數(shù)學歸納法知識總結

1、理科數(shù)學歸納法知識總結一 基本概念1. 運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步,第一步是歸納奠基( 或遞推基礎 ),第二步是歸納遞推( 或歸納假設 ),兩步缺一不可二 易錯點1.歸納起點易錯（1） n 未必是從n=1 開始例 用數(shù)學歸納法證明：凸n 邊形的對角線條數(shù)為n23n2點拔：本題的歸納起點n=3（2） n=1 時的表達式例 用數(shù)學歸納法證明1a a2an1an 2(a 1,nN) ，在驗證 n=1 時，左邊1a計算所得的式子是（）A. 1B.1 aC.1 a a2D.1 a a2a4點撥n=1 時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a ，左邊是 1a ，故選 B2. 沒有運用歸納假設的證明不是數(shù)

2、學歸納法例 1 用數(shù)學歸納法證明：111114424n33 42錯證：（1）當 n=1 時，左 =右 = 1 1，等式成立4（2）假設當 n=k 時等式成立，則當 n=k+1 時， 1 111 1( 1)k 1 11444 424k 113 34214綜合（ 1）（ 2），等式對所有正整數(shù)都成立點撥：錯誤原因在于只有數(shù)學歸納法的形式，沒有數(shù)學歸納法的“實質”即在歸納遞推中，沒有運用歸納假設3例從 n=k 到 n=k+1 增加項錯誤1 已知 n 是正偶數(shù)， 用數(shù)學歸納法證明時，若已假設n=k（ k2 且為偶數(shù)） 時命題為真， ，則還需證明（）A.n=k+1時命題成立B. n=k+2時命題成立C.

3、 n=2k+2時命題成立D. n=2（ k+2）時命題成立點撥：因 n 是正偶數(shù)，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立，因k 的下一個偶數(shù)是k+2，故選例 2 用數(shù)學歸納法證明不等式n11113 的過程中，由k 推導到 k+11n2nn 24時，不等式左邊增加的式子是點撥：求 f (k1) f (k ) 即可當 n=k 時，左邊111k1k2k，kn=k+1 時，左邊111,k2k3(k1) ( k1)故左邊增加的式子是111，即12k12k2k11)(2k 2)(2k三 知識應用用數(shù)學歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關的數(shù)學命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、整除性問題、幾何問題等1 用數(shù)學歸納

4、法證明等式例 1用數(shù)學歸納法證明等式：1111111113 42n 1 2n n 1 n 22n2例 2用數(shù)學歸納法證明：1111n1335572n 1 2n 1 2n 12 用數(shù)學歸納法證明不等式例 3 用數(shù)學歸納法證明不等式1 22 3n(n 1)1 (n 1) 22例 4證明不等式111n (nN )1322n3 用數(shù)學歸納法證明整除問題例 5求證： n35n(n N)能被 6 整除.例 6證明： 1( x 3) n , (nN ) 能被 x2 整除4 用“歸納猜想證明”解決數(shù)列問題例 7 在數(shù)列 an 中， a1tan x, an 11an ，1an（ 1）寫出 a1, a2 , a3

5、 ；（ 2）求數(shù)列 an 的通項公式例 8在數(shù)列an 中， a12, an 1ann 1(2) 2n (nN ) ，其中0 ，求數(shù)列 an 的通項公式5 用“歸納猜想證明”解決幾何問題例 9 n 個半圓的圓心在同一條直線l 上，這 n 個半圓每兩個都相交，且都在直線l 的同側，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓??？四 練習鞏固1. 用數(shù)學歸納法證明： 1(n -1)+2(n-22(n N*).2)+ +n(n -n )= n (n-1)(n+1)222242. 用數(shù)學歸納法證明：1·2·3+2·3·4+n(n+1)(n+2)=n(n+1)·

6、( n+2) ·(n+3)(n N*).43.當 n>1，n N*時，求證：11191n 23n10n4.用數(shù)學歸納法證明：1+ n1+ 1+ 1+ 1n1 +n (n N*)223225.用數(shù)學歸納法證明49 n+16n-1能被 64 整除 (n N*)6.用數(shù)學歸納法證明n+22n+12m +(m+1)能被 m+m+1整除 (n N*)7. 在數(shù)列 a中， an>0, 且 Sn=1/2(a n+1 )nan(1) 求 a1、 a2、 a3；(2) 猜測出 an 的關系式并用數(shù)學歸納法證明。8. 設數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且方程 x2 anx an 0 有一根為 Sn 1，n 1,2,3