%. 已知甲廠產(chǎn)品的次品率為4%，乙廠產(chǎn)品的次品率5%. 一位顧客隨機地取出一個電燈泡，求它是合格品的概率. 解 設A和B分別表示電燈泡由甲廠和乙廠生產(chǎn)，C表示產(chǎn)品為合格。則9. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者. 今從男女為數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率多少？解 設挑選到的人為

5、男性和女性分別為A和B。另設某人是色盲患者為C。由已知條件，；則10. 甲、乙、丙三人獨立地向一敵機射擊，設甲、乙、丙命中率分別為0.4，0.5，0.7，又設敵機被擊中1次，2次，3次而墜毀的概率分別為0.2，0.6，1. 現(xiàn)三人向敵機各射擊一次，求敵機墜毀的概率. 解 設敵機被擊中1次，2次，3次的事件分別為A，B，C. 敵機墜毀的事件為。則11. 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4. 問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？解 三人譯出密碼分別記為A，B，C。則即為所求事件（三人中至少有一人能將此密碼譯出）。它的對立事件為。又因為各人譯出密碼是

6、相互獨立的，則12. 甲袋中裝有只白球、只紅球；乙袋中裝有只白球、只紅球. 今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球，問取到白球的概率是多少？解 設從甲袋中取出白球記為A， 從乙取出白球記為B。13. 做一系列獨立的試驗，每次成功的概率為，求在成功次之前已經(jīng)失敗了次的概率.解 根據(jù)題意，試驗在第n+m次是成功的（記為A），前n+m-1次中有m次是失敗的（記為B）。而前n+m-1次中有m次失敗是一個二項分布B（n+m-1,1-p）, 所求概率為14. 甲給乙打電話，但忘記了電話號碼的最后1位數(shù)字，因而對最后1位數(shù)字就隨機地撥號，若撥完整個電話號碼算完成1次撥號，并假設乙的電話不占

7、線. （1）求到第次才撥通乙的電話的概率；（2）求不超過次而撥通乙的電話的概率. （設）解 1）該問題相當于在09這十個數(shù)字中不放回抽樣，第k次正好抽到所需的數(shù)字這一個問題。根據(jù)抽簽與次序無關的結果，第k次抽到的概率為1/10。2）第二個問題相當于一次性地抓了k個數(shù)字，所需數(shù)字正好在所抓的數(shù)字中這樣一個問題。由于每個數(shù)字都是等可能被抽到，所需數(shù)字落在所抓數(shù)字中的概率與所抓的數(shù)目k成正比。設表示所需數(shù)字在所抓的k個數(shù)字中，其中C為常數(shù)。（或）可得出C=1/10。所以15. 將3個小球隨機地放入4個盒子中，求盒子中球的最多個數(shù)分別為1, 2, 3的概率.解 3個球隨機放入4個盒子共有種放法。盒子中

8、最多個數(shù)為1，相當于4個盒子中分別有1，1，1，0個球，這種情形的放法共有種（選一個空盒有4種選法，剩下的每盒有一個球相當于全排列）。故盒子中最多個數(shù)為3，相當于4個盒子中有一個盒子中有3個球，其它3個盒子沒有球。它的放法共有種（選一個盒子，放入3個球）。故盒子中求的最多個數(shù)為2相當于排除以上2種情況而剩下來的情形。16. 設有一傳輸信道，若將三字母A, B, C分別輸入信道, 輸出為原字母的概率為, 輸出為其它字母的概率為, 現(xiàn)將3個字母串AAAA, BBBB, CCCC分別輸入信道,輸入的分別為p1, p2, p3, 且p1+p2+p3=1,已知輸出字母串為ABCA, 問輸入為AAAA的概率是多少?解 17. 證明: 若, 則事件與相互獨立.證明：，所以即即18. 某地區(qū)約有5%的人體內攜帶有乙肝病毒, 求該地區(qū)某校一個班的50名學生中至少有一人體內攜帶有乙肝病毒的概率.解 設為學生攜帶有乙肝病毒，. 不攜帶有乙肝病毒為，50名學生中至少有一人體內攜帶有乙肝病毒的對立事件是50名學生都不攜帶有乙肝病毒，P（50名學生都不攜帶有乙肝病毒）=。所以P（50名學生中至少有一人