概率論在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用

1、概率論在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用 鄭梅琳 概率論的起源和發(fā)展三四百年前在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博之風(fēng)。擲骰子是他們常用的一種賭博方式。因骰子的形狀為小正方體，當(dāng)它被擲到桌面上時(shí)，每個(gè)面向上的可能性是相等的，即出現(xiàn)1點(diǎn)至6點(diǎn)中任何一個(gè)點(diǎn)數(shù)的可能性是相等的。有的參賭者就想：如果同時(shí)擲兩顆骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為9與點(diǎn)數(shù)之和為10，哪種情況出現(xiàn)的可能性較大？17世紀(jì)中葉，法國有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德·梅耳，發(fā)現(xiàn)了這樣的事實(shí)：將一枚骰子連擲四次至少出現(xiàn)一個(gè)六點(diǎn)的機(jī)會(huì)比較多，而同時(shí)將兩枚骰子擲24次，至少出現(xiàn)一次雙六的機(jī)會(huì)卻很少。這是什么原因呢？后人稱此為著名的德·梅耳問題。又有人提出

2、了“分賭注問題”：兩個(gè)人決定賭若干局，事先約定誰先贏得6局便算贏家。如果在一個(gè)人贏3局，另一人贏4局時(shí)因故終止賭博，應(yīng)如何分賭本？諸如此類的需要計(jì)算可能性大小的賭博問題提出了不少，但他們自己無法給出答案。數(shù)學(xué)家們“參與”賭博參賭者將他們遇到的上述問題請(qǐng)教當(dāng)時(shí)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，他沒有立即回答，而把它交給另一位法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問題開始了深入細(xì)致的研究。這些問題后來被來到巴黎的荷蘭科學(xué)家惠更斯獲悉，回荷蘭后，他獨(dú)立地進(jìn)行研究。帕斯卡和費(fèi)爾馬一邊親自做賭博實(shí)驗(yàn)，一邊仔細(xì)分析計(jì)算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題”，并將此

3、題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個(gè)基本概念數(shù)學(xué)期望，這是描述隨機(jī)變量取值的平均水平的一個(gè)量。而惠更斯經(jīng)過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著論擲骰子游戲中的計(jì)算。這本書迄今為止被認(rèn)為是概率論中最早的論著。因此可以說早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費(fèi)爾馬和惠更斯。這一時(shí)期被稱為組合概率時(shí)期，計(jì)算各種古典概率。在他們之后，對(duì)概率論這一學(xué)科做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家族貝努利家族的幾位成員。雅可布·貝努利在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個(gè)定理，這是研究等

4、可能性事件的古典概率論中的極其重要的結(jié)果。大數(shù)定律證明的發(fā)現(xiàn)過程是極其困難的，他做了大量的實(shí)驗(yàn)計(jì)算，首先猜想到這一事實(shí)，然后為了完善這一猜想的證明，雅可布花了20年的時(shí)光。雅可布將他的全部心血傾注到這一數(shù)學(xué)研究之中，從中他發(fā)展了不少新方法，取得了許多新成果，終于將此定理證實(shí)。1713年，雅可布的著作猜度術(shù)出版。遺憾的是在他的大作問世之時(shí)，雅可布已謝世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲一次出現(xiàn)正面，則乙付給甲一個(gè)盧布；若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個(gè)盧布；若甲前兩

5、次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲22個(gè)盧布。一般地，若甲前n1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個(gè)盧布。問在賭博開始前甲應(yīng)付給乙多少盧布才有權(quán)參加賭博而不致虧損乙方？尼古拉同時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家研究了這個(gè)問題，并給出了一些不同的解法。但其結(jié)果是很奇特的，所付的款數(shù)竟為無限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博不斷地進(jìn)行，乙肯定是要賠錢的。走出賭博隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展，人們注意到某些生物、物理和社會(huì)現(xiàn)象與機(jī)會(huì)游戲相似，從而由機(jī)會(huì)游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中，同時(shí)也大大推動(dòng)了概率論本身的發(fā)展。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論進(jìn)行推進(jìn)，他首先明確給出了概率的古

6、典定義，并在概率論中引入了更有力的數(shù)學(xué)分析工具，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。他還證明了“煤莫弗拉普拉斯定理”，把橡莫弗的結(jié)論推廣到一般場合，還建立了觀測誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作分析的概率理論，這是一部繼往開來的作品。這時(shí)候人們最想知道的就是概率論是否會(huì)有更大的應(yīng)用價(jià)值？是否能有更大的發(fā)展成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科概率論在20世紀(jì)再度迅速地發(fā)展起來，則是由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要而產(chǎn)生的。1906年，俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫提出了所謂“馬爾科夫鏈”的數(shù)學(xué)模型。1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽又提出一種在時(shí)間中均勻進(jìn)行著的平穩(wěn)過程理論。如何把概率論建立在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)上，這是從概率誕生

7、時(shí)起人們就關(guān)注的問題，這些年來，好多數(shù)學(xué)家進(jìn)行過嘗試，終因條件不成熟，一直拖了三百年才得以解決。20世紀(jì)初完成的勒貝格測度與積分理論及隨后發(fā)展的抽象測度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎(chǔ)。在這種背景下柯爾莫哥洛夫1933年在他的概率論基礎(chǔ)一書中首次給出了概率的測度論式定義和一套嚴(yán)密的公理體系。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支?，F(xiàn)在，概率論與以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科一起，在自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域中都起著不可或缺的作用。直觀地說，衛(wèi)星上天，導(dǎo)彈巡航，飛機(jī)制造，宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞；及時(shí)準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，海

8、洋探險(xiǎn)，考古研究等更離不開概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；電子技術(shù)發(fā)展，影視文化的進(jìn)步，人口普查及教育等同概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是密不可分的。根據(jù)概率論中用投針試驗(yàn)估計(jì)值的思想產(chǎn)生的蒙特卡羅方法，是一種建立在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上的計(jì)算方法。借助于電子計(jì)算機(jī)這一工具，使這種方法在核物理、表面物理、電子學(xué)、生物學(xué)、高分子化學(xué)等學(xué)科的研究中起著重要的作用。概率論作為理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)分支正日益受到人們的重視，并將隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而得到發(fā)展。 概率論在生活中的應(yīng)用 生活?yuàn)蕵窋S骰子問題，今天的概率論就誕生于此。1654年夏，愛好賭博的梅勒向其好友數(shù)學(xué)神童帕斯卡提出了如下問題：甲、乙兩人各拿出了32枚金幣做擲骰子

9、游戲，規(guī)定兩人各自選定一個(gè)點(diǎn)數(shù)，最先擲出三次所選點(diǎn)數(shù)者獲勝，并取得全部賭金。一段時(shí)間后，甲所選點(diǎn)數(shù)已出現(xiàn)了2次，乙所選點(diǎn)數(shù)也出現(xiàn)了1次，游戲被迫停止，問64枚金幣應(yīng)如何分配？這是我們所接觸的最早的關(guān)于概率論的問題。我們不妨設(shè)甲選的點(diǎn)數(shù)為6，乙選的點(diǎn)數(shù)為4，并假定每局均有“6點(diǎn)”或“4點(diǎn)”出現(xiàn)，則這場游戲至多再進(jìn)行兩次就可以決出勝負(fù)。而在這兩次中有4種等可能的不同結(jié)果：（6，6）（6，4）（4，6）（4，4），可見，甲獲勝概率為，乙獲勝概率為，故甲應(yīng)分得×枚金幣。有關(guān)線路中系統(tǒng)的可靠性問題隨著人類社會(huì)的進(jìn)步，概率論已廣泛應(yīng)用交通指揮、工業(yè)流程當(dāng)中，下面我們通過幾個(gè)例子了解一下這方面知識(shí)

10、的實(shí)際應(yīng)用。2.21 3一輛汽車沿一條街道行駛，需要通過3個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠，與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅、綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等，以x表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個(gè)數(shù)，求x的概率分布。解 由題意可知，x的可能值為0，1，2，3，其中3表示駛過在該街道未遇紅燈，設(shè)汽車在第i個(gè)路口遇到紅燈,則相互獨(dú)立，且= X0123Px分布列如下：2.2.24一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率分別為0.10，0.20，0.30，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以x表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求x的數(shù)學(xué)期望和方差.解 令第i個(gè)部件需要調(diào)整，i=1，2，3

11、1 若出現(xiàn)，i=1，2，3 ； 考慮隨機(jī)變量= 0 若不出現(xiàn).則服從01分布，因此有：， 由題意，由于相互獨(dú)立，則又有有關(guān)生產(chǎn)獲得利潤的問題一工廠生產(chǎn)的電冰箱的壽命（年）服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為：工廠規(guī)定，出售的電冰箱若在一年內(nèi)損壞，則可以調(diào)換。若工廠出售的電冰箱每臺(tái)盈利300元，調(diào)換一臺(tái)則廠方需要花費(fèi)700元，問廠方出售的電冰箱平均每臺(tái)盈利多少？解 先計(jì)算一臺(tái)電冰箱在一年內(nèi)損壞的概率為                 從而，電冰箱在一

12、年內(nèi)不損壞的概率為 .    因?yàn)槌鍪勖颗_(tái)電冰箱盈利300元,而調(diào)換一臺(tái)需要花費(fèi)700元，即損失700-300=400元.    故廠方出售的電冰箱平均每臺(tái)盈利(即盈利的數(shù)學(xué)期望)為：300×0.9048-400×0.0952=233.36元。 關(guān)于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的問題隨著概率論的逐步發(fā)展，它的應(yīng)用變得越來越廣泛。根據(jù)大量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以大概預(yù)測生產(chǎn)收益，從而選擇種植方案。2.4.1某農(nóng)場要在一塊地里種農(nóng)作物，有三種可供選擇的方案，即種蔬菜，小麥和棉花。根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)和大量調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)天氣

13、干旱、天氣正常和天氣多雨的概率分別為0.2，0.7，0.1.每種農(nóng)作物在三種天氣下獲利情況如表所示。為獲得最大收益該選種哪種農(nóng)作物？利潤 天氣情況方案天氣干旱天氣正常天氣多雨0.2 0.7 0.1種蔬菜100040007000 種小麥 2000 5000 3000 種棉花 3000 6000 2000 解： 我們的目標(biāo)是獲得最大收益。狀態(tài)集S=，決策集A=。下面計(jì)算每個(gè)方案的期望報(bào)酬值。 E(R (a,x)=0.2×1000+0.7×4000+0.1×7000=3700 E(R(a,x)=0.2×2000+0.7×5000+0.1×3

14、000=4200 E(R(a,x)=0.2×3000+0.7×6000+0.1×2000=5000期望報(bào)酬值最大為5000，對(duì)應(yīng)的方案是第3種，即應(yīng)在這塊地里種棉花。關(guān)于報(bào)攤?cè)绾潍@利最大的問題 報(bào)攤每天清晨從報(bào)社購進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣掉的報(bào)紙回退。設(shè)報(bào)紙每份進(jìn)價(jià)為b，零售價(jià)為a，回退價(jià)為c，自然地假設(shè)為 abc.這樣，報(bào)攤出售一份報(bào)紙賺a-b，回退一份報(bào)紙賠b-c。如果報(bào)攤每天進(jìn)的報(bào)紙少，不夠賣的，會(huì)少賺錢；如果購進(jìn)太多，賣不完，就要賠錢。那究竟買進(jìn)多少份報(bào)紙才能使得獲利最大？假設(shè)每天購進(jìn)量為n份，因?yàn)樾枨罅縭是隨機(jī)的，r可以小于n，等于n或大于n，致使報(bào)攤每天的收入也是隨機(jī)的，故建立的優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，不能是報(bào)攤每天的收入，而應(yīng)該是他長期賣報(bào)的日平均收入。記報(bào)攤每天購進(jìn)n份報(bào)紙的平均收入為G（n），如果這天的需求量rn，則他售出r份，退回n-r份；如果這天的需求量rn，則n份將全部售出?？紤]到需求量為r的概率是，所以G（n）= （1）當(dāng)，a,b,c已知時(shí)，求n使G（n）最大。需求量和購進(jìn)量都相當(dāng)大，為了便于分析和計(jì)算，將r視為連續(xù)變量，這樣概率轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)，上式變成 （2）計(jì)算 =令 （3）使報(bào)攤的日平均收入達(dá)到最大的購進(jìn)量n應(yīng)滿足（3）式。因?yàn)樗裕?）有可以表示為 （4）由（3）表明購