和差化積積化和差萬能公式

1、芅正、余弦和差化積公式蠆 指部分的一組蝿sina +si nB =2si n(a + B )/2 cos( a -B )/2蒅sina -sinB =2cos(a + B )/2 sin ( a-B )/2蚄cosa +cosB =2cos(a +B )/2 cos ( a-B )/2|T、八亠_ F 、八厶厶荿cosa -cosB =-2si n(a + B )/2 sin( a-B )/2【注意右式刖的負號】薆 以上四組公式可以由公式推導得到薄證明過程肅 sin a +sin B =2sin( a +B )/2 cos( a - B )/2的證明過程腿因為蚈sin(a +B)=sinaco

2、s B +cosa sinB,羆sin(a -B)=sinacos B -cosa sinB,蒃將以上兩式的左右兩邊分別相加，得袀sin(a +B)+sin(a- B )=2sina cosB,蒅 設 a + B = 9, a - B = ©袀那么蚈 a =( 9 +© )/2, B = (9- ©) /2莆把a,B的值代入，即得節(jié) sin 0 + sin © =2sin ( 0 +© )/2 cos( 0 - ©) /2 膃正切的和差化積acos B )(附證明)tan a± tan B =sin( a±B )/

3、(cos肆 cot a± cot B =sin( B±a )/(sin a sin B ) 芄 tan a +cot B =cos( a - B )/(cos a sin B )芁 tan a - cot B = - cos( a + B )/(cos a sin B )螁 證明：左邊=tan a± tan B =sin a /cos a± sin B /cos B袇=(sin a cos B± cos a sin B )/(cos a cos B )蒞=sin( a±B )/(cos a cos B )=右邊葿 等式成立芀注意事項薇

4、 在應用和差化積時，必須是一次同名三角函數(shù)方可實行。若是異名, 必須用化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降為一次膂 口訣螂正加正，正在前，余加余，余并肩蝕正減正，余在前，余減余，負正弦莈反之亦然膄生動的口訣：（和差化積）袀帥+帥=帥哥聿帥-帥二哥帥肇咕+咕=咕咕芅哥-哥=負嫂嫂芃反之亦然蒈記憶方法袈和差化積公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了各自的簡單記憶方法。肂結(jié)果乘以2莁這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其積的值域也應該是-1,1，而和差的值域卻是-2,2， 因此乘以2是必須的。羈也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后

5、，未抵消的兩項相同而造成有系數(shù)2,如：芅cos( a - B) - cos( a + B )膄=(cos a cos B +sin a sin B) -(co s a cos B - sin a sin B )葿=2sin a sin B莇故最后需要乘以 2。肅只有同名三角函數(shù)能和差化積膅無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點主要是根據(jù)證明記憶，因為如果不是同名三角函數(shù)，兩角和差公式展開后乘積項的形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法 化簡下去了。袂乘積項中的角要除以 2肀 在和差化積公式的證明中， 必須先把a和B表示成兩角和差的形式， 才能夠展開。

6、熟知要使兩個角的和、差分別等于a和B,這兩個角應該是（a +B ）/2和（a - B ）/2，也就是乘積項中角的形式。螅注意和差化積和積化和差的公式中都有一個“除以2”，但位置不同;而只有和差化積公式中有“乘以2”。羃使用哪兩種三角函數(shù)的積羀這一點較好的記憶方法是拆分成兩點，一是是否同名乘積，二是“半差角”（a - B ）/2的三角函數(shù)名。蒀是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數(shù)的乘積；正弦的和差化作異名三 角函數(shù)的乘積。薆 （a - B ）/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化

7、為積時，以COS（ a - B ）/2的形式出現(xiàn)；反之，以sin （ a - B ）/2的形式出現(xiàn)。肄由函數(shù)的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為積，那么和B調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，也就是若把（a - B ）/2替換為（B - a ）/2， 結(jié)果應當是一樣的，從而（a - B ）/2的形式是COS（ a - B ）/2 ；另一種情況可 以類似說明。莂余弦-余弦差公式中的順序相反 /負號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。芆當然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如(0, n 內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因為這個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當a大于B時，COSa小于COS B。但是這時對應的(

8、a + B )/2 和(a - B )/2 在(0, n )的范圍內(nèi)， 其正弦的乘積應大于0，所以要么反過來把COS P放到COS a前面，要么就在式子的最前面加上負號。肅積化和差公式蒁 sin a sin B =cos( a - P) - cos( a +B )/2 (注意：此時 差的余弦 在和 的余弦前面)荿或?qū)懽鳎簊in a sinP= - cos( a+P) -cos( a - P )/2 (注意：此時公式前有負號)羇cosacos P =cos(a - P )+COS(a+P )/2袃sinacos P =sin(a+P )+sin( a- P)/2袃cosasin P =sin(a

9、+P) - sin(a- P)/2螈證明螇積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。羄即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：羂sin a sin P= -1/2- 2sin a sin P 腿二 1/2(cos a cos P -sin a sin P) - (cosa cos P +sin a sin P )蕆=-1/2cos( a +P) - cos( a - P )羆其他的3個式子也是相同的證明方法。肀(參見)袁作用羋積化和差公式可以將兩個三角函數(shù)值的積化為另兩個三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式，所以使用積化和差公式可以達到降次的效果。螃在歷史上，出現(xiàn)之前，積化和差公式

10、被用來將乘除運算化為加減運算，運算需要利用三角函數(shù)表。蒂 運算過程：將兩個數(shù)通過乘、除 10的方幕化為0到1之間的數(shù)，通過 查表求出對應的反三角函數(shù)值，即將原式化為10Ak*sin a sin B的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結(jié)果。芀對數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這個作用由更加便捷的對數(shù)取代。羈記憶方法襖積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指 出了各自的簡單記憶方法。薁結(jié)果除以2蝿這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的值域應該是-2,2，而積的值域確是-1,1，因 此除以2是必須的。蒄也可以

11、通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數(shù)2,如：羆COS( a - B) - COS( a + B )羃=(cos a cos B +sin a sin B) - (cos a cos B -sin a sin B )腿=2sin a sin B膅故最后需要除以2。螃使用同名三角函數(shù)的和差肁 無論乘積項中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時，都應是同名三 角函數(shù)的和差。這一點主要是根據(jù)證明記憶，因為如果不是同名三角函數(shù)， 兩角和差公式展開后乘積項的形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項， 也就無法化簡下去了。薈使用哪種三角函數(shù)的和差羅 仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和

12、差公式中，余弦的展開中含有兩對 同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以反過 來，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正 弦的和差。螄是和還是差?膀這是積化和差公式的使用中最容易出錯的一項。規(guī)律為：“小角”B以cosB的形式出現(xiàn)時，乘積化為 和；反之，則乘積化為 差。肇由函數(shù)的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果B的形式是cosB，那么若把B替換為-B，結(jié)果應當是一樣的，也就是含a +B和a - B的兩項調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，從而結(jié)果的形式應當是和；另一種情況可以類似 說明。蚅正弦-正弦積公式中的順序相反 /負號祎這是一個特殊情況，完全可以死記下來。

13、薂當然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如0, n 內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因為這個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以COS（ a +B ）不大于cos（ a - B ）。但是這時對應的a和B在0, n 的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應大于等于0，所以要么反過來把COS（ a - B ）放到COS（ a +B ）前面，要么就在式子的最前面加上負號蕆萬能公式蒆蚃 【詞語】：萬能公式蟻 【釋義】：應用公式 sin a =2tan( a /2)/1+tan(a /2)A2膀 cos a =1-tan( a /2)A2/1+tan(a /2)人2膆 tan a =2tan( a /2)/1tan( a /2)人2蚄 將sin a cos a、tan a代換成tan ( a的式子，這種代換稱為萬能置換。肅【推導】：(字符版)薀a /2)/1+(tarsin a =2sin( a /2)cos( a /2)=2sin(a /2)c