《變化率與導(dǎo)數(shù)》優(yōu)質(zhì)課比賽課件

1、問(wèn)題問(wèn)題1 氣球膨脹率氣球膨脹率 在吹氣球的過(guò)程中在吹氣球的過(guò)程中, 可發(fā)現(xiàn)可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加的增加, 氣球的半徑增加得越來(lái)越慢氣球的半徑增加得越來(lái)越慢. 從數(shù)學(xué)的角度從數(shù)學(xué)的角度, 如如何描述這種現(xiàn)象呢何描述這種現(xiàn)象呢? 結(jié)論：隨著氣球體積逐漸變大結(jié)論：隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小它的平均膨脹率逐漸變小. (1) (0)0.62(dm/L),1 0rr當(dāng)v由01時(shí)，氣球平均變化率： (2) (1)120.16(dm/L)2 1rrv當(dāng) 由時(shí)，氣球平均變化率：3343VV ( ) (V ) .34rrr由 氣 球 體 積（一）平均變化率（一）平均

2、變化率 當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?2121()()r Vr VVV問(wèn)題問(wèn)題2 高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中, 運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 h (單單位位:m)與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間 t (單位單位:s) 存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系 如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度 描述其運(yùn)描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)動(dòng)狀態(tài), 那么那么:v在在0 t 0.5這段時(shí)間里這段時(shí)間里,在在1 t 2這段時(shí)間里這段時(shí)間里,);m/s(05. 405 . 0)0()5 . 0(hhv);m/s(2 . 812) 1 ()2(hh

3、v2( )4.96.510h ttt 思考：求思考：求t1到到t2時(shí)的平均速度時(shí)的平均速度 2121( )( )S tS tvtt平均變化率平均變化率令令x = x2 x1 , f = f (x2) f (x1) ,則則211121()()( )() f xf xf xxf xfxxxx2121( )( )f xf xxx思考：平均變化率：表示的幾何意義？ 211221()( )f xf xf xf xxx平均變化率：式子稱(chēng)為到的平均變化率,.xxx是一個(gè)整體符號(hào) 而不是 與 相乘可為正，也可為負(fù)o ox xy yB BC CB BC Cx xx xy yy yk k容易看出點(diǎn)容易看出點(diǎn)B,C

4、B,C之間的曲線較之間的曲線較點(diǎn)點(diǎn)A,BA,B之間的曲線更加之間的曲線更加“陡陡峭峭”. .如何如何量化量化陡峭程度呢？陡峭程度呢？該比值近似量化該比值近似量化B,CB,C之間之間這一段曲線的陡峭程度這一段曲線的陡峭程度. .稱(chēng)該比值為曲線在稱(chēng)該比值為曲線在B,CB,C之之間這一段間這一段平均變化率平均變化率. .B BA AC C說(shuō)明說(shuō)明:(1)平均變化率就是平均變化率就是:兩點(diǎn)兩點(diǎn)(x1,f(x1),(x2,f(x2)連線的斜連線的斜率率.（以直代曲思想）（以直代曲思想）（數(shù)形結(jié)合思想）（數(shù)形結(jié)合思想）“數(shù)離形時(shí)難直觀，形離數(shù)時(shí)難入微數(shù)離形時(shí)難直觀，形離數(shù)時(shí)難入微”華羅庚華羅庚平均變化率平

5、均變化率 )(xf一般的，函數(shù)在區(qū)間上一般的，函數(shù)在區(qū)間上 的的平均變化率平均變化率為為 ,21xx其幾何意義是表示曲線上兩點(diǎn)連線其幾何意義是表示曲線上兩點(diǎn)連線(即曲線割線即曲線割線)的斜率的斜率結(jié)論：結(jié)論：yx2121()()fxfxxx例例1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=2x+1, g(x)=- -2x ,分別計(jì)算分別計(jì)算在區(qū)間在區(qū)間-3,-1,0,5上上 f(x)及及g(x) 的平均變化率的平均變化率. 例例2、已知函數(shù)、已知函數(shù) f(x)=x2,分別計(jì)算分別計(jì)算f(x)在下列在下列區(qū)間上的平均變化率：區(qū)間上的平均變化率： （1）1,3；（2）1,2；（3）1,1.1；（4）1,1.00

6、1. 432.12.001（5）0.9,1；（6）0.99,1；（7）0.999,1.變題變題: :1.991.91.999思考思考: :為何趨近于為何趨近于2 2呢？呢？2 2的幾何意義是什么？的幾何意義是什么？數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用xyp p13（二）、（二）、 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，平均速度不能反映他在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，平均速度不能反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài).我們把物體在某一時(shí)刻的我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度.又如何求又如何求瞬時(shí)速度呢瞬時(shí)速度呢? 平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某

7、一區(qū)間上的平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì).l如何精確地刻畫(huà)曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢如何精確地刻畫(huà)曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢?105 . 69 . 4)(2ttth求：從求：從2s到到(2+t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度這段時(shí)間內(nèi)平均速度(2)(2)13.14.9hhthvttt t 0時(shí)時(shí), 在在2, 2 +t 這段這段時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv當(dāng)t = 0.01時(shí),當(dāng)t = 0.01時(shí),當(dāng)t = 0.001時(shí),當(dāng)t =0.001時(shí),當(dāng)t = 0.0001時(shí),當(dāng)t =0.0001時(shí),t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.

8、000001,t =0.000001, 平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某一區(qū)間上的平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì).l如何精確地刻畫(huà)曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢如何精確地刻畫(huà)曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢?105 . 69 . 4)(2ttth13.149v 0951.13v1049.13v13.10049v 099951.13v100049.13v13.1000049v 13.051v 13.09951v13.0999951v 當(dāng)當(dāng)t趨近于趨近于0時(shí)時(shí), 即無(wú)論即無(wú)論 t 從小于從小于2的一邊的一邊, 還是從大于還是從大于2的一邊趨近于的一邊趨近于2時(shí)時(shí), 平均速度都趨近于一個(gè)確

9、定的值平均速度都趨近于一個(gè)確定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 從物理的角度看從物理的角度看, 時(shí)間間隔時(shí)間間隔 |t |無(wú)限變小時(shí)無(wú)限變小時(shí), 平均速度平均速度 就無(wú)限趨近于就無(wú)限趨近于 t = 2時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度. 因此因此, 運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)員在 t = 2 時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度是瞬時(shí)速度是 13.1.v表示表示“當(dāng)當(dāng)t =2, t趨近于趨近于0時(shí)時(shí), 平均速度平均速度 趨近于確定值趨近于確定值 13.1”.v從從2s到到(2+t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度這段時(shí)間內(nèi)平均速度1 3 .14 .9hvtt 探探 究究:1.運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速

10、度怎樣表示的瞬時(shí)速度怎樣表示?2.函數(shù)函數(shù)f (x)在在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率怎樣表示處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 記作記作)(0 xf 或或 , 即即0|xxy0000( )() ()lim. xf xx

11、f xfxx 。其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同的值有關(guān)，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無(wú)關(guān)。與 xxf)(. 20一概念的兩個(gè)名稱(chēng)。瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同. 3求導(dǎo)數(shù)一般方法：求導(dǎo)數(shù)一般方法：0limxyyyxx 一差、二比、三極限一差、二比、三極限 題題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第如果第 x h時(shí)時(shí), 原油的溫度原油的溫度(單單位位: )為為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計(jì)算第計(jì)算第2h和第和第6h, 原原油溫度的瞬時(shí)變化率油溫度的瞬時(shí)變化率

12、, 并說(shuō)明它們的意義并說(shuō)明它們的意義.C解解: 在第在第2h和第和第6h時(shí)時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率就是原油溫度的瞬時(shí)變化率就是( 2 )f (6 ).f 和和xfxf)2()2(根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,37)(42xxxxx所以所以,. 3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h和第和第6h時(shí)時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為3和和5. 它說(shuō)它說(shuō)明在第明在第2h附近附近, 原油溫度大約以原油溫度大約以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油溫度大約以原油溫度大約以5 / h的速率上升的速率上升.

13、CC例例1. (1)求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) (3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.典例分析典例分析.,21| ,:2000的的值值求求且且處處附附近近有有定定義義在在已已知知函函數(shù)數(shù)例例xyxxxyxx 練練1:求求y=f(x)=x2+1在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).QPy=x2+1xy-111OjMyx00002020()( ):limlim(1)1 (1 1)lim2()lim2.xx

14、xxf xxf xyxxxxxxx 解(1)2f 1.曲線的切線曲線的切線y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy如圖如圖,曲線曲線C是函數(shù)是函數(shù)y= f(x)的圖象的圖象,P(x0,y0)是曲線是曲線C上的上的任意一點(diǎn)任意一點(diǎn),Q(x0+x,y0+y)為為P鄰近一點(diǎn)鄰近一點(diǎn),PQ為為C的割線的割線,PM/x軸軸,QM/y軸軸,為為PQ的的傾斜角傾斜角.tan,: xyyMQxMP則則.就就是是割割線線的的斜斜率率表表明明：xy PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T 請(qǐng)看請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿沿著曲線逐著曲線逐漸向點(diǎn)漸向點(diǎn)P接近時(shí)接近時(shí),割割線線PQ繞繞著點(diǎn)著點(diǎn)P逐逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的漸轉(zhuǎn)

15、動(dòng)的情況情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即即x0時(shí)時(shí),割線割線PQ有一個(gè)極限位置有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線則我們把直線PT稱(chēng)為曲稱(chēng)為曲線在點(diǎn)線在點(diǎn)P處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線PQ的的斜率斜率,稱(chēng)為曲線在點(diǎn)稱(chēng)為曲線在點(diǎn)P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切線線 這個(gè)概念這個(gè)概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)平均變化率的極限函數(shù)平均變化率的極限. 注

16、意注意,曲線在某點(diǎn)處的切線曲線在某點(diǎn)處的切線: (1)與該點(diǎn)的位置有關(guān)；與該點(diǎn)的位置有關(guān)； (2)要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解切線。要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解切線。例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟的基本步驟:(1)先利用切線斜率的定義求出切先利用切線斜

17、率的定義求出切線的斜率線的斜率(2)利用點(diǎn)斜式求切線方程利用點(diǎn)斜式求切線方程.例例2:已知曲線已知曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P(1,2),用斜率的定義求用斜率的定義求 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P的切線的傾斜角和切線方程的切線的傾斜角和切線方程.222 xy, 22)1 ( 2) 1 ()1 (,lim:20 xfxfyxyKxP而而解解2002(1)22limlimxxxyxx tan1,45 ,PK故過(guò)點(diǎn)故過(guò)點(diǎn)P的切線方程為的切線方程為:y-2=1(x-1),即即y=x+1.練習(xí)練習(xí):求曲線求曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P(1,-1)處的切線方程處的切線方程.31xy 答案答案:y=3x-4.22042()lim 2(1)22xxxxx 2044lim1.2 1 222(1)22xxx yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即點(diǎn)即點(diǎn)P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)點(diǎn)點(diǎn)P處切線方程是處切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.練習(xí)：如圖已知曲線練習(xí)：如圖已知曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn)31( )3f xx(2,(2).Pf求求(1)點(diǎn)點(diǎn) 處的切線斜率；處的切線斜率；(