利用基本不等式求最值的技巧_第1頁(yè)
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1、利用基本不等式求最值的技巧 在運(yùn)用基本不等式與或其變式解題時(shí),要注意如下技巧1：配系數(shù)【例1】已知，求的最大值.【分析】按照“和定積最大”的思路，由于不是定值，所以應(yīng)把配出系數(shù)成為，使得為定值.【解】由于，所以,從而，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，.說明:這里運(yùn)用了.2:添加項(xiàng)【例2】已知，求的最小值.【分析】按照“積定和最小”的思路，由于不是定值，所以應(yīng)把變湊成,使得為定值.【解】由于,所以,于是,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，.3:分拆項(xiàng)【例3】已知，求的最小值.【分析】按照“積定和最小”的思路，必須把分拆成兩項(xiàng),再配湊適當(dāng)?shù)南禂?shù),使得其積為定值.【解】由于,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，.4:巧用”1”代換【例4】已知正數(shù)滿足,

2、求的最小值.【解】注意到,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，.一般地有,其中都是正數(shù).這里巧妙地利用”1”作出了整體換元,從而使問題獲得巧解.【例5】已知正數(shù)滿足，求的最小值.【解】注意到,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，.5:換元【例6】已知,求的最小值.【解】設(shè),則,都是正數(shù),所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取到最小值是.說明:換元的目的是為了簡(jiǎn)單化與熟悉化,如果利用整體思想也可以不換元.【例7】已知,求的最大值.【解】設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，.說明:這里如果不換元,則運(yùn)算不是很方便.6:利用對(duì)稱性【例8】已知正數(shù)滿足，求的最大值.【分析】由于條件式與結(jié)論式都是關(guān)于正數(shù)輪換對(duì)稱的,故最大值必然是當(dāng)時(shí)取到,這時(shí),從而得到下面證明思路與方向【解】利用基本不等式得,以上三式同向相加得,所以化簡(jiǎn)得,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值.一般地,如果條件式與結(jié)論式都是關(guān)于各個(gè)元素輪換對(duì)稱的,則最值必定是在各個(gè)元素相等時(shí)取到.利用這一思想往往可給解題者提供解題的方向與思路.7:直接運(yùn)用化為其它【例9】已知正數(shù)滿足,求的取值范圍.【分析】由于條件式含有,它們都在式中出現(xiàn),故可直接運(yùn)用基本不等式轉(zhuǎn)化為待求式的關(guān)系式后再求.【解】利用基本不

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