定積分的概念和基本性質(zhì)

1、1 4.3.1 定積分的定義定積分的定義4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)2 例例: 求曲線求曲線 y= =x2、直線、直線 x= =1和和 x軸軸所圍成的曲邊三角形的面積所圍成的曲邊三角形的面積。x yOy= =x21S4.3.1 引出定積分定義的例題引出定積分定義的例題3Sx yOy= =x212n1n1nn.1inin21()in (4)(4)取極限取極限 取取Sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： S=nlimS nS n)211)(11 (31limnnn=13=(1)(1)分割分割(1,2,.,1)ixinnn=直線把曲邊三角形分成 個(gè)小曲邊梯形。0,1

2、n將區(qū)間分成 個(gè)相等的小區(qū)間。121.innSsssss= (2)(2)近似近似i第 個(gè)小曲邊梯形面積:211s()(1,2,., )iiinnn=22211112110( )( ).()nnSnnnnnnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：(3)(3)求和求和nSS4Sx yOy= =x212n1n1nn.1inin2( )in (4)(4)取極限取極限 取取Sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： S=nlimS nS n)211)(11 (31limnnn=13=(1,2,.,1)ixinnn=直線把曲邊三角形分成 個(gè)

3、小曲邊梯形。(1)(1)分割分割0,1n將區(qū)間分成 個(gè)相等的小區(qū)間。121.innSsssss= 21()ini第 個(gè)小曲邊梯形面積:(2)(2)近似近似211s()(1,2,., )iiinnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：22211112110( )( ).()nnSnnnnnnn=(3)(3)求和求和5Sx yOy= =x212n1n1nn.1inin ( (4)4)取極限取極限 取取Sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： S=nlimS nS n)211)(11 (31limnnn=13=(1,2,.,1)ix

4、innn=直線把曲邊三角形分成 個(gè)小曲邊梯形。(1)(1)分割分割0,1n將區(qū)間分成 個(gè)相等的小區(qū)間。121.innSsssss= i第 個(gè)小曲邊梯形面積:(2)(2)近似近似211s()(1,2,., )iiinnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：22211112110( )( ).()nnSnnnnnnn= (3)(3)求和求和6分分 割割求求 和和近近 似似取極限取極限把整體的問(wèn)題分成局部的問(wèn)題把整體的問(wèn)題分成局部的問(wèn)題在局部上在局部上“以直代曲以直代曲”, 求出求出局部的近似值；局部的近似值；得到整體的一個(gè)近似值；得到整體的一個(gè)近

5、似值；得到整體量的精確值；得到整體量的精確值； 例例: 求曲線求曲線 y= =x2、直線、直線 x= =1和和 x軸軸所圍成的曲邊三角形的面積所圍成的曲邊三角形的面積。7 一般地，求由連續(xù)曲線一般地，求由連續(xù)曲線y= =f(x)(f(x) 0)，直線，直線x= =a、x= =b及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的方法是：軸所圍成的曲邊梯形的面積的方法是： (1,2,.,1)(1)ixx inn=用直線把曲邊梯形分割為個(gè)小曲邊梯形。1(1,2,., )iiixxxin=每個(gè)小曲邊梯形的底的寬度記為 。1( ),2iiiixxi在第 個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),用第 個(gè)小矩形的面積近似替代()iiiiAfx第

6、 個(gè)小曲邊梯形的面積：S =ni 1f(i)xi。 (3) 將全部小矩形面積求和后作為S曲邊梯形面積的近似值。即有12,(4,)nmaxxxx記 =,為得到曲邊梯形面積可取極限：01lim( )niiiSfx=y=f(x)bx yOaxi-1xi1x2x.1nx=x0 xn=i( )if(1,2, )in=8例例2設(shè)物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，速度為設(shè)物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，速度為 v = =v (t), 假定假定v (t)是是 t 的連續(xù)的連續(xù)函數(shù)，求此物體在時(shí)間區(qū)間函數(shù)，求此物體在時(shí)間區(qū)間 a, b 內(nèi)運(yùn)動(dòng)所走距離內(nèi)運(yùn)動(dòng)所走距離 s 。tOtn=t0t1ti1 titn1 abti引出定義的實(shí)例二

7、引出定義的實(shí)例二：求物體作變速直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程：求物體作變速直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程 解：解：.01lim()niiiSvtt= (2) 在第在第 i ( i= =1, 2, , n) 個(gè)時(shí)間段個(gè)時(shí)間段 ti 1, ti上任取一時(shí)刻上任取一時(shí)刻 t ti，用，用v(t ti) ti近似替代物體在第近似替代物體在第i個(gè)個(gè)時(shí)間段所走距離時(shí)間段所走距離: si v(t ti) ti 。(1) 用分點(diǎn)用分點(diǎn) t= =ti (ti 10, f(x)0, 利用定積分幾何意義驗(yàn)證：21112=dxxbaabbfdxxfabaf)()()(20 性質(zhì)性質(zhì)1 1：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)有限

8、個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b內(nèi)可積，則有=bababanbandxxfdxxfdxxfdxxfxfxf)()()()()()(212121 性質(zhì)性質(zhì)2 2：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)一個(gè)可積函數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)之后，仍可為可積函數(shù)，且常數(shù)引資可以提到積分符號(hào)外面，即若 f(x)在a, b上可積，則 cf(x)在a, b上也可積（c為常數(shù)），且滿(mǎn)足=babadxxfdxxcf)()(22 性質(zhì)性質(zhì)3 3：積分的可加性定理：積分的可加性定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)設(shè)f(x)在a, b內(nèi)可積，

9、若acb, 則f(x)在a, c和c, b上可積；反之，若f(x)在a, c和c, b上可積，則f(x)在a, b內(nèi)可積，且有=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(23 性質(zhì)性質(zhì)4 4：積分的可加性定理：積分的可加性定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)交換積分上下限，積分值變號(hào)，即特別地，若a=b，則=abbadxxfdxxf)()(0)()()(=aaaaaadxxfdxxfdxxf24 性質(zhì)性質(zhì)5 5：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)設(shè)f(x)和g(x)在a, b上皆可積，且滿(mǎn)足條件f(x) g(x)，則有babadxxgdxxf)()(25 性質(zhì)性質(zhì)6 6：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)abdxdxbaba=126 性質(zhì)性質(zhì)7 7：4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)若函數(shù)f(x)在a, b上可積，且最大值與最小值分別為M和m，則推論：若函數(shù)f(x)在a, b上可積，則baabMdxxfabm)()()(bababadxxfdxxfdxxf)()()(27 性質(zhì)性質(zhì)8 8：定積分中值定理：定積分中值定理4.3.2 定積分的基本性質(zhì)定