空間成角和距離

1、空間成角和距離一. 教學(xué)內(nèi)容：空間成角和距離二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 空間角：重點(diǎn)是一般情形下三種角的求法。在二面角的求法中，用三垂線定理或其逆定理作二面角的平面角是重點(diǎn)；難點(diǎn)是三種角的作法，對(duì)非常規(guī)位置圖形的觀察和識(shí)別，“無(wú)棱二面角”的求法；在作角過(guò)程中，關(guān)鍵要把握住有利于發(fā)揮已知條件的作用，便于已知與未知的溝通等原則，尋找到最合適的作圖位置。2. 空間距離：重點(diǎn)和難點(diǎn)是掌握七種距離的定義，熟練的進(jìn)行他們之間的轉(zhuǎn)化，并能通過(guò)作輔助圖形，應(yīng)用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出這些距離。 三. 知識(shí)回顧（一）空間角1. 直線與直線所成的角 2. 直線與平面成角：(1)直線與平面平行或在面內(nèi)，所成角為0

2、； 3. 平面與平面成角：注：按二面角定義：“從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角”，所以平面應(yīng)算二面角，因此平面角取值范圍應(yīng)含。(2)平面與平面平行，所成角為0。(3)兩個(gè)平面相交，交成四個(gè)二面角，其中相對(duì)的二面角大小相等，求角的一般步驟(1)找出或做出有關(guān)角的圖形 (2)證明它符合定義 (3)計(jì)算（一般通過(guò)解三角形）知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖 （二）距離1. 立體幾何中的各種距離有：點(diǎn)到直線的距離；點(diǎn)到平面的距離；平行直線間的距離；異面直線間的距離；直線與平面的距離；兩個(gè)平面間的距離；球面上兩點(diǎn)間距離2. 這些距離的定義不同，但都是轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離來(lái)計(jì)量。求距離的一般步驟是：

3、 （1）找出或作出有關(guān)距離的圖形； （2）證明它們就是所求的距離；（3）利用平面幾何和解三角形的知識(shí)在平面內(nèi)計(jì)算3. 求異面直線距離方法（1）定義：關(guān)鍵確定公垂線段（2）轉(zhuǎn)化為直線和平面間距離（過(guò)a而與b平行的平面）（3）轉(zhuǎn)化為平面間距離 求點(diǎn)面距離其法有二：（1）直接法，確定垂足的位置。（2）等體積法，同一個(gè)三棱錐，有四個(gè)不同的底和高，從不同的角度加以比較即可。曲面上兩點(diǎn)間距離：（1）曲面可展開(kāi)，則在側(cè)面展開(kāi)圖上算。（2）曲面不可展開(kāi)，球面上兩點(diǎn)的球面距離按定義求。 【典型例題】例1.如圖，ABCDEF是邊長(zhǎng)為a的正六邊形，將此六邊形沿對(duì)角AD折成直二面角F-AD-C（1）求證：無(wú)

4、論二面角F-AD-C多大，F(xiàn)EC為直角三角形；（2）求直線AD與CE的距離；（3）求直線AD與FC所成的角的正切值（1）證明  在平面圖形ABCDEF中，連結(jié)EC交AD于G，則EGAD折成直二面角后，EGAD，CGADEGC為二面角F-AD-C的平面角，AD面EGC又EFAD，EF面EGC，而EC 面EGC，EFEC，即無(wú)論EGC多大，F(xiàn)EC都為直角三角形而EC 面EFC，AD與EC的距離即為AD與面EFC的距離又GAD，AD與EC的距離即是G與面FEC的距離GH的長(zhǎng)為AD與CE的距離在等腰直角三角形GEC中，（3）解  ADEF，AD與FC所成的角就是EF與FC所成的角E

5、FC 例2. 已知斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC 垂直，ABC90°，BC2，AC2，且AA1A1C，AA1A1C。 （）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小；（）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大??；（）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離。（1998年全國(guó)理科試題）解：（）作A1DAC，垂足為D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC， A1AD為A1A與面ABC所成的角。AA1A1C，AA1A1C， A1AD45°為所求。 （）作DEAB，垂足為E，連A1E，則由A1D面ABC，得A1EAB。 A1ED是面A1ABB1與面

6、ABC所成二面角的平面角。由已知，ABBC，得EDBC。又D是AC的中點(diǎn)，BC2，AC2， DE1，ADA1D，tgA1EDA1D/DE=。 故A1ED60°為所求。（）解法一：由點(diǎn)C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長(zhǎng)是C到平面A1ABB1的距離。連結(jié)HB，由于ABBC，得ABHB。 又A1EAB，知HBA1E，且BCED， HBCA1ED60°。 CHBCsin60°為所求。 解法二：連結(jié)A1B。 根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐CA1AB的高h(yuǎn)。由V錐CA1ABV錐A1ABC得1/3SAA1Bh1/3SABCA1D， 即 1/3&#

7、215;2h=1/3×2×， h=為所求。  例3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分別是AB、C1D1、B1C1的中點(diǎn)，求：（1）直線AB與平面A1ECF所成的角（2）求平面AFG和平面AB1D1所成的角（3）求二面角B1-A1C-C1解：（1）正方體ABCD-A1B1C1D1中E、F分別是AB、C1D1中點(diǎn)A1E=EC=CF=FA1A1FCEA1ECF為棱形EFA1C設(shè)A1CEF=O，O為A1C、EF中點(diǎn)B1E=B1F在B1EF中，有B1OEF又EFA1C EF平面A1B1C又EF Ì 平面A1ECF 平面A1ECF平面A1B1C在平

8、面A1B1C內(nèi)作B1HA1C于H，則B1H平面A1ECFA1B1ABA1B1與平面A1ECF所成角等于AB與平面A1ECF所成角等于B1A1H設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A1C=B1H=（1*）/=（A1H=）sinB1A1H= B1A1H=arcsin 即：AB與平面A1ECF所成角是arcsin由于平面的一條斜線在這個(gè)平面的射影只有一條，所以，求直線和平面所成角時(shí)，關(guān)鍵是找出它在這個(gè)平面的射影。（2）分析：由于平面AFG和平面AB1D1有一個(gè)公共點(diǎn)，所以交于過(guò)A點(diǎn)的一條直線。本題關(guān)鍵是作出交線，求交線的方法：是根據(jù)公理1和公理2找到兩平面的另一個(gè)公共點(diǎn)。是根據(jù)線面平行的性質(zhì)，證明交線與其已知直線平

9、行。此題后面比較簡(jiǎn)便。解：F、G分別是D1C1和B1C1的中點(diǎn)FGD1B1 FG平面AD1B1 設(shè)面AFG面AB1D1=lFGl連A1C1交B1D1和FG分別于M、N，則M、N分別為B1D1和FG的中點(diǎn)。AB1=AD1 AMB1D1AG=AF （AFD1 AGB1） ANFGB1D1FGl AMl ANlMAN為所求的二面角的平面角，設(shè)為q正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1AM= AN= MN=COSq= q=arccos即平面AFG和平面AB1D1所成的角是arccos（3）解法（一）連B1D1交A1C1于O1CC1平面A1B1C1D1CC1B1O1又A1C1B1O1B1O1平面A1

10、CC1作O1EA1C于E，連B1E，則B1EA1CB1EO1為所求二面角B1-A1C-C1的平面角q在RTB1O1E1中，B1O1=，B1E=（B1EA1C=A1B1B1C）SINq=； q=60°解法（二）：利用異面直線兩點(diǎn)間距離公式，作B1EA1C于E，C1FA1C于F，則異面直線B1E和C1F所成角等于二面角B1-A1C-C1的平面角qB1E=C1F=，CF=EF=A1E=，B1C1=1（注）（注）RTA1C1C中，CC1=FCA1CCF=RTA1B1C中，A1B1=A1EA1CA1E= EF=-=B1C1=B1E+C1F+EF-2B1EC1FCOSqCOSq= q=60

11、76;解法（三）：利用射影面積公式 =SCOSqB1O1面A1CC1A1O1C為A1B1C在面A1CC1上的射影SA1O1C=SA1B1C=.1=COSq=SA1O1C/SA1B1C=q=60° 【模擬試題】一. 選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 、為異面直線，二面角，如果二面角的平面角為，則，所成的角為（ ）A B C或 D2. 在空間，如果、表示直線與平面，“若，則”成立，那么，所分別表示的元素正確的是（ ）A，都是直線 B ，都是平面C，為平面，為直線 D 為直線，為平面3. 一個(gè)二面角的兩個(gè)面與

12、另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是（ ）A相等B互補(bǔ) C相等或互補(bǔ)D不能確定4. 二面角MlN的平面角是60，直線a平面M，a與棱l所成的角是30，則a與平面N所成的角的余弦值是（ ）A B C D5. 正三棱柱ABCA1B1C中，D是AB的中點(diǎn)，CD等于，則頂點(diǎn)A1到平面CDC1的距離為（ ）A B1 C D6. 在長(zhǎng)方體ABCD一A1B1C1D1中，B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和 45°，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為（ ）A B C D7. 二面角-l-的棱l上有一點(diǎn)P，射線PA在內(nèi)，且與棱l成45°角，與面成30

13、°角則二面角-l-的大小為（ ）A30°或150° B45°或135°C60°或120° D90°8. 一條直線與平面a成60°角，則這條直線與平面內(nèi)的直線所成角的取值范圍是（ ）A0°，90° B C60°，180° D60°，90°9. 球面上A、B兩點(diǎn)的球面距離是，過(guò)這兩點(diǎn)的半徑的夾角是60°，則這個(gè)球的體積為 （ ）A48 B36 C24 D1810. 圖中多面體是過(guò)正四棱柱的底面正方形ABCD的頂點(diǎn)A作截面AB1C1D1而截得

14、的，且B1B=D1D。已知截面AB1C1D1與底面ABCD成30°的二面角，AB=1，則這個(gè)多面體的體積為 ( )ABCD  11. 如圖所示，在四面體ABCD中，E、F分別是AC與BD的中點(diǎn)，若CD = 2AB = 4，EFBA，則EF與CD所成角為 （ ）A900 B450 C600 D3012. 由四個(gè)全等的正三角形圍成的空間圖形叫正四面體。正四面體的四個(gè)正三角形面的12條中線能形成數(shù)值不同的k個(gè)銳角，k的數(shù)值是 ( )A7 B6 C5 D4 二. 填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13. 圓錐和一個(gè)球面相交，球心是圓錐的頂點(diǎn)，半徑等于圓錐的高，

15、若圓錐的側(cè)面積被球與圓錐側(cè)面的交線所平分，則圓錐母線與底面所成角的大小為_(kāi).14. 一個(gè)銳角為30，斜邊為2的直角三角形紙片，以斜邊上的中線為折痕折成直二面角，折后斜邊兩端點(diǎn)的距離等于.15. 如圖，將兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b 的矩形，按圖中的實(shí)線折疊剪裁而折成的正四棱錐，則的取值范圍是 . 16. 把地球看作半徑為R的球，A、B是北緯a度圈上的兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度差為b，則A、B兩點(diǎn)間的球面距離為_(kāi). 三. 解答題（共計(jì)74分）17. （本小題滿(mǎn)分12分）如圖，ABCD為直角梯形，ABCD，ABBC，AB=3a，BC=CD=a。將BCD沿BD折起，使得C到C，且C-BD-A為60°

16、;的二面角，求A、C的距離。18. （本小題滿(mǎn)分12分）若平面內(nèi)的直角ABC的斜邊AB=20，平面外一點(diǎn)P到A，B，C，三點(diǎn)距離都是25。求點(diǎn)P到平面的距離。19. （本小題滿(mǎn)分12分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1， M、N分別是棱A1B1和BB1的中點(diǎn)，求直線AM和CN所成角。20. （本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知斜平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD，A1AB=A1AD=BAD（）求證：平面B1D1DB平面A1C1CA；（）當(dāng)A1B1=，且直線A1A到平面B1D1DB的距離為1時(shí)，求BAD的大小.21. （本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知三棱柱ABCABC的底面ABC是邊

17、長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)面ABBA是菱形，且AAB=60°，M是AB的中點(diǎn)，已知BMAC。（1）求證：BM平面ABC；（2）證明：平面ABBA平面ABC；（3）求棱錐MCBBC的體積；（4）求異面直線AA與BC所成角的大小。22. （本題滿(mǎn)分14分）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，EBB1，截面A1EC側(cè)面AC1。（1）求證：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角（銳角）的度數(shù)?！驹囶}答案】一. 選擇題 1C 2D 3D 4C 5B 6A 7B 8D 9B 10D 11D 12C4解: 設(shè)E、F，過(guò)P作交N于Q，連FQ，則是二面角MlN的

18、平面角，=60，是PE與平面N所成的角。設(shè)EP=4，則PF=2，PQ=， cos=12. 解： 正四面體表面正三角形的中線所成角的余弦值有五種 二. 填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）13.45º 14. 15. 16. 2Rarcsin(cosa·sinb/2)14. 解 如圖，直角三角形ABC中，CD是AB上的中線，E、F分別在CD和CD的延長(zhǎng)線上，AE，則EF=1，AE=BF=。以CD為折痕折為直二面角后，AB距離=。三. 解答題（共計(jì)74分）17. 解：過(guò)D作DEAB于E，則BCDE為正方形，CE與BD交于O，則CEBD故COE為二面角C-BD

19、-A的平面角所以COE=60º，18. 解：由斜線相等，射影相等知，P在底面的射影為ABC的外心O，又ABC為Rt，外心在斜邊中點(diǎn)，故PO=19. 解法一：分別在棱AB、CC1上取它們的中點(diǎn)E、F，連接B1E、B1F=MB1 AEMAEB1是平行四邊形B1EMA同理 B1FNCEB1F是異面直線AM、CN所成的角連接EF，設(shè)AB=1，則EB=1/2BE=/2， 同理B1F=/2，EC=/2EF=/2COSEB1F=（5/4+5/4-6/4）/（2*/2*/2）=2/5EB1F=arccos(2/5)既直線AM和CN所成的角是arccos(2/5)解法二：取AB中點(diǎn)E連接B1E，取BE

20、中點(diǎn)F，連接NF、CFMB1 且= AEAEB1M是平行四邊形AMB1E取EB中點(diǎn)F，連接FN由于N是BB1中點(diǎn)EBB1中，NFEB1且FN=BE/2FNAM FNC是異面直線AM、CN所成的角設(shè)AB=1，則A1M=1/2AM=，F(xiàn)N=，NC=CF= COSFNC=AM與CN所成角是arccos20. 解：()因A1AB=A1AD，A1A=A1A，AB=AD，故A1ABA1AD于是，A1B=A1D故BDA1O，又AB=AD，故BDAC又A1OAC=O，故BD面A1C1CA于是，面B1D1DB面A1C1CA（6分）（）作A1FOO1于F，則A1F面B1D1DB故A1F=1.（8分）過(guò)F作MNBD，分別交BB1、DD1于M、N，顯然DD1面A1MN，故DD1A1N.設(shè)BAD=，則A1N=sin，F(xiàn)N=OD=sin.（10分）在RtA1FN中，由勾股定理得（sin）2-（sin）2=1，即2cos=cos.又cos0，故cos=，=60°.也就是BAD=60°（12分）21.解 （1）連結(jié)AB，由ABBA是菱形，且AAB=60°，知ABB是正三角形，故BMAB，即BMAB，又BMAC，得BM平面ABC。（2）由BM平面ABC，得平面AABB平面ABC。 （3）S=a2,S