三角形等積變形 Microsoft Office PowerPoint 演示文稿 2

1、白汀水小學(xué)奧數(shù)三角形的等積變形三角形的等積變形DAB C相相似似等等相相白汀水三角形的等積變形三角形的等積變形一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個(gè)一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個(gè)不同的形狀本講即不同的形狀本講即研究面積相同的三角形的各種形研究面積相同的三角形的各種形狀以及它們之間的關(guān)系。狀以及它們之間的關(guān)系。這個(gè)公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高這個(gè)公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大（?。?，三角形面積也的乘積如果三角形的底不變，高越大（?。?，三角形面積也就越大（小）。同樣若三角形的高不變，底越大（小），三角

2、就越大（?。?。同樣若三角形的高不變，底越大（小），三角形面積也就越大（小）。這說明；當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它形面積也就越大（?。?。這說明；當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化。但是，當(dāng)三角形的底和的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化。但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化當(dāng)三角形的底當(dāng)三角形的底和高和高的積保持不變，三角形的面積就不變。只有當(dāng)?shù)姆e保持不變，三角形的面積就不變。只有當(dāng)三角形底三角形底和高的乘積和高的乘積變化時(shí)，變化時(shí)，三角形的面積才發(fā)生變化。三角形的面積才發(fā)生變化。三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積的計(jì)算

3、公式：三角形面積三角形面積= =底高底高2 2底底高高白汀水等底等高的兩個(gè)三角形面積相等等底等高的兩個(gè)三角形面積相等 它們所對(duì)的頂點(diǎn)同為它們所對(duì)的頂點(diǎn)同為A點(diǎn)，（也就是它們的高相等）那么點(diǎn)，（也就是它們的高相等）那么這兩個(gè)三角形的面積相等這兩個(gè)三角形的面積相等 同時(shí)也可以知道同時(shí)也可以知道ABC的面積是的面積是ABD或或AEC面積的面積的3倍倍為便于實(shí)際問題的研究，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：為便于實(shí)際問題的研究，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：若兩個(gè)三角形的高（或底）相等，其中一個(gè)三角形的底（若兩個(gè)三角形的高（或底）相等，其中一個(gè)三角形的底（或高）是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是或高）

4、是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍另一個(gè)三角形面積的幾倍 底在同一條直線上并且相等，該底所對(duì)的角的頂點(diǎn)是同一底在同一條直線上并且相等，該底所對(duì)的角的頂點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)或在與底平行的直線上，這兩個(gè)三角形面積相等個(gè)點(diǎn)或在與底平行的直線上，這兩個(gè)三角形面積相等ABCDE白汀水例如在下圖中，例如在下圖中，ABC與與DBC的底相同（它們的底都是的底相同（它們的底都是BC），），它所對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)它所對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)A、D在與底在與底BC平行的直線上，（也就是它們平行的直線上，（也就是它們的高相等），那么這兩個(gè)三角形的面積相等的高相等），那么這兩個(gè)三角形的面積相等DAB C白汀水例

5、如下圖中，例如下圖中，ABC與與DBC的底相同（它們的底都的底相同（它們的底都是是BC），），ABC的高是的高是DBC高的高的2倍（倍（D是是AB中點(diǎn)，中點(diǎn)，AB=2BD，有，有AH=2DE），則），則ABC的面積是的面積是DBC面積的面積的2倍倍上述結(jié)論，是我們研究三角形等積變形的重要依據(jù)上述結(jié)論，是我們研究三角形等積變形的重要依據(jù)CABDHE白汀水例例1 用四種不同的方法，把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面用四種不同的方法，把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形積相等的三角形方法方法2：如右圖，先將：如右圖，先將BC二等分，分點(diǎn)二等分，分點(diǎn)D、連結(jié)、連結(jié)AD，得到兩個(gè)等積三角形，即得到兩個(gè)等積三

6、角形，即ABD與與ADC等積然等積然后取后取AB、AC中點(diǎn)中點(diǎn)E、F，并連結(jié)，并連結(jié)DE、DF從而得到從而得到四個(gè)等積三角形，即四個(gè)等積三角形，即ADE、BDE、DCF、ADF等積等積ABCDEF方法方法1：如左圖，將：如左圖，將BC四四等分，等分，（B BD=DE=EF=FC=BC/4）、連結(jié)、連結(jié)AD、AE、AF，則，則ABD、ADE、 AEF、 AFC等積等積BACDEF白汀水方法方法3：如左圖，：如左圖， 取取ABC三條邊的中點(diǎn)三條邊的中點(diǎn)D、E、F連結(jié)連結(jié)DE、DF、EFEF，則則BED、E EAF、 DFC、 EFD等積等積BACDEF方法方法4：如右圖，：如右圖， 取取點(diǎn)點(diǎn)D，使

7、使BD=BC/3，連結(jié)連結(jié)A AD、取點(diǎn)取點(diǎn)E E、F F，使使AE=EF=FDAE=EF=FD，則則ABDABD、CAECAE、 CEF、 CFD等積等積BACDEF白汀水例例2 用三種不同的方法將任意一個(gè)三角形分成三個(gè)小三角形，用三種不同的方法將任意一個(gè)三角形分成三個(gè)小三角形，使它們的面積比為及使它們的面積比為及1 3 4方法方法2：如上右圖，先取如上右圖，先取BC中點(diǎn)，再取中點(diǎn)，再取AB的的1/4分點(diǎn)，連結(jié)分點(diǎn)，連結(jié)AD、DE，從而得到三個(gè)三角形：，從而得到三個(gè)三角形：ADE、BDE、ACD其面積其面積比為比為1 3 4方法方法 1：如上左圖，將：如上左圖，將BC邊八等分，取邊八等分，取

8、1 3 4的分點(diǎn)的分點(diǎn)D、E，連結(jié)連結(jié)AD、AE，從而得到，從而得到ABD、ADE、AEC的面積比為的面積比為1 3 4BACEDBACDE134134白汀水方法方法2：如下圖，先取如下圖，先取AB中點(diǎn)中點(diǎn)D，再連結(jié)，再連結(jié)CD，再取再取CD上的上的1/4分分點(diǎn)點(diǎn)E，連結(jié)，連結(jié)AE，從而得到三個(gè)三角形：從而得到三個(gè)三角形：ACE、ADE、BCD其面積比為其面積比為1 3 4BACDE當(dāng)然本題還有許多種其他分法，同學(xué)們可以自己尋找解決當(dāng)然本題還有許多種其他分法，同學(xué)們可以自己尋找解決134白汀水例例3 如右圖，在梯形如右圖，在梯形ABCD中，中，AC與與BD是對(duì)角線，其交點(diǎn)是對(duì)角線，其交點(diǎn)O，求

9、，求證：證：AOB與與COD面積相等面積相等證明：證明：ABC與與DBC等底等高，等底等高，SABC=SDBC又又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCODDAB CO白汀水例例4 如右圖，把四邊形如右圖，把四邊形ABCD改成一個(gè)等積的三角形改成一個(gè)等積的三角形分析分析 本題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是本題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等我們可以利用三角形等積改成的三角形與原四邊形面積相等我們可以利用三角形等積變形的方法，如上圖，變形的方法，如上圖，把頂點(diǎn)把頂點(diǎn)A移到移到CB的延長(zhǎng)線上的的延長(zhǎng)線上的A處，

10、處，ABD與與ABD面積相等，從而面積相等，從而ADC面積與原四邊形面積與原四邊形ABCD面面積也相等這樣就把四邊形積也相等這樣就把四邊形ABCD等積地改成了三角形等積地改成了三角形ADC問題是問題是A位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則過位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則過A作一條和作一條和DB平行的直線與平行的直線與CB的延長(zhǎng)線交于的延長(zhǎng)線交于A點(diǎn)。點(diǎn)。DCBAA解：連結(jié)解：連結(jié)BD；過過A作作BD的平行線，與的平行線，與CB的延長(zhǎng)線交于的延長(zhǎng)線交于A連結(jié)連結(jié)AD，則，則ACD與四邊形與四邊形ABCD等積等積白汀水例例5 如右圖，已知在如右圖，已知在ABC中，中，BE=3AE，CD=2AD若

11、若ADE的面積為的面積為1平方厘米求三角形平方厘米求三角形ABC的面積的面積解法解法1：連結(jié)：連結(jié)BD，在，在ABD中中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米）（平方厘米）在在ABC中，中，CD=2AD， SABC=3SABD=34=12（平方厘米）（平方厘米）解法解法2：連結(jié)：連結(jié)CE，如右圖所示，在，如右圖所示，在ACE中，中， CD=2AD， SACE=3SADE=3（平方厘米）（平方厘米）在在ABC中，中，BE=3AE SABC=4SACE=43=12（平方厘米）（平方厘米）ABCDE1ABCDE1白汀水例例6 如下頁圖，在如下頁圖，在ABC中，中，BD=2AD，AG=2

12、CG，BE=EF=FC=BC/3，求陰影部分面積占三角形面積的幾分之幾？求陰影部分面積占三角形面積的幾分之幾？解：連結(jié)解：連結(jié)BG，在，在ABG中，中， SADG+SBDE+SCFG=（2/9+2/9+1/9）S ABC=5/9ABC BD=2AD， S ADG=SABG，在在ABC中，中，ABCDGEF AG=2CG， S ABG=2/3SABC，S ADG=（1/3）（）（2/3）SABC=（2/9）S ABC 。同理同理S BDE=（2/9）S ABC ； S CFG=（1/9）S ABC 陰影部分面積陰影部分面積=（1-5/9）SABC=4/9 ABC白汀水例例7 如右圖，如右圖，AB

13、CD為平行四邊形，為平行四邊形，EF平行平行AC，如果，如果ADE的的面積為面積為4平方厘米求三角形平方厘米求三角形CDF的面積的面積解：連結(jié)解：連結(jié)AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又又AC與與EF平行，平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米）（平方厘米）BCDAEF4？白汀水例例8 如右圖，四邊形如右圖，四邊形ABCD面積為面積為1，且，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四邊形求四邊形EFGH的面積的面積同理，連結(jié)同理，連結(jié)AC之后，可求出之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四邊形所以四邊形EFGH的面積為的面積為2+2+1=5（平方單位）（平方單位）CDBAHGEF1？S1S2 解：連結(jié)解：連結(jié)BD，將四邊形，將四邊形ABCD分成兩個(gè)部分分成兩個(gè)部分S1與與S2連結(jié)連結(jié)FD，有，有SFBD=SDBC=S1 所以所以SCGF=SDFC= SFBD+SDBC=2S1連結(jié)連結(jié)HB，同理同理 SAEH=2S2，因此因此SAEH+SCGF=2S1