《光波導(dǎo)理論與技術(shù)李玉權(quán)版》第一、二章

1、自學(xué)光波導(dǎo)理論與技術(shù) 李玉權(quán)版筆記第1章 緒論21.1 光通信技術(shù)21.2 光通信的發(fā)展過(guò)程21.3 光通信關(guān)鍵技術(shù)31.3.1 光纖31.3.2 光源和光發(fā)送機(jī)5第2章 電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)72.1 電磁場(chǎng)基本方程72.1.1 麥克斯韋方程組72.1.2 電磁場(chǎng)邊界條件82.1.3 波動(dòng)方程和亥姆霍茲方程102.1.4 柱型波導(dǎo)中的場(chǎng)方程112.2 各向同性媒質(zhì)中的平面電磁波132.2.1 無(wú)界均勻媒質(zhì)中的均勻電磁波132.2.2 平面電磁波的偏振狀態(tài)132.2.3 平面波的反射和折射152.2.4 非理想媒質(zhì)中的平面電磁波162.3 各向異性媒質(zhì)中的平面電磁波182.3.1 電各向異性媒質(zhì)182

2、.3.2 電各向異性媒質(zhì)中的平面波182.4 電磁波理論的短波長(zhǎng)極限幾何光學(xué)理論222.4.1 幾何光學(xué)的基本方程eikonal方程222.4.2 光線傳播的路徑方程242.4.3 路徑方程解的兩個(gè)特例252.4.4 折射定律與反射定律28第1章 緒論1.1 光通信技術(shù)光通信的主要優(yōu)勢(shì)表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1） 巨大的傳輸帶寬石英光纖的工作頻率為 ，單根光纖的可用頻帶幾乎達(dá)到了 。即便是在 附近的低損耗窗口，其帶寬也超過(guò)了。（2） 極低的傳輸損耗目前工業(yè)制造的光纖載 附近，其損耗在 范圍以內(nèi)，在波段已降至 以下。（3） 光纖通信可抗強(qiáng)電磁干擾，不向外輻射電磁波，這樣就提高了這種通信手段的保密性

3、，同時(shí)也不會(huì)產(chǎn)生電磁污染。1.2 光通信的發(fā)展過(guò)程準(zhǔn)同步數(shù)字體系（PDH）同步光網(wǎng)絡(luò)（SONET）全光網(wǎng)絡(luò)圖 1.1.1 光纖通信發(fā)展的三個(gè)階段一個(gè)最基本的光纖通信系統(tǒng)的構(gòu)成：圖 1.1.2 光纖通信系統(tǒng)原理框架圖1.3 光通信關(guān)鍵技術(shù)1.3.1 光纖光纖是構(gòu)成光網(wǎng)絡(luò)的傳輸介質(zhì)，目前通信光纖全部都是以石英為基礎(chǔ)材料制作的，它有纖芯、包層及保護(hù)層構(gòu)成，橫截面如圖1.1.3所示。纖芯折射率略大于包層折射率，光纖對(duì)光波的導(dǎo)引作用主要由纖芯和包層完成，保護(hù)層的作用是防止光纖收到機(jī)械損傷。目前，通信用光纖主要有多模光纖和單模光纖兩類，多模光纖纖芯直徑主要有和兩種規(guī)格，單模光纖芯徑一般小于。圖 1.3.1

4、 光纖的橫截面光纖的主要傳輸特性有：損耗、色散、非線性及雙折射等。1. 光纖的損耗特性光纖的損耗導(dǎo)致光信號(hào)在傳輸過(guò)程中信號(hào)功率下降，用衰減系數(shù)表示 (1.3.1)其中是注入功率，是長(zhǎng)為L(zhǎng)的光纖的輸出功率，一般作為光纖損耗的使用單位。光纖損耗主要有光纖的本征損耗、散射損耗、瑞麗損耗、雜質(zhì)損耗等因素構(gòu)成。2. 光纖的色散特性 色散指介質(zhì)中不同頻率的電磁波以不同速度傳播的物理現(xiàn)象。在光纖中色散的因素有材料色散、波導(dǎo)色散和模式色散。模式色散是在光纖中，不同頻率成分的光有不同的傳播速度，而且不同傳播模式之間也有不同的傳播速度。多模光纖中光信號(hào)激勵(lì)眾多傳播模式，不同傳播模式到達(dá)輸出端的時(shí)延不同，導(dǎo)致信號(hào)嚴(yán)

5、重畸變，這就制約多模光纖只能用于短距離、低速率傳輸。單模光纖的偏振模色散(PMD)也是一種模式色散，它是由于單模光纖中兩個(gè)正交的偏振態(tài)以不同傳播速度傳播造成。材料色散是由于任何材料都是色散材料，折射率都是頻率的函數(shù)，群速度隨頻率變化決定了包絡(luò)的畸變，這就是所謂的群速度色散(GVD)。GVD決定了折射率對(duì)頻率的二階導(dǎo)函數(shù)。波導(dǎo)色散是因光波導(dǎo)中某一特定的傳播模式的縱向相位常數(shù)與頻率之間的非線性關(guān)系決定。單模光纖工作模式的波導(dǎo)色散總是正常色散，且單模光纖的總色散由材料色散和波導(dǎo)色散組成，在時(shí)，波導(dǎo)色散與材料色散符號(hào)相反，部分抵消，使得零色散波長(zhǎng)向長(zhǎng)波長(zhǎng)方向移動(dòng)。色散位移光纖(DSF)是改變單模光纖結(jié)

6、構(gòu)，可以使得零色散波長(zhǎng)移至的光纖。3. 單模光纖的非線性非線性是指光纖對(duì)大信號(hào)的響應(yīng)特性，光纖纖芯中的電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到量級(jí)，在如此強(qiáng)大的電場(chǎng)作用下，石英的非線性極化導(dǎo)致光纖的折射率有一個(gè)與外加光強(qiáng)成比例的非線性修正項(xiàng)，即 (1.3.2)這就是所謂光克爾效應(yīng)。4. 單模光纖的雙折射單模光纖中的傳播模式并非嚴(yán)格意義上的單一模式，光纖的主模式是一對(duì)偏振態(tài)相互正交的簡(jiǎn)并模，而在非理想狀態(tài)下，這一對(duì)模式將不再是理想的簡(jiǎn)并模，兩者傳輸特性將會(huì)略有差別，兩者等效折射率并不相同，這就是單模光纖的雙折射。雙折射導(dǎo)致光信號(hào)在單模光纖的傳輸過(guò)程中偏振態(tài)的不穩(wěn)定，這種不穩(wěn)定對(duì)相干光通信系統(tǒng)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。另一方面，雙折射

7、會(huì)導(dǎo)致偏振模色散(PMD。為了克服雙折射的影響，會(huì)人工的加大兩個(gè)偏振態(tài)傳輸特性的差別，使得其中一個(gè)處于截止?fàn)顟B(tài)，這就是所謂的偏振保持光纖或保偏光纖。1.3.2 光源和光發(fā)送機(jī)1. 光源短距離低速率傳輸系統(tǒng)可以用半導(dǎo)體發(fā)光二極管(LED)作光源，長(zhǎng)距離高速率傳輸系統(tǒng)都是用半導(dǎo)體激光器(LD)作為光源。根據(jù)LD內(nèi)部頻率選擇機(jī)構(gòu)，可以分為F-P型LD、DFB型和DBR型的LD，以及多量子阱(MQW)LD。F-P型LD利用半導(dǎo)體PN結(jié)的解理面形成F-P型光纖諧振腔，作為頻率選擇機(jī)構(gòu)，見(jiàn)圖 1.3.2。DFB型LD，即分布反饋型LD，采用制作在激光器有源區(qū)上的反射光柵作為頻率選擇機(jī)構(gòu)，見(jiàn)圖1.3.3。而

8、DER型LD，即分布不喇格反射型LD，如圖 1.3.4所示，與DFB型LD類似都是采用反射光柵作為頻率選擇機(jī)構(gòu)，不同于DER型LD的反射光柵位于有源區(qū)的兩端。兩者也被統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)單縱模激光器。MQW結(jié)構(gòu)的LD，其有源區(qū)由多層極薄的薄膜層構(gòu)成，薄膜層界面層勢(shì)壘將其隔成多個(gè)量子阱，載流子和光子被束縛在薄層之中，因此光能量損耗小。2. 光源調(diào)制技術(shù)對(duì)光源的調(diào)制分為直接調(diào)制和間接調(diào)制兩種方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。直接調(diào)制又稱內(nèi)調(diào)制，意為采用信號(hào)直接控制光源的注入電流，是光源的發(fā)光強(qiáng)度隨外加信號(hào)變化。間接調(diào)制又稱外調(diào)制，光源發(fā)出穩(wěn)定的光束進(jìn)入外調(diào)制，利用介質(zhì)的電光效應(yīng)、聲光效應(yīng)或磁光效應(yīng)實(shí)現(xiàn)調(diào)制。在對(duì)光源采用直接調(diào)制中

9、，由于半導(dǎo)體光源有源區(qū)載流子濃度快速變化，這導(dǎo)致有源區(qū)等效折射率快速變化，從而導(dǎo)致輸出光束的頻率不穩(wěn)定，這就是所謂的高速調(diào)制時(shí)的頻率啁啾現(xiàn)象。3. 光發(fā)送端機(jī)其功能是將電端機(jī)送來(lái)的電信號(hào)轉(zhuǎn)換為光信號(hào)，然后注入光纖傳輸。第2章 電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)2.1 電磁場(chǎng)基本方程2.1.1 麥克斯韋方程組宏觀電磁現(xiàn)象可以用電場(chǎng)強(qiáng)度矢量、電位移矢量、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量等四個(gè)空間位置和時(shí)間的函數(shù)矢量來(lái)描述，四個(gè)場(chǎng)矢量之間的關(guān)系由麥克斯韋方程組描述，即 (2.1.1)式中，是媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流密度，是自由電荷密度。且式(2.1.1)中四個(gè)方程式并非獨(dú)立的，如果認(rèn)為電流連續(xù)方程 (2.1.2)是獨(dú)立方程，則式(

10、2.1.1)中后兩個(gè)方程可以用前兩個(gè)方程推導(dǎo)。且物質(zhì)特性方程（本構(gòu)關(guān)系）為 (2.1.3)式中，為媒質(zhì)的極化強(qiáng)度矢量，稱為磁化強(qiáng)度矢量，為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，對(duì)良好的介質(zhì)可以近似為0，、為真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。對(duì)于非磁性介質(zhì)，從而 (2.1.4)電極化強(qiáng)度可以寫(xiě)成 (2.1.5)其中是階張量，若除以外，所有的的元都為0，則媒質(zhì)是線性媒質(zhì)，否則媒質(zhì)是非線性的。對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)它可以用張量表示，從而得到 (2.1.5)一般說(shuō)來(lái)，所有場(chǎng)量都是空間坐標(biāo)和時(shí)間的任意函數(shù)，一個(gè)時(shí)域函數(shù)可以用福利葉變換表示 (2.1.6a) (2.1.6b)式中代表所有場(chǎng)分量的時(shí)域表達(dá)式，而則是其頻域表達(dá)式。在良好介質(zhì)

11、中，電流密度和電荷密度都為0，頻域中的麥克斯韋方程組可以寫(xiě)作 (2.1.7)2.1.2 電磁場(chǎng)邊界條件式(2.1.1)描述的是電磁參數(shù)為位置坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)的媒質(zhì)中的電磁量的基本規(guī)律，在媒質(zhì)的電磁參數(shù)發(fā)生突變，則以微分方程形式出現(xiàn)的麥克斯韋方程組不再適用，改寫(xiě)為積分形式，即 (2.1.8a) (2.1.8b) (2.1.8c) (2.1.8d)將式(2.1.8c)和式 (2.1.8d)應(yīng)用于如下圖2.1.1所示的扁平區(qū)域，可得 (2.1.9a) (2.1.9b)由此得到，在兩種介質(zhì)的分界面的兩側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)，而電位移矢量的法向分量的突變決定于界面上面電荷密度。圖 2.1.1 法向邊界

12、條件將式(2.1.8a)和式(2.1.8b)應(yīng)用于如圖2.1.2所示的窄條形路徑，可得 (2.1.10a) (2.1.10b)由此可得，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在邊界面的突變決定于界面的面電流密度，而電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量則是連續(xù)的。圖 2.1.2切向邊界條件對(duì)于非導(dǎo)電的介質(zhì)，其表面電荷密度，表面電流密度，因而可以把式(2.1.9)和是(2.1.10)合并寫(xiě)作 (2.1.11a) (2.1.11b) (2.1.11c) (2.1.11d)式中為界面上由媒質(zhì)1指向媒質(zhì)2的法線方向的單位矢量。2.1.3 波動(dòng)方程和亥姆霍茲方程良好介質(zhì)中、，如果媒質(zhì)是均勻的各向同性的線性介質(zhì)，即為常數(shù)，對(duì)方程(2.1.1)中

13、的前兩個(gè)方程取旋度，并注意到，則可以得到 (2.1.12a) (2.1.12b)上式中，是真空中的光速度，是媒質(zhì)的折射率，上式(2.1.12)是線性、均勻、各項(xiàng)同性媒質(zhì)的電磁波動(dòng)方程，它的解釋以速度傳播的電磁波。在頻域中，所有的場(chǎng)量都是以角頻率振蕩的正弦量，因而其波動(dòng)方程則為 (2.1.13a) (2.1.13b)式中 (2.1.14)式(2.1.13)成為亥姆霍茲方程，對(duì)于非均勻的各向同性線性媒質(zhì)，則因?yàn)椋傻脧亩玫?(2.1.15a) (2.1.15b)式(2.1.15)中是位置的函數(shù)，如果媒質(zhì)的折射率或相對(duì)介電常數(shù)隨位置的變化較為緩慢，即滿足條件，則這種媒質(zhì)為緩變媒質(zhì)，于是式(2.1.

14、15)可以簡(jiǎn)化為 (2.1.16a) (2.1.16b)式(2.1.16)與式(2.1.15)形式相同，但是式(2.1.16)中折射率是空間位置的函數(shù)，求解更難。2.1.4 柱型波導(dǎo)中的場(chǎng)方程光波在柱型波導(dǎo)中傳播時(shí)，其電磁場(chǎng)量可以寫(xiě)作縱向分量和橫向分量之和，即 (2.1.17)式中為柱型系統(tǒng)中的縱向的單位矢量。如圖 2.1.3所示，沿軸方向傳播的光波，所有的場(chǎng)分量必有這樣的傳播因子，因此亥姆霍茲方程可以寫(xiě)作 (2.1.18a) (2.1.18b)式中是橫向Laplace算子。圖 2.1.4分析柱型系統(tǒng)所用的坐標(biāo)系在向均勻的柱型傳輸系統(tǒng)，可以使用矢量亥姆霍茲方程中分離的縱向分量、所滿足的標(biāo)量亥姆

15、霍茲方程，即式(2.1.18b)。橫向場(chǎng)量、可以從麥克斯韋方程組(2.1.7)直接得到。將式(2.1.7)中額梯度算子寫(xiě)成，展開(kāi)后的 (2.1.19a) (2.1.19b)式中 (2.1.20)2.2 各向同性媒質(zhì)中的平面電磁波2.2.1 無(wú)界均勻媒質(zhì)中的均勻電磁波均勻平面電磁波的場(chǎng)量用下式表示 (2.2.1a) (2.2.1b)對(duì)于均勻平面波而言，為波矢量，方向即為波的傳播方向，大小，即為波的相位常數(shù)。令 (2.2.2)上式在空間描述一組平面，稱為波的等相位面。將式(2.2.1)代入式(2.1.7)，可得 (2.2.3a) (2.2.3b) (2.2.3c) (2.2.3d)式中，是媒質(zhì)的波

16、阻抗。上式說(shuō)明，均勻無(wú)界媒質(zhì)中的均勻平面電磁波是TEM波。平面電磁波的相速度和群速度分別定義為 (2.2.4)對(duì)于均勻平面波，。如果媒質(zhì)的折射率是與頻率無(wú)關(guān)的常數(shù)，則 (2.2.5)2.2.2 平面電磁波的偏振狀態(tài)平面電磁波的偏振狀態(tài)是指電場(chǎng)強(qiáng)度矢量或磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的空間取向隨時(shí)間的變化情況。所謂線偏振波是指如果對(duì)于一個(gè)確定的觀察點(diǎn)，場(chǎng)矢量始終在一個(gè)確定方向振動(dòng)，矢量的尖端的軌跡是一個(gè)線段。圓偏振波就是的場(chǎng)矢量的尖端的軌跡是一個(gè)圓。橢圓偏振波的場(chǎng)矢量的尖端軌跡就是一個(gè)橢圓。任意場(chǎng)矢量都可以寫(xiě)作沿著啷個(gè)特征方向的分矢量之和，即 (2.2.6)式中，、為波傳播的橫方向上兩個(gè)相互正交的單位矢量，而，是

17、波傳播方向上的單位矢量。、分別是兩個(gè)分量的相位因子。當(dāng)時(shí)為線偏振波。當(dāng)時(shí)，而且。當(dāng)時(shí)，稱為右旋圓偏振波；而時(shí)，稱為左旋偏振波。對(duì)于橢圓偏振波的定義類似，此外，這里的旋向定義與一般光學(xué)教材書(shū)中相反，這樣定義是為了與工程電磁理論中的規(guī)定一致。與式(2.2.6)類似，任何一種偏振狀態(tài)的平面波都可以看出、方向偏振的兩個(gè)有確定相位關(guān)系的線偏振波的疊加，這里我們把任意的一個(gè)平面波看成兩個(gè)旋向相反的圓偏振波的疊加，即 (2.2.7)式中，、分別是左旋和右旋圓偏振波的振幅，對(duì)于時(shí)，代表線偏振波；代表橢圓盤偏振波；如果、兩者中任意一個(gè)為零，則為圓偏振波。引入斯托克斯參數(shù)來(lái)描述偏振狀態(tài)時(shí)，定義四個(gè)斯托克斯參數(shù)：

18、(2.2.8)四個(gè)參數(shù)之間滿足： (2.2.9)如果以、與直角坐標(biāo)系中的、坐標(biāo)對(duì)應(yīng)，當(dāng)為常數(shù)，則決定一個(gè)球面，該球面稱為邦加球。任何偏振狀態(tài)都與邦加球面的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，只要測(cè)得斯托克斯參數(shù)的變化規(guī)律，就可以確定光波的偏振態(tài)變化規(guī)律。2.2.3 平面波的反射和折射平面電磁波在不同媒質(zhì)的平面分界面上將發(fā)生反射和折射，如圖2.2.1所示。兩種介質(zhì)中入射波、反射波、折射波之間存在如下運(yùn)動(dòng)學(xué)特性：（1） 入射光線、反射光線、折射光線共面或波矢量、共面；（2） 反射角等于入射角，即；（3） 斯涅耳定律：。圖 2.2.1平面電磁波的反射和折射根據(jù)入射波的偏振狀態(tài)，可以得到如下動(dòng)力學(xué)性質(zhì)：（1） 對(duì)于垂直偏振波

19、，即電場(chǎng)矢量和入射面垂直的線偏振波，其反射系數(shù)和折射系數(shù)分別為 (2.2.10a) (2.2.10b)（2） 對(duì)于平行偏振波，即電場(chǎng)矢量和入射面平行的線偏振波，其反射系數(shù)和折射系數(shù)分別為 (2.2.11a) (2.2.11b)式(2.2.10)和式(2.2.11)中的四個(gè)關(guān)系式統(tǒng)稱為菲涅爾公式。由菲涅爾定律可知，當(dāng)時(shí)，折射角大于入射角。平面波從媒質(zhì)1到媒質(zhì)2的界面上發(fā)生全反射的條件是 (2.2.12)顯然，僅當(dāng)時(shí)，才可能發(fā)生全反射。由式(2.2.11a)，如果入射條件滿足 (2.2.13)則平行偏振波的反射系數(shù)為零，因而入射的平行偏振波產(chǎn)生全折射。稱為布儒斯特角，又稱起偏角，此時(shí)無(wú)論入射波的偏

20、振狀態(tài)如何，反射波都是線偏振波。2.2.4 非理想媒質(zhì)中的平面電磁波對(duì)光波系統(tǒng)，我們關(guān)心的是損耗極低、色散很弱的良好介質(zhì)中的電磁波，在這種介質(zhì)中，沿軸方向傳播的平面波可以表示為 (2.2.14a) (2.2.14b)式中稱為衰減常數(shù)，而為相位常數(shù)。對(duì)于非理想介質(zhì)的平面波，其相速度和群速度為 (2.2.15a) (2.2.15b)所謂群速度，假設(shè)一個(gè)被調(diào)制的電磁信號(hào)在色散媒質(zhì)中傳播，將電磁信號(hào)看著沿傳播的但在平面內(nèi)均勻的脈沖信號(hào)，假設(shè)損耗可以忽略，則此信號(hào)可以表示為 (2.2.16)式(2.2.16)說(shuō)明一個(gè)空間長(zhǎng)度為有限的信號(hào)可以再頻域中表示為單色平面波的疊加，式中是與、相對(duì)應(yīng)的振幅函數(shù)，顯然

21、 (2.2.17)對(duì)于色散媒質(zhì)，和之間存在復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，將在載波相位常數(shù)附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)： (2.2.18)將其代入式(2.2.16)忽略與成比例的項(xiàng)以及高階項(xiàng)，可以得到 (2.2.19)將式中的積分式與式(2.2.16)比較，可知積分剛好是，因而得到 (2.2.20)因此，已調(diào)制的信號(hào)沿著軸傳播時(shí)其信號(hào)包絡(luò)以群速度傳播，在忽略與成比例的項(xiàng)的情形下，信號(hào)包絡(luò)形狀不變，所以群速度就是信號(hào)包絡(luò)的傳播速度，如圖2.2.2所示。圖 2.2.2群速度示意圖2.3 各向異性媒質(zhì)中的平面電磁波2.3.1 電各向異性媒質(zhì)媒質(zhì)在電磁場(chǎng)作用下，可根據(jù)其惦記化和磁極化特性把媒質(zhì)分為各向同性、電各向異性、磁各向異

22、性和雙各向異性幾種類型。電各向異性是其介電常數(shù)為二階張量；磁各向異性是指其磁導(dǎo)率為二階張量；所有媒質(zhì)在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，根據(jù)狹義相對(duì)論都是呈雙各向異性。電各向異性媒質(zhì)的介電常數(shù)，必須用一個(gè)二階張量表示，即 (2.3.1)對(duì)于無(wú)損耗的電各向異性媒質(zhì)，利用能量守恒定律，可以證明式(2.3.1)中的張量為實(shí)對(duì)稱張量，即：。再根據(jù)線性代數(shù)理論，任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都存在一個(gè)正交線性變換，將這個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣轉(zhuǎn)換為一個(gè)對(duì)角矩陣，這就相當(dāng)于一個(gè)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)。在新的坐標(biāo)系中，即主軸坐標(biāo)系中，介電常數(shù)張量可表示為 (2.3.2)若。則媒質(zhì)為單軸媒質(zhì)，軸為光軸；若，則稱為雙軸媒質(zhì)；在時(shí)，稱為各向同性媒質(zhì)。對(duì)于電各向異性媒質(zhì)

23、，在主軸坐標(biāo)系中寫(xiě)作分量形式：，因此定義主軸坐標(biāo)系中的折射率 (2.3.3)2.3.2 電各向異性媒質(zhì)中的平面波電各向異性媒質(zhì)中的均勻平面電磁波，所有的場(chǎng)矢量均可表示為，為振幅矢量，將其代入麥克斯韋方程組，即式(2.1.7)中，可得 (2.3.4)上式說(shuō)明，電各向異性媒質(zhì)中的平面波矢關(guān)于場(chǎng)矢量和的TEM波，但考慮與不一定平行，所以不一定是關(guān)于和的TEM波。討論單軸媒質(zhì)中的平面波，將式(2.3.4)中的第二個(gè)方程左乘矢量，并利用第一個(gè)方程，則即對(duì)單軸媒質(zhì)而言，在主軸坐標(biāo)系中因而所以存在從而得到 (2.3.5)表示為矩陣形式為 (2.3.6)為了使得式(2.3.6)中、存在非零解的必要條件是與上述

24、方程對(duì)應(yīng)的行列式為零，從而得到 (2.3.7a) (2.3.7b)上式(2.3.7)即為單軸媒質(zhì)中平面波傳播的特征方程，在時(shí)，兩式一致。在單軸媒質(zhì)中，由式(2.3.7a)所決定的相位常數(shù)與的方向無(wú)關(guān)，即為由式(2.3.7a)決定的特征相位常數(shù)及相應(yīng)的平面波與各向同性媒質(zhì)中的平面波具有相同特點(diǎn)，該波稱為尋常波（波）。而由式(2.3.7b)決定的特征相位常數(shù)則與波矢量的方向有關(guān)，因而稱第二個(gè)因?yàn)榉较蚨惖奶卣飨辔怀?shù)所決定的平面波是非尋常波（波）。假設(shè)與光軸z之間的夾角為，則可將式(2.3.7)寫(xiě)作 (2.3.8a) (2.3.8b)從而得到尋常波和非尋常波的相速度分別是 (2.3.9a) (2.

25、3.9b)由式(2.3.9b)可知，非尋常波的相速度與有關(guān)，僅當(dāng)時(shí)，即傳播方向與光軸一致時(shí)才與尋常波一致。對(duì)于尋常波，將式(2.3.7a)代入式(2.3.6)中，得到，從而得到?？紤]，所以與同方向，且與同方向，這樣得到尋常波即是關(guān)于、的TEM波，也是關(guān)于、的TEM波。對(duì)于非尋常波，將式(2.3.7b)代入式(2.3.6)可以決定場(chǎng)矢量的偏振狀態(tài)。假設(shè)矢量在平面內(nèi)，由于非尋常博得特點(diǎn)僅由決定，其他子午面的情景與一致，故于是，式(2.3.6)中的頭兩個(gè)方程為 (2.3.10)可知，電場(chǎng)矢量也在平面內(nèi)，且 兩個(gè)分量、同相位，所以非尋常波是線偏振波。但是考慮與不同方向，所以非尋常波已不是、意義下的TE

26、M波。非尋常波和尋常波的偏振狀態(tài)分別如圖2.3.1和圖2.3.2所示。圖 2.3.1尋常波的偏振態(tài)在各向異性的媒質(zhì)中電磁動(dòng)量與能量傳播的方向不一致，因而各向異性媒質(zhì)中平面電磁波的傳播方向變得不完全確定。的方向代表相速度方向，而方向代表能量流動(dòng)方向或群速度方向，又稱光射線方向。一個(gè)平面波進(jìn)入單軸媒質(zhì)以后，總是被分解為兩個(gè)線偏振波的疊加。其中一個(gè)的電場(chǎng)矢量與和光軸所構(gòu)成的平面垂直，構(gòu)成尋常波；而另一個(gè)電場(chǎng)矢量在與光軸構(gòu)成的平面以內(nèi)，構(gòu)成非尋常波，兩者以不同的相速度傳播，這就是各向異性媒質(zhì)中的雙折射現(xiàn)象（Birefractting）。圖 2.3.2非尋常波偏振態(tài)2.4 電磁波理論的短波長(zhǎng)極限幾何光學(xué)

27、理論在光通信系統(tǒng)中常用近紅外光波作為信息載體，其工作波長(zhǎng)在左右、頻率在左右，這種近紅外光波的波長(zhǎng)比一般光學(xué)系統(tǒng)的尺度小得多，因此可以忽略光波的有限大小的波長(zhǎng)，從而形成幾何光學(xué)理論。2.4.1 幾何光學(xué)的基本方程eikonal方程Eikonal方程就是程函方程，它描述光波的幾何波陣面的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)于各向同性的非磁性介質(zhì)中，頻域中的麥克斯韋方程組為式(2.1.7)的變形，即 (2.4.1)在各向同性的的均勻媒質(zhì)中，存在軍援平面電磁波，其電磁場(chǎng)分別為 上式描述的是一個(gè)沿著方向傳播的均勻平面波，其波陣面是與垂直的平面族。如果媒質(zhì)的電磁特性并不均勻，就折射率是空間折射率的函數(shù)，顯然不再存在均勻平面波解。

28、可寫(xiě)作非均勻媒質(zhì)中麥克斯韋方程組的試探解，寫(xiě)作： (2.4.2a) (2.4.2b)上式中成為光程函數(shù)。將式(2.4.2)代入 (2.4.1)可得 (2.4.3a) (2.4.3b) (2.4.3c) (2.4.3d)式中，是自由空間的波阻抗。式(2.4.3b)的推導(dǎo)過(guò)程如下：在電磁波的波長(zhǎng)趨于零或頻率趨于無(wú)窮，即很大時(shí)，也就是所謂短波極限情形，式(2.4.3)右端的項(xiàng)都可以忽略，得到 (2.4.4a) (2.4.4b) (2.4.4c) (2.4.4d)顯然，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量都與相垂直。若令，則得到一系列曲面，即為波的等相位面或等程函面。此時(shí)，和也是相互垂直的，所以在折射率不均勻的

29、媒質(zhì)中波長(zhǎng)極短的電磁波仍是橫電磁波或TEM波。將式(2.4.4b)代入式(2.4.4a)，得到利用矢量恒等式以及式(2.4.4d)得而不可能處處為零，所以必存在 (2.4.5a)或者 (2.4.5b)方程(2.4.5)即被稱為程函方程，這是幾何光學(xué)的基本方程。從費(fèi)馬原理處罰推導(dǎo)程函方程，在任意兩點(diǎn)、之間，任意路徑上的光程定義為 (2.4.6)根據(jù)費(fèi)馬原理，實(shí)際路徑滿足的方程必須是變分問(wèn)題 (2.4.7)的哈密頓-雅可比方程，就是程函方程。2.4.2 光線傳播的路徑方程定義等程面，又稱幾何波陣面的正交軌跡為光線。也就是 (2.4.8)式中是光線傳播路徑切線方向上的單位矢量，根據(jù)式(2.4.5)程函方程，可以得到，于是對(duì)上式對(duì)路程求導(dǎo)，即交換右邊順序，得到利用式(2.4.8)可得 (2.4.9)式(2.4.9)就是折射率分布為的媒質(zhì)中光線傳播的路徑方程，如圖 2.4.1所示。圖 2.4.1光線傳播路徑示意圖2.4.3 路徑方程解的兩個(gè)特例例 1 光線在均勻媒質(zhì)中的傳播在均勻媒質(zhì)中，因而，所以積分上式，可得 (2.4.10)上式是一個(gè)直線方程，矢量指出光線的起始點(diǎn)位置，矢量指明光線的傳播方向，是路徑長(zhǎng)度，如圖 2.4.2所示圖 2.4