抽樣推斷實用教案

1、抽樣(chu yn)推斷的意義和作用抽樣(chu yn)誤差抽樣(chu yn)估計的方法抽樣(chu yn)的組織設計第1頁/共35頁第一頁，共36頁。一、抽樣推斷的概念(ginin)和特點概念(ginin)抽樣推斷是按隨機原則從全部研究對象中抽取部分單位進行觀察，并根據(jù)樣本的實際數(shù)據(jù)對總體的數(shù)量特征作出具有(jyu)一定可靠程度的估計和判斷。特點 按隨機原則抽選調查單位。 從數(shù)量上推斷總體。 抽樣推斷運用概率估計的方法。 抽樣推斷的誤差可以事先計算并加以控制。第一節(jié) 抽樣推斷的意義和作用第2頁/共35頁第二頁，共36頁。二、抽樣推斷(tudun)的作用三、有關(yugun)抽樣的基本概念（

2、一）總 體 和 樣 本總體(zngt)也稱全及總體。指所要認識的研究對象全體。總體單位總數(shù)用“N”表示。樣本又稱子樣。是從全及總體中隨機抽取出來，作為代表這一總體的那部分單位組成的集合體。樣本單位總數(shù)用“n”表示。1、有些客觀現(xiàn)象需要了解全面情況2、可以補充、核對全面調查的結果3、用于工業(yè)生產過程的質量控制4、對總體的某種假設進行檢驗第3頁/共35頁第三頁，共36頁。（二）總體指標(zhbio)與樣本指標(zhbio)總體指標研究總體中的數(shù)量(shling)標志總體(zngt)平均數(shù)總體方差X=X NX=XF F（X-X） N2=2（X-X）F F2=2研究總體中的品質標志總體成數(shù)成數(shù)方差2=

3、 P(1-P)P = N1N第4頁/共35頁第四頁，共36頁。樣本(yngbn)指標研究(ynji)數(shù)量標志 樣本(yngbn)平均數(shù) 樣本標準差研究品質標質成數(shù)標準差 nxx2ffxxx2ppp1樣本成數(shù) nnp1fxfxnxx第5頁/共35頁第五頁，共36頁。（三）樣本(yngbn)容量和樣本(yngbn)個數(shù)樣本容量：一個樣本包含的單位數(shù)。用 “n”表示。一般(ybn)要求 n 30樣本(yngbn)個數(shù)：從一個全及總體中可能抽取的樣本數(shù)目。（四）重復抽樣和不重復抽樣重復抽樣：又稱回置抽樣。不重復抽樣：又稱不回置抽樣?？赡芙M成的樣本數(shù)目可能組成的樣本數(shù)目不考慮順序)!1( !)!1(Nn

4、nN考慮順序)!(!nNN不考慮順序!)!(!nnNN考慮順序nN第6頁/共35頁第六頁，共36頁。標號為A、B、C、D的四個圓球從中隨機抽取(chu q)兩個考慮順序nNAA、AB、AC、ADBA 、BB、BC、BDCA、CB、CC、CDDA、DB、DC、DD可能(knng)樣本個數(shù)不考慮順序)!1( !)!1(NnnNAA、AC、BA 、BB、BDCB、CC、DA、DC、DD考慮順序)!(!nNN重復(chngf)不重復AB、AC、ADBA 、BC、BDCA、CB、CDDA、DB、DC不考慮順序!)!(!nnNNAB、AC、ADBD、CB、DC第7頁/共35頁第七頁，共36頁。第二節(jié) 抽

5、樣 誤 差一、抽樣誤差的含義(hny)由于隨機抽樣的偶然因素使樣本各單位的結構不足以代表總體各單位的結構，而引起抽樣指標(zhbio)和全及指標(zhbio)之間的絕對離差。二、影響抽樣誤差大小(dxio)的因素1、總體各單位標志值的差異程度2、樣本的單位數(shù)3、抽樣方法4、抽樣調查的組織形式第8頁/共35頁第八頁，共36頁。三、抽樣(chu yn)平均誤差1、概念：抽樣平均誤差是抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)的 標準差。反映(fnyng)了抽樣平均數(shù)與總體平均數(shù) 抽樣成數(shù)與總體成數(shù)的平均誤差程度。2、計算方法：抽樣(chu yn)平均數(shù)的平均誤差抽樣成數(shù)平均誤差MXxx2MPpp2所有可能樣本指標:x總

6、體平均數(shù)指標:X所有可能樣本數(shù)目:M所有可能樣本指標:p總體成數(shù)指標:P第9頁/共35頁第九頁，共36頁。實例分析：設有四個工人工資分別為40、50、70、80元，現(xiàn)在隨機從其中抽取2人，并求平均工資，用以代表(dibio)4人總體的平均工資水平，如果采用重復抽樣，則所有可能樣本以及平均工資如下表：序號序號樣本變量樣本變量 樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)離差離差離差平方離差平方123440，4040，5040，7040，8040455560-20-15-50400225250567850，4050，5050，7050，8045506065-15-1005225100025910111270，4070，5

7、070，7070，8055607075-5010152501002251314151680，4080，5080，7080，8060657580051520025225400合計合計-96002000)(xx)(xx2)(xx第10頁/共35頁第十頁，共36頁。元樣本可能數(shù)目樣本平均數(shù)的平均數(shù)6016960)(xx元樣本可能數(shù)目樣抽樣平均誤差18.11162000)(2xxx元總平均工資604240480705040NXX四個工人工資分別(fnbi)為40、50、70、80元81.15410002NXX）（標準差元抽樣平均誤差18.11281.15nxXx )(所以第11頁/共35頁第十一頁，共

8、36頁。NXXX,21設總體變量有N個nxxx,21樣本容量有n個nxxxxn21則:則:NXXXXN21)()(21nxxxxn)()()(121nxxxn 由于 都是取自總體 中,它與總體同分布,所以nxxx,21NXXX,21XNXXxxxNiin1)()()()(121XXXXnx)(1)(所以第12頁/共35頁第十二頁，共36頁。22)(xxx2Xx 221nXXXnxxxn抽樣(chu yn)平均數(shù)的平均誤差2212)()()(1XxXxXxnn jijinXxXxXxXxXxn)()()()(1222212222212)()()(1XxXxXxnnnnn222)(1所以:nx交叉

9、項為零221222211)()()()(NXXXxXxXxNiin第13頁/共35頁第十三頁，共36頁。抽樣(chu yn)平均數(shù)平均誤差的計算公式：采用重復(chngf)抽樣此公式說明(shumng)，抽樣平均誤差與總體標準差成正比，與樣本容量成反比。（當總體標準差未知時，可用樣本標準差代替）通過例題可說明以下幾點：樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)。抽樣平均數(shù)的標準差僅為總體標準差的可通過調整樣本單位數(shù)來控制抽樣平均誤差。nxn1nsx第14頁/共35頁第十四頁，共36頁。例題：假定抽樣單位數(shù)增加 2 倍、0.5倍時，抽樣平均誤差怎樣(znyng)變化？解：抽樣(chu yn)單位數(shù)增加 2

10、 倍，即為原來的 3 倍則：抽樣單位(dnwi)數(shù)增加 0.5倍，即為原來的 1.5倍則：nnnx577. 0313nnnx8165. 05 . 115 . 1即：當樣本單位數(shù)增加2倍時，抽樣平均誤差為原來的0.577。即：當樣本單位數(shù)增加0.5倍時，抽樣平均誤差為原來的0.8165。第15頁/共35頁第十五頁，共36頁。數(shù)理統(tǒng)計證明(zhngmng)采用不重復抽樣誤差公式:公式表明：抽樣平均誤差不僅與總體變異程度(chngd)、樣本容量有關，而且與總體單位數(shù)的多少有關。例題(lt)一：隨機抽選某校學生100人，調查他們的體重。得到他們的平均體重為58公斤，標準差為10公斤。問抽樣推斷的平均誤

11、差是多少？例題二：某廠生產一種新型燈泡共2000只，隨機抽出400只作耐用時間試驗，測試結果平均使用壽命為4800小時，樣本標準差為300小時，求抽樣推斷的平均誤差？NnnNnNnx1122第16頁/共35頁第十六頁，共36頁。 下面求 的無偏估計 的方差Yy)(yV22)(YyYyyCnN對稱性論證(lnzhng)：2)(Yyy212)(1Yynnii22)(1Yynn)(2)(1212YyYyYynjnjiinii第17頁/共35頁第十七頁，共36頁。)(2)(1)(212YyYyYynyjnjiinii2121)()(YYNnYyNiinii)() 1() 1()(YYYYNNnnYyY

12、yjNjiijnjiiNiNjijiiYYYYNnnNYYnNy12)(112)(1)(212121)()()()(2NiiNiiNiiNjijiYYYYYYYYYY NiiYYNNnNn12)(111NiiYYNnnNy12)()111 (1)(因為：所以：nNnN21 nSNn2)1( （或 ）其中(qzhng):0第18頁/共35頁第十八頁，共36頁。Yy )()(1)()(11niiniiynnyyNXYNii1NXynNiinii11)(1NiiniiYNny11)(2121)()(YYNnYyNiinii第19頁/共35頁第十九頁，共36頁。例題(lt)一解)(110010公斤nx

13、即:當根據(jù)樣本學生的平均體重估計(gj)全部學生的平均 體重時,抽樣平均誤差為1公斤。例題(lt)二解)(15400300小時nxNnnx12)(42.13200040014003002小時計算結果表明： 根據(jù)部分產品推斷全部產品的平均使用壽命時，采用 不重復抽樣比重復抽樣的平均誤差要小。已知：10,58,100 xn則：已知：300,4800,400,2000 xnN則：第20頁/共35頁第二十頁，共36頁。抽樣(chu yn)成數(shù)平均誤差的計算公式采用(ciyng)重復抽樣：采用不重復(chngf)抽樣：例題三： 某校隨機抽選400名學生，發(fā)現(xiàn)戴眼鏡的學生有80人。根據(jù)樣本資料推斷全部學生

14、中戴眼鏡的學生所占比重時，抽樣誤差為多大？例題四：一批食品罐頭共60000桶，隨機抽查300桶，發(fā)現(xiàn)有6桶不合格，求合格品率的抽樣平均誤差？nppp1Nnnppp11第21頁/共35頁第二十一頁，共36頁。例 題 三 解已知：400n801n則：樣本(yngbn)成數(shù)%20400801nnp02. 04008 . 02 . 01nppp即：根據(jù)樣本資料推斷全部學生(xu sheng)中戴眼鏡的學 生所占的比重時，推斷的平均誤差為2%。第22頁/共35頁第二十二頁，共36頁。例題(lt)已知：60000N300n61n則：樣本(yngbn)合格率98. 030063001nnnp(%)808.

15、030002. 098. 01npppNnnppp11(%)806. 060000300130002. 098. 0計算結果表明：不重復抽樣(chu yn)的平均誤差小于重復抽樣(chu yn)， 但是“N”的數(shù)值越大，則兩種方法計算 的抽樣(chu yn)平均誤差就越接近。第23頁/共35頁第二十三頁，共36頁。四、抽樣(chu yn)極限誤差含義(hny)：抽樣極限誤差指在進行抽樣估計時，根據(jù)研究對象的變異程度和分析任務(rn wu)的要求所確定的樣本指標與總體指標之間可允許的最大誤差范圍。計算方法：它等于樣本指標可允許變動的上限或下限與總體指標之差的絕對值。抽樣平均數(shù)極限誤差：抽樣成數(shù)極

16、限誤差：XxxPppppPppxxXxx第24頁/共35頁第二十四頁，共36頁。五、抽樣誤差的概率(gil)度含義(hny)：抽樣誤差的概率(gil)度是測量抽樣估計可靠程度的一個參數(shù)。用符號“ t ”表示。公式表示： （t 是極限誤差與抽樣平均誤差的比值）（極限誤差是 t 倍的抽樣平均誤差）上式可變形為：xxtpptxxtppt第25頁/共35頁第二十五頁，共36頁。例題(lt)一：要估計某批優(yōu)良水稻品種種子的平均千粒重,現(xiàn)在隨機從該批種子抽取1市斤,計數(shù)共12500粒,折合平均每千粒重, 如果確定極限誤差范圍為8克,這就要求該批種子的平均每千粒重落在 ,即在32克到48克之間 克840克4

17、0 x例題(lt)二：%921000801p要估計某農作物幼苗的成活率,從播種這一品種的秧苗地快中隨機抽取秧苗1000株,其中死苗80株,則秧苗成活率 。如果確定極限誤差范圍為5%，這就要求該農作物成活率 p 落在 即落在87% 至 97% 之間%5%92假設上例一中的抽樣平均誤差為克4x248xxt則：于是抽樣誤差可能范圍為：克x240假設上例二中的抽樣平均誤差為%3p則：67.1%3%5ppt于是抽樣誤差可能范圍為：p67.1%92第26頁/共35頁第二十六頁，共36頁。六、抽樣誤差的可靠(kko)程度抽樣極限誤差(wch)的估計總是要和一定的概率保證程度聯(lián)系在一起的。因為既然抽樣誤差(w

18、ch)是一個隨機變量，就不能期望抽樣平均數(shù)（成數(shù)）落在一定區(qū)間內是一個必然事件，而只是給予一定的概率保證而已所以我們在進行抽樣估計時，不但要考慮抽樣誤差(wch)的可能范圍有多大而且還必須考慮落到這一范圍的概率有多少，前者是估計的精確度問題，后者是估計的可靠性問題，兩者密不可分。為了(wi le)說明這個關系，我們舉一個實例來說明：設有五位射擊選手,他們的得分各為2、4、6、8、10分，很顯然總平均成績?yōu)??，F(xiàn)在隨機選兩名選手的平均成績來估計總平均成績水平。分6)( X第27頁/共35頁第二十七頁，共36頁。假如采用(ciyng)不重復取樣，（不考慮順序），樣本分布為：序號序號樣本變量樣本變量

19、 樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)12342，42，62，8 2，10345656784，64，8 4，106，85677910 6，10 8，1089 樣本變量樣本變量 3456789 概率概率 p pi i1/101/10 2/10 2/10 2/101/101/10各樣本平均數(shù)的分布(fnb)頻率：x第28頁/共35頁第二十八頁，共36頁。根據(jù)上列概率分布，可以求出各區(qū)間抽樣(chu yn)平均數(shù)的概率：2 . 0102)6(xp6 . 0106)75( xp8 . 0108)84( xp11010)93( xp2 . 00)( Xxp6 . 01)( Xxp8 . 02)( Xxp13)( Xxp

20、上式說明抽樣極限誤差的概率，例如極限誤差為1，即總體平均數(shù)落在之間的概率為0.6,極限誤差為2的概率為0.8等等。這說明抽樣極限誤差一定是與概率的可靠(kko)程度聯(lián)系在一起的。要確定抽樣平均數(shù)（成數(shù)）落在一定區(qū)間的概率，必須研究抽樣平均數(shù)（成數(shù)）的分布規(guī)律。第29頁/共35頁第二十九頁，共36頁。由于(yuy)N=5 n=2 8273. 1)1525(28)1(2NnNnx極限誤差用抽樣(chu yn)平均誤差來表示 由不重復抽樣的基本(jbn)公式得： 6 . 058. 01xx8 . 016. 12xx173. 13xx由正態(tài)分布理論，介紹兩個重要定理：定理一：可以看出 前面的值越大，可

21、靠程度，即概率越高x當總體為正態(tài)分布 N( )，則從這個總體抽取容量為 n的的全部樣本平均數(shù)也服從于正態(tài)分布，其平均數(shù) ，其標準差為 2)(xn第30頁/共35頁第三十頁，共36頁。定理(dngl)二：XX如果變量 X 的分布具有有限的平均數(shù) 和標準差，則從這個總體抽取容量為 n的全部樣本，其平均數(shù)的分布隨著 n 的增大而趨近于平均數(shù)為 ，標準差為的正態(tài)分布。n 定理2并不要求總體分布(fnb)是正態(tài)的，甚至可以是不知道的，只要樣本的容量增大，抽樣平均數(shù)就趨于正態(tài)分布(fnb)。這和定理1限制總體分布(fnb)為正態(tài)，而樣本容量n 不作限制的情況是不同的。由以上兩個定理可以得到(d do)以下幾個基本事實：（一）由于抽樣平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù) ，所以抽樣平均數(shù)的分布，實際上就是圍繞著以總體平均數(shù)為對稱中心的分布，各樣本平均數(shù)和中心點的離差概率恰好表明抽樣極限誤差的概率。X第31頁/共35頁第三十一頁，共36頁?？梢宰C明：)(aXxaX與)(axXax