整式的乘除競(jìng)賽題名師優(yōu)秀資料

1、初二上加深提高部分整式的乘除復(fù)習(xí)題1、閱讀解答題：有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決，請(qǐng)先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題例：若 x=123456789 × 123456786， y=123456788 × 123456787 ，試比較 x、 y 的大小解：設(shè) 123456788=a，那么 x= （ a+1）（a-2） =a2-a-2， y=a（ a-1） =a2-a . x-y= （ a2-a-2） -（ a2-a） =-20 x y看完后，你學(xué)到了這種方法嗎再親自試一試吧，你準(zhǔn)行！問題：計(jì)算1.345×0.345× 2.69-

2、1.3453-1.345× 0.3452解：設(shè) 1.345=x ，那么：原式 =x （ x-1 ）?2x-x3-x （ x-1） 2，=（ 2x3-2x2 ）-x3-x （ x2-2x+1 ）， =2x3-2x2-x3-x3+2x2-x ，=-1.345 4、我們把符號(hào)“n!”讀作“ n 的階乘”，規(guī)定“其中n 為自然數(shù)，當(dāng)n 0 時(shí)，n!=n ?（ n-1）（? n-2） 2?1，當(dāng) n=0 時(shí)， 0!=1 ”例如： 6!=6 ×5× 4× 3×2× 1=720又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先計(jì)算階乘，再乘除，后加堿，

3、有括號(hào)就先算括號(hào)里面的”按照以上的定義和運(yùn)算順序，計(jì)算： （ 1） 4!= ；（ 2）（ 3+2） !-4!= ；（ 3）用具體數(shù)試驗(yàn)一下，看看等式（ m+n） !=m!+n! 是否成立？12. 小明和小強(qiáng)平時(shí)是愛思考的學(xué)生，他們?cè)趯W(xué)習(xí)整式的運(yùn)算這一章時(shí)，發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結(jié)果很有特點(diǎn)，例如：（ x-1 ）（x2+x+1 ）=x3-1 ，（ 2a+b）（ 4a2-2ab+b2） =8a3+b3，小明說：“這些整式乘法左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式跟一個(gè)三項(xiàng)式相乘，右邊是一個(gè)二項(xiàng)式”，小強(qiáng)說：“是??！而且右邊都可以看成是某兩項(xiàng)的立方的和（或差） ” 小明說：“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個(gè)二項(xiàng)式和最后的結(jié)果有點(diǎn)像”小強(qiáng)

4、說：“對(duì)啊，我也發(fā)現(xiàn)左邊那個(gè)三項(xiàng)式好像是個(gè)完全平方式，不對(duì)，又好像不是，中間不是兩項(xiàng)積的 2 倍”小明說：“二項(xiàng)式中間的符號(hào)、三項(xiàng)式中間項(xiàng)的符號(hào)和右邊結(jié)果中間的符號(hào)也有點(diǎn)聯(lián)系”親愛的同學(xué)們，你能參與到他們的討論中并找到相應(yīng)的規(guī)律嗎？（ 1）能否用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（ 2）你能利用上面的規(guī)律來計(jì)算（-x-2y ）（ x2-2xy+4y2 ）嗎？2、一個(gè)單項(xiàng)式加上多項(xiàng)式9（x-1 ） 2-2x-5 后等于一個(gè)整式的平方，試求所有這樣的單項(xiàng)式3、化簡(jiǎn)：（ 1）；（ 2）多項(xiàng)式x2-xy 與另一個(gè)整式的和是2x2+xy+3y2 ，求這一個(gè)整式解：（ 1）原式 =2a2-ab+a2-8ab-ab=

5、a2-9ab；（ 2）（2x2+xy+3y2 ） -（ x2-xy ）=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2這個(gè)整式是x2+2xy+3y2 點(diǎn)評(píng)：（1）關(guān)鍵是去括號(hào)按5、設(shè)，求整式的值6 、已知整式2x2+ax-y+6與整式2bx2-3x+5y-1的差與字母x 的值無關(guān)，試求代數(shù)式7 （ ab2+2b3-a2b） +3a2-（ 2a2b-3ab2-3a2）的值解：（ 2x2+ax-y+6 ） -（ 2bx2-3x+5y-1 ） =2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（ 2-2b） x2+ （ a+3） x-6y+7 ，因?yàn)樗鼈兊牟钆c字母x 的取值無關(guān)，所以2-2b

6、=0， a+3=0，解得 a=-3， b=12（ ab2+2b3-a2b） +3a2-（2a2b-3ab2-3a2）=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6 ×（ -3） 2-4×（ -3） 2× 1+5×（ -3）× 1+4× 1=7 8。在盒子里放有四張分別寫有整式 3x2-3， x2-x ，x2+2x+1 ， 2 的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母（ 1）求能組成分式的概率；（ 2）在抽取的能組成分式的卡片中，請(qǐng)你選擇其中能進(jìn)行約分的一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)這個(gè)式解：（ 1）四張分別寫有整式3x2-3，

7、x2-x ， x2+2x+1 ， 2 的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母共有4× 3=12 種結(jié)果，其中以“2”作分母的3 個(gè)，不能組成分式，故可以組成9 個(gè)分式，能組成分式的概率為=；（ 2）答案不唯一如，=，9. 甲乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法：（ 2x+a ）（ 3x+b ），由于甲抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中a 的符號(hào)，得到的結(jié)果為6x2+11x-10 ；由于乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)中的x 的系數(shù)， 得到的結(jié)果為2x2-9x+10 請(qǐng)你計(jì)算出a、b 的值各是多少，并寫出這道整式乘法的正確結(jié)果解：設(shè)第二個(gè)多項(xiàng)中的x 的系數(shù)為Z ，（ 2x+a）（ Zx+b ）

8、=2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10， Z=1 ，第二個(gè)多項(xiàng)中的x 的系數(shù)是1，（ 2x+a）（ x+b） =2x2-9x+10 ， 2b+a=-9 ，ab=10， b=-2 ， a=-5，（ 2x+a）（ 3x+b ） =（ 2x-5 ）（ 3x-2 ） =6x2-19x+10 ；13. 由于看錯(cuò)了運(yùn)算符號(hào)，某學(xué)生把一個(gè)整式減去-4a2+2b2+3c2 誤以為是加上 -4a2+2b2+3c2 ，結(jié)果得出的答案是 a2-4b2-2c2 ，求原題的正確答案解：設(shè)原來的整式為 A則 A+ （ -4a2+2b2+3c2 ） =a2-4b2-2c2 A=5a2-6b2-5c2 A- （

9、 -4a2+2b2+3c2 ）=5a2-6b2-5c2- （ -4a2+2b2+3c2）=9a2-8b2-8c2 原題的正確答案為9a2-8b2-8c210. 根據(jù)題意列出代數(shù)式，并判斷是否為整式，如果是整式指明是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式（ 1）友誼商店實(shí)行貨物七五折優(yōu)惠銷售，則定價(jià)為x 元的物品，售價(jià)是多少元？（ 2）一列火車從A 站開往 B 站，火車的速度是a 千米 /小時(shí)， A ，B 兩站間的距離是120 千米，則火車從A 站開往 B 站需要多長(zhǎng)時(shí)間？（ 3）某行政單位原有工作人員m 人，現(xiàn)精簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)，減少25%的工作人員，后又引進(jìn)人才，調(diào)進(jìn)3 人，該單位現(xiàn)有多少人？解：（1）根據(jù)題意得，售價(jià)為：

10、 75%x，是整式，是單項(xiàng)式；（ 2）根據(jù)題意，t=，不是整式；（ 3）根據(jù)題意得，現(xiàn)在人數(shù)為：（1-25% ） m+3，是整式，是多項(xiàng)式11. 某村小麥種植面積是a 畝，水稻種植面積比小麥種植面積多5 畝，玉米種植面積是小麥種植面積的3 倍（ 1）玉米種植面積與水稻種植面積的差為m，試用含口的整式表示 m；（ 2）當(dāng) a=102 畝時(shí)，求 m 的值解：（1） m=3a-（ a+5），=3a-a-5，=2a-5；（ 2）當(dāng) a=102 時(shí)，m=2× 102-5 ，=199（畝）14.紅星中學(xué)校辦工廠，生產(chǎn)并出售某種規(guī)格的楚天牌黑板，其成本價(jià)為每塊20 元，若由廠家直銷，每塊售價(jià)元，同

11、時(shí)每月要消耗其他人工費(fèi)用1200 元；若委托商場(chǎng)銷售，出廠批發(fā)價(jià)為每塊24 元（ 1）若每月銷售x 塊，用整式分別表示兩種銷售方式所獲得的利潤(rùn)（注：利潤(rùn) =銷售總額 -成本 -其他費(fèi)用）（ 2）新學(xué)期各學(xué)校教學(xué)黑板維修較多，銷路較好，預(yù)計(jì)11 月份可銷售300 塊，采取哪一種銷售方式獲得的利潤(rùn)多？（ 3）若你是紅星中學(xué)校辦工廠的廠長(zhǎng)，請(qǐng)你進(jìn)行決策：當(dāng)預(yù)計(jì)銷售200 塊黑板時(shí)，應(yīng)選擇哪一種銷售方式較30好？解：（ 1）廠家直銷的利潤(rùn)為（30-20） x-1200 ；委托商場(chǎng)銷售的利潤(rùn)為（24-20） x；（2）當(dāng) x=300 時(shí)，廠家直銷的利潤(rùn)為10× 300-1200=1800 （元

12、）；委托商場(chǎng)銷售的利潤(rùn)為（24-20）× 300=1200 （元）；采取廠家直銷的利潤(rùn)大；（ 3）當(dāng) x=200 時(shí)，廠家直銷的利潤(rùn)為10× 200-1200=800 （元）；委托商場(chǎng)銷售的利潤(rùn)為4× 200=800（元）；兩種銷售方式一樣16、探究應(yīng)用：（ 1）計(jì)算（ a-2）（ a2+2a+4） =（ 2x-y ）（ 4x2+2xy+y2 ） =（ 2）上面的整式乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，你又發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式：（請(qǐng)用含a b 的字母表示） （ 3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是A （ a-3）（ a2-3a+9） B（ 2m-n ）（ 2m2+2mn+n2

13、 ）C（ 4-x）（ 16+4x+x2 ）D （ m-n）（ m2+2mn+n2 ）（ 4）直接用公式計(jì)算： （ 3x-2y）（ 9x2+6xy+4y2 ）=（ 2m-3 ）（ 4m2+6m+9 ） =17. 閱讀下面學(xué)習(xí)材料：已知多項(xiàng)式2x3-x2+m 有一個(gè)因式是 2x+1 ，求 m 的值解法一：設(shè)2x3-x2+m= （ 2x+1 ）（ x2+ax+b ），則 2x3-x2+m=2x3+ （ 2a+1） x2+ （ a+2b） x+b比較系數(shù)得： ，解得，所以 m=0.5解法二：設(shè)2x3-x2+m=A （2x+1 ）（ A 為整式）由于上式為恒等式，為了方便計(jì)算，取x=-0.5 ，得 2&

14、#215;（ -0.5） 3-0.52+m=0 ，解得 m=0.5根據(jù)上面學(xué)習(xí)材料，解答下面問題：已知多項(xiàng)式 x4+mx3+nx-16 有因式 x-1 和 x-2，試用兩種方法求m、 n 的值解：解法1：設(shè) x4+mx3+nx-16= （ x-1 ）（ x-2 ）（x2+ax+b ），（ 1 分）則 x4+mx3+nx-16=x4+ （ a-3） x3+ （b-3a+2） x2+ （2a-3b） x+2b （ 2 分）比較系數(shù)得：，解得，所以 m=-5，n=20 （ 4 分）18.（ 1）化簡(jiǎn)： 3x2y-2xy- （ xy-x2y+2xy ） （ 2）已知 A=2x2+xy+3y2 ， B=

15、x2-xy+2y2 ， C 是一個(gè)整式，且解：（1）原式 =3x2y-2xy-3xy+x2y，（ 2 分）A+B+C=0，求C=3x2y-x2y+xy，=x2y+xy；解：（2） A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2=3x2+5y2 （ 2 分），A+B+C=0 ， C=-（ A+B ），=-3x2-5y2 （ 4 分）19、問題 1：同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到靈活運(yùn)用乘法公式給整式乘法及多項(xiàng)式的因式分解帶來的方便，快捷相信通過下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會(huì)使你大開眼界，并獲得成功的喜悅例：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算195× 205解： 195× 205=（ 200-5）（ 200+5）=

16、2002-52 =39975（ 1）例題求解過程中，第步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（ 2）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算： 9× 11× 101× 10001問題 2：對(duì)于形如x2+2ax+a2 這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成（x+a）2 的形式但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2，就不能直接運(yùn)用公式了此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2 中先加上一項(xiàng)a2，使它與 x2+2ax的和成為一個(gè)完全平方式，再減去a2，整個(gè)式子的值不變，于是有：x2+2ax-3a2= （ x2+2ax+a2 ） -a2-3a2=（ x+a） 2-（ 2a） 2=（ x+3a）（

17、 x-a）像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”（ 1）利用“配方法”分解因式：a2-4a-12問題 3：若 x-y=5 ， xy=3 ，求： x2+y2 ； x4+y4 的值15.閱讀解答題：在數(shù)學(xué)中，有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決例：若 x=123456789 × 123456786 ， y=123456788 × 123456787，試比較 x、 y 的大小解：設(shè) 123456788=a，那么 x=（ a+1）（ a-2）=a2-a-2 ，y=a（ a-1） =a2-a， x-y= （

18、a2-a-2） -（ a2-a） =-2 0， x y看完后，你學(xué)到了這種方法嗎？不妨嘗試一下，相信你準(zhǔn)行！問題：計(jì)算3.456× 2.456× 5.456-3.4563-1.4562 解：設(shè) 3.456 為 a，則 2.456=a-1 ，5.456=a+2， 1.456=a-2，可得：3.456 ×2.456 ×5.456-3.4563-1.4562=a×（ a-1）×（ a+2） -a3-（ a-2） 2=a3+a2-2a-a3-a2+4a-4=2a-4， a=3.456，原式 =2a-4=2× 3.456-4=2.91

19、2 20.計(jì)算：（ 1）（ -8a4b5c）÷（ 4ab5）（? 3a3b2）（ 2） 2（ a2x）3-9ax5 ÷（ 3ax3）（ 3）（ 3mn+1 ）（ -1+3mn ） -（ 3mn-2） 2（ 4）運(yùn)用整式乘法公式計(jì)算 1232-124 × 122（ 5） （ xy+2 ）（ xy-2 ） -2x2y2+4 ÷（ xy），其中 x=10， y=- 解：（ 1）（ -8a4b5c）÷（ 4ab5）（? 3a3b2），=-2a3c?（ 3a3b2），=-6a6b2c ；（ 2） 2（ a2x）3-9ax5 ÷（ 3ax3），=

20、2a6x3-9ax5 ÷（ 3ax3），=；（ 3）（ 3mn+1 ）（ -1+3mn ） -（ 3mn-2） 2，=（ 9m2n2-1 ） -（ 9m2n2-12mn+4 ），=9m2n2-1-9m2n2+12mn-4 ，=12mn-5 ；（ 4） 1232-124× 122，=1232- （ 123+1）×（ 123-1），=1232- （ 1232-1），=1232-1232+1 ，=1；（ 5） （ xy+2 ）（ xy-2 ） -2x2y2+4 ÷（ xy），=x2y2-4-2x2y2+4 ÷（ xy ），=（ -x2y2 ）

21、7;（ xy ），=-xy ；當(dāng) x=10 ， y=- 時(shí)，原式 =-10 ×（ -） = 21、一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的度數(shù)的(這個(gè)角是45° )3 倍，則這個(gè)角的度數(shù)是多少？22 、如圖所示，是一個(gè)正方體的平面展開圖，標(biāo)有字母A 的面是正方體的正面，如果正方體的相對(duì)的兩個(gè)面上標(biāo)注的代數(shù)式的值與相對(duì)面上的數(shù)字相等，求x、 y 的值23 、已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的4 倍，求這個(gè)角的度數(shù)(60)先化簡(jiǎn)后求值：（ x-y ）2+ （x+y ）（ x-y ） ÷ 2x，其中 x=3 ，y=1.5 （1.5 ）（ 2001 ?寧夏）設(shè)a-b=-2 ，求的值（2）

22、計(jì)算：解：由題意可設(shè)字母n=12346，那么12345=n-1， 12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2- （ n-1 ）（n+1 ）應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2- （n2-12 ）=n2-n2+1=1 ，即原式分母的值是1，所以原式 =24690 （ 2007 ?淄博）根據(jù)以下10 個(gè)乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20 ×20（ 1）試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“2- 2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)

23、的思考過程；（ 2）將以上 10 個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；（ 3）試由（ 1 ）、（2 ）猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論 （不要求證明分析：（1 ）根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫成平方差的形式即可（ 2）減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可（ 3）根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越小解答：解：（1 ）11× 29=202-92 ； 12× 28=202-82 ； 13 ×27=202-72 ；14 × 26=202-62 ；15 × 25=202-52 ；16 × 24=202-42 ；17 × 23=202-32

24、 ；18 × 22=202-22 ；19 × 21=202-12 ；20 × 20=202-02（ 4 分）例如， 11×29 ；假設(shè) 11× 29= 2-2 ，因?yàn)?2-2= （ + ）（ -）；所以，可以令- =11， + =29 解得， =20 ， =9 故 11×29=202-92 （或 11 ×29= （ 20-9 ）（ 20+9 ）=202-92（ 2 ）這 10 個(gè)乘積按照從小到大的順序依次是： 11×29 12×28 13× 27 14×26 15×25 16

25、× 2417× 2318 × 2219× 21 20×20整式的乘除復(fù)習(xí)題一學(xué)新知識(shí)應(yīng)用1、閱讀解答題：有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決，請(qǐng)先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題例：若 x=123456789 × 123456786， y=123456788 × 123456787 ，比較 x、 y 的大小解：設(shè) 123456788=a，那么 x= （ a+1）（a-2） = a2 -a2 ，y=a（ a-1） = a2a. x-y= a2 -a 2 -（ a2a ） =-2 0 xy看完后，你學(xué)到了這

26、種方法嗎再親自試一試吧，你準(zhǔn)行！問題：計(jì)算1.345×0.345× 2.69-1.3453 -1.345× 0.3452計(jì)算 3.456× 2.456×5.456- 3.4563 - 1.4562 2、我們把符號(hào)“n!”讀作“ n 的階乘”，規(guī)定“其中n 為自然數(shù)，當(dāng)n 0 時(shí)，n!=n （? n-1）（?n-2） 2?1，當(dāng) n=0 時(shí)， 0!=1 ”例如： 6!=6 × 5× 4× 3×2× 1=720又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先計(jì)算階乘，再乘除，后加堿，有括號(hào)就先算括號(hào)里

27、面的” 按照以上的定義和運(yùn)算順序， 計(jì)算：（ 1）4!= ；（ 2）（3+2 ）!-4!= ；（3）用具體數(shù)試驗(yàn)一下， 看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？3. 小明和小強(qiáng)平時(shí)是愛思考的學(xué)生，他們?cè)趯W(xué)習(xí)整式的運(yùn)算這一章時(shí)，發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結(jié)果很有特點(diǎn)，例如：（ x-1 ） x3 +x+1 = x3 -1，（ 2a+b）（ 4a2 -2ab+b2 ） = 8a3 +b3 ，小明說：“這些整式乘法左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式跟一個(gè)三項(xiàng)式相乘，右邊是一個(gè)二項(xiàng)式”，小強(qiáng)說：“是啊！而且右邊都可以看成是某兩項(xiàng)的立方的和（或差）”小明說：“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個(gè)二項(xiàng)式和最后的結(jié)果有點(diǎn)像”小強(qiáng)說：“對(duì)啊，我也發(fā)現(xiàn)

28、左邊那個(gè)三項(xiàng)式好像是個(gè)完全平方式，不對(duì)，又好像不是，中間不是兩項(xiàng)積的 2 倍”小明說：“二項(xiàng)式中間的符號(hào)、三項(xiàng)式中間項(xiàng)的符號(hào)和右邊結(jié)果中間的符號(hào)也有點(diǎn)聯(lián)系”親愛的同學(xué)們，你能參與到他們的討論中并找到相應(yīng)的規(guī)律嗎？（ 1）能否用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（ 2）你能利用上面的規(guī)律來計(jì)算（ -x-2y） x2 -2 xy 4 y2 嗎？（ 3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是A （a-3）（ a23a 9 ） B （ 2m-n）（ 2 m22mnn2 ）C（ 4-x）（ 16+4x+ x2 ）D （ m-n）（ m22mn n2 ）（ 4）直接用公式計(jì)算： （3x-2y ）（ 9x26xy 4

29、y2 ） =（ 2m-3）（ 4m26m+9） =4、問題 1：同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到靈活運(yùn)用乘法公式給整式乘法及多項(xiàng)式的因式分解帶來的方便，快捷相信通過下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會(huì)使你大開眼界，并獲得成功的喜悅例：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算195× 205解： 195×205=（ 200-5）（ 200+5）=2002-52 =39975（ 1）例題求解過程中，第步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（ 2）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算： 9× 11× 101× 10001問題2：對(duì)于形如x22axa2 這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成( x+a)2 的形式但對(duì)于二次三項(xiàng)式

30、 x22ax3a2 ，就不能直接運(yùn)用公式了此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x22ax3a2 中先加上一項(xiàng)a2 ，使它與x22ax 的和成為一個(gè)完全平方式，再減去a2 ，整個(gè)式子的值不變，于是有：x22ax3a2 = x22axa2 -a23a2 = (x+a)2(2a) 2( x+3a)( x-a)像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”（ 1）利用“配方法”分解因式：a2 4a 12二乘法公式應(yīng)用5、一個(gè)單項(xiàng)式加上多項(xiàng)式9(x-1)2 -2x5 后等于一個(gè)整式的平方，試求所有這樣的單項(xiàng)式6、設(shè)，求整式的值若 x-y=5 ， xy=3 ，求：

31、x2y2 ； x4y 4 的值三整式的計(jì)算7、化簡(jiǎn)：（1）；（ 2）多項(xiàng)式 x2 -xy 與另一個(gè)整式的和是2x2 +xy3y2 ，求這一個(gè)整式解：8、已知整式 2x2 +ax-y+6 與整式 2bx2 -3x+5y-1 的差與字母x 的值無關(guān)，試求代數(shù)式7（ ab2 +2b3a2 b ） + 3a 2 -（ 2a2b-3ab23a2 ）的值9.甲乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法：（ 2x+a ）（ 3x+b ），由于甲抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中a 的符號(hào)，得到的結(jié)果為6 x2+11x-10 ；由于乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)中的x 的系數(shù)，得到的結(jié)果為2 x2-9x+10 請(qǐng)你計(jì)算出 a、b 的值各是多少，并寫出

32、這道整式乘法的正確結(jié)果解：10.由于看錯(cuò)了運(yùn)算符號(hào)， 某學(xué)生把一個(gè)整式減去 -4 a2+2b2+3 c2 誤以為是加上 -4 a2+2b2+3 c2 ，結(jié)果得出的答案是a2 -4 b2 -2 c2 ，求原題的正確答案11. 根據(jù)題意列出代數(shù)式，并判斷是否為整式，如果是整式指明是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式（ 1）友誼商店實(shí)行貨物七五折優(yōu)惠銷售，則定價(jià)為x 元的物品，售價(jià)是多少元？（ 2）一列火車從A 站開往 B 站，火車的速度是a 千米 /小時(shí)， A ，B 兩站間的距離是120 千米，則火車從A 站開往 B 站需要多長(zhǎng)時(shí)間？（ 3）某行政單位原有工作人員m 人，現(xiàn)精簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)，減少25%的工作人員，后又引進(jìn)人

33、才，調(diào)進(jìn)3 人，該單位現(xiàn)有多少人？12. 某村小麥種植面積是a 畝，水稻種植面積比小麥種植面積多5 畝，玉米種植面積是小麥種植面積的3 倍（ 1）玉米種植面積與水稻種植面積的差為m，試用含口的整式表示m；（ 2）當(dāng) a=102 畝時(shí)，求 m 的值13. 紅星中學(xué)校辦工廠，生產(chǎn)并出售某種規(guī)格的楚天牌黑板，其成本價(jià)為每塊20 元，若由廠家直銷，每塊售價(jià)30元，同時(shí)每月要消耗其他人工費(fèi)用1200 元；若委托商場(chǎng)銷售，出廠批發(fā)價(jià)為每塊24 元（ 1）若每月銷售x 塊，用整式分別表示兩種銷售方式所獲得的利潤(rùn)（注：利潤(rùn) =銷售總額 -成本 -其他費(fèi)用）（ 2）新學(xué)期各學(xué)校教學(xué)黑板維修較多，銷路較好，預(yù)計(jì)1

34、1 月份可銷售300 塊，采取哪一種銷售方式獲得的利潤(rùn)多？（ 3）若你是紅星中學(xué)校辦工廠的廠長(zhǎng)，請(qǐng)你進(jìn)行決策：當(dāng)預(yù)計(jì)銷售200 塊黑板時(shí)，應(yīng)選擇哪一種銷售方式較好？14. （ 1）化簡(jiǎn)： 3 x2y-2xy-（ xy-x2y+2xy ）（2）已知A=2x2+xy+3y2 ，B=x2-xy+2y2 ，C是一個(gè)整式， 且A+B+C=0，求 C15 、如圖所示，是一個(gè)正方體的平面展開圖，標(biāo)有字母 A 的面是正方體的正面，如果正方體的相對(duì)的兩個(gè)面上標(biāo)注的代數(shù)式的值與相對(duì)面上的數(shù)字相等，求 x、 y 的值16 計(jì)算：（ 1）（ -8 a4 b5 c）÷（ 4ab5 ）（? 3 a3b2 ）（

35、2） 2(a2 x)3 -9a x5 ÷（ 3a x3 ）（ 3）（ 3mn+1 ）（ -1+3mn ） - (3mn2)2 （4）運(yùn)用整式乘法公式計(jì)算 1232 -124× 122三寫多項(xiàng)式方法17. 閱讀下面學(xué)習(xí)材料：已知多項(xiàng)式 2 x3- x2+m 有一個(gè)因式是2x+1 ，求 m 的值根據(jù)上面學(xué)習(xí)材料，解答下面問題：已知多項(xiàng)式 x4+m x3+nx-16 有因式 x-1 和 x-2，試用兩種方法求m、 n 的值四余角和補(bǔ)角18、一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的度數(shù)的3 倍，則這個(gè)角的度數(shù)是多少？19 、已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的4 倍，求這個(gè)角的度數(shù)小測(cè)驗(yàn)姓名1.在盒

36、子里放有四張分別寫有整式3 x2 -3， x2 -x， x2 +2x+1 ，2 的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母（ 1）求能組成分式的概率；（ 2）在抽取的能組成分式的卡片中，請(qǐng)你選擇其中能進(jìn)行約分的一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)這個(gè)式2. 先化簡(jiǎn)后求值 (x-y) 2 +（ x+y ）（ x-y ）÷ 2x ，其中 x=3 ， y=1.53.設(shè) a-b=-2 ，求的值4.計(jì)算5 根據(jù)以下10 個(gè)乘積，回答問題：11× 29；12× 28 ；13 × 27；14×26；15 × 25；16× 24 ；17

37、×23；18 × 22；19×21；20× 20 （ 1）試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“ 2- 2 ”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；（ 2）將以上 10 個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；（ 3）試由（ 1 ）、（ 2）猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論 （不要求證明）初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)第一講：因式分解( 一 )多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有

38、著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹1運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a22-b) ；-b =(a+b)(a(2)a 2±2ab+b2 =(a ±b) 2 ；(3)a33=(a+b)(a22；+b-ab+b )(4)a3322-b =(a -b)(a+ab+b )下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a 2+b2 +c2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a333

39、222+b +c -3abc=(a+b+c)(a+b+c -ab-bc-ca) ；(7)ann=(a -b)(an-1+an-2n-32n-2+bn-1) 其中 n 為正整數(shù)；-bb+ab + +ab(8)ann=(a+b)(an-1n-2n-32n-2n-1) ，其中 n 為偶數(shù)；-b-ab+ab-+ab-b(9)ann=(a+b)(an-1n-2n-3b2n-2+bn-1) ，其中 n 為奇數(shù)+b-ab+a- -ab運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例 1分解因式：(1) -2x5n-1n+4x3n-1yn+2n-1yn+4；y- 2x

40、(2)x333-8y-z -6xyz ；(3)a 2+b2 +c2-2bc+2ca -2ab；(4)a752257-a b +a b -b解 (1) 原式 =-2xn-1 yn(x 4 n-2x2 ny2+y4)n-1n222222=-2xy (xn)- 2x ny +(y)=-2xn-1 yn(x 2 n-y 2) 2=-2xn-1 yn(x n -y) 2(x n+y) 2(2)333-Z)原式 =x +( -2y)+( -z) - 3x( -2y)(=(x -2y- z)(x2+4y2 +z2 +2xy+xz -2yz) (3)222原式 =(a -2ab+b )+( -2bc+2ca)

41、+c(a -b) 2 +2c(a -b)+c 2=(a -b+c) 2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( -b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( - b)=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a752257-a b )+(ab-b )=a 5 (a 2-b2)+b 5(a2-b2)=(a2255-b )(a+b )=(a+b)(a-b)(a+b)(a432234-a b+a b -ab+b )=(a+b)2(a -b)(a432234- a b+a b-ab+b )例 2 分解因式： a3 +b3 +c3 -3abc本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證

42、明前面給出的公式(6) 分析我們已經(jīng)知道公式(a+b) 3=a3+3a2 b+3ab2 +b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3 +b3 =(a+b) 3 -3ab(a+b) 這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo)33解 原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c - 3abc= (a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c2 - 3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2 +b2 +c2-ab-bc-ca) 說明 公式 (6) 是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的 結(jié)論，例如：我們將公式(6) 變形為a3 +b3 +c3-3ab

43、c顯然，當(dāng)333；當(dāng) a+b+c 03333333abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)，等a+b+c=0 時(shí)，則 a+b +c =3abc時(shí)，則 a +b +c-3abc 0，即 a +b+c號(hào)成立如果令 x=a 3 0， y=b3 0，z=c3 0，則有等號(hào)成立的充要條件是x=y=z 這也是一個(gè)常用的結(jié)論1514132例 3 分解因式： x +x +x + +x +x+1分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16 項(xiàng)，從最高次項(xiàng)15開始， x 的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式nn來分解xa - b解因?yàn)閤 16-1=(x -1)(x 15+x14 +x13+ x2 +x+1) ，所以說明在本題的分

44、解過程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例 4 分解因式： x3 -9x+8分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧解法 1 將常數(shù)項(xiàng)8 拆成 - 1

45、+9原式 =x3 -9x-1+93=(x -1) -9x+9=(x -1)(x 2 +x+1) -9(x - 1)=(x -1)(x 2 +x-8) 解法 2 將一次項(xiàng) -9x 拆成 -x -8x原式 =x3 -x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x-1) -8(x -1)=(x -1)(x 2 +x-8) 解法 3 將三次項(xiàng)3拆成 9x33x-8x 33原式 =9x -8x -9x+8=(9x33+8)-9x)+( -8x=9x(x+1)(x-1) - 8(x -1)(x2 +x+1)=(x -1)(x 2 +x-8) 解法 4 添加兩項(xiàng) -x2+x2 原式 =x3

46、 -9x+8=x3 -x2+x2 -9x+8=x2(x -1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x 2 +x-8) 說明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例 5 分解因式：(1)x 9+x6 +x3-3；(2)(m 2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1) 4+(x 2-1)2 +(x -1) 4 ；(4)a 3b-ab3+a2 +b2+1解 (1) 將 -3 拆成 -1-1-1963原式 =x +x +x-1-1-1=(x963-1)+(x-1)+(x-1)=(x363+1)+(x33+1)+(x3-1)(x+x-1)(x-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2 +x+1)(x 6+2x3 +3) (2) 將 4mn拆成 2mn+2