常微分方程—可降階、解的結(jié)構(gòu)

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A8.3 8.3 幾種高階微分方程的解法幾種高階微分方程的解法8.3.1 8.3.1 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程8.3.2 8.3.2 二階線性微分方程二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu) 8.3 8.3 幾種高階微分方程的解法幾種高階微分方程的解法8.3.1 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程()( )nyf x 模型模型1習(xí)例習(xí)例1-2模型模型2( ,)yf x y 習(xí)例習(xí)例3-4( ,)yf y y 習(xí)例習(xí)例5-68.3.2 二階線性微分方程二階線性微分方程模型模型3二階線

2、性方程的定義二階線性方程的定義 函數(shù)組的線性相關(guān)和線性無關(guān)函數(shù)組的線性相關(guān)和線性無關(guān)二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)習(xí)例習(xí)例8-10可降階微分方程與二階線性方程可降階微分方程與二階線性方程tFO,00tx模型模型1 1 質(zhì)量為質(zhì)量為m m的質(zhì)點受力的質(zhì)點受力F F的作用沿的作用沿OxOx軸作直線運動軸作直線運動, ,設(shè)力設(shè)力F F,)0(0FF隨著時間的增大隨著時間的增大, ,此力此力F F 均勻地減均勻地減小小,直到直到 t =T 時時 F(T) = 0.如果開始時質(zhì)點在原點如果開始時質(zhì)點在原點, ,且且初速

3、度為初速度為0,求質(zhì)點的運動規(guī)律求質(zhì)點的運動規(guī)律. 解解: : 據(jù)題意有據(jù)題意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtF僅是時間僅是時間t t的函數(shù)的函數(shù): :F F = = F F ( (t t).).在開始時刻在開始時刻t = 0時時對方程兩邊積分對方程兩邊積分, , 得得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT一、可降階的高階微分方程一、可降階的高階微分方程 120)2(ddCTttmFtx利用初始條件利用初始條件, 01C得于是于是)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用再利用00tx, 02C得故所求質(zhì)點運動規(guī)律為故所求質(zhì)

4、點運動規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx)()(xfyn令令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此因此1d)(Cxxfz即即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過依次通過 n 次積分次積分, 可得含可得含 n 個任意常數(shù)的通解個任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC1、 型的微分方程型的微分方程 01 xyxexyyy 求求方方程程滿滿足足時時，的的特特解解。.cose2xyx 求解求解例例1.例例2.例例1. .cose2xyx 求解求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy

5、2e81 1121CC 此處此處xsin21xC32CxCxcos21CxC例例 2130，所以，所以得得再由再由Cyx, 01 xyxexyyy 求求方方程程滿滿足足時時，的的特特解解。解解()dxyxex 21 2xxeC ，011,2 xyC 由由得得，所所以以22 2xxye ，2(2)d2xxyex 322.6xxexC 021,0 xyC 由由得得，所所以以32 ,6xxyex 3(2 )6xxyex dx 423.24xxexC 031,2xyC 再再由由得得，所所以以422.24xxyex 為為所所求求的的特特解解模型模型2. 作用而下垂，問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線作用而下

6、垂，問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 解解: 取坐標系如圖取坐標系如圖.考察最低點考察最低點 A 到任意到任意點點M ( x, y ) 弧段的受力情況弧段的受力情況: sg( : 密度密度, s :弧長弧長)弧段重力大小弧段重力大小按靜力平衡條件按靜力平衡條件, 有有,cosHTMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 設(shè)有一均勻柔軟的繩索，兩端固定設(shè)有一均勻柔軟的繩索，兩端固定,繩索僅受重力繩索僅受重力T A 點受水平張力點受水平張力 HM 點受切向張力點受切向張力T兩式相除得兩式相除得HAyxO1tansa )1(lnshAr2ppp211yya , aO

7、A 設(shè)則得定解問題則得定解問題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為原方程化為pdxad1兩端積分得兩端積分得,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有則有axysh兩端積分得兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為故所求繩索的形狀為axaych)ee(2axaxa懸懸 鏈鏈 線線a21pMsgTHAyxO),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè)設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cxp則得則得),(1Cxy再一次積分再一次積分, 得原方程的通解得原方

8、程的通解21d),(CxCxy2、例例3. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy例例4. 設(shè)有一均勻設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索柔軟的繩索, 兩端固定兩端固定,繩索僅受繩索僅受 重力作用而下垂重力作用而下垂, 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 例例. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得代入方程得pxpx2)1(2分離變量分離變量)1(d2d2xxxpp積分得積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31C得于是有于是有)1(32xy兩端再積分得兩端再積

9、分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為因此所求特解為例例4. 繩索僅受繩索僅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解: 取坐標系如圖取坐標系如圖. 考察最低點考察最低點 A 到到sg( : 密度密度, s :弧長弧長)弧段重力大小弧段重力大小按靜力平衡條件按靜力平衡條件, 有有,cosHTMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 設(shè)有一均勻設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索柔軟的繩索, 兩端固定兩端固定, 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 任意點任意點M ( x, y ) 弧段的受力情況弧段的受力情況: T

10、 A 點受水平張力點受水平張力 HM 點受切向張力點受切向張力T兩式相除得兩式相除得HAyxO1tansa 211yya , aOA 設(shè)則得定解問題則得定解問題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為原方程化為pdxad1兩端積分得兩端積分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有則有axysh兩端積分得兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為故所求繩索的形狀為axaych)ee(2axaxa懸懸 鏈鏈 線線a21pMsgTHAyxO3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令令),(ypy xp

11、ydd 則xyypddddyppdd故方程化為故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cyp即得即得),(1Cyy分離變量后積分分離變量后積分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy.02 yyy例例. 求解求解例例. 解初值問題解初值問題0e2 yy,00 xy10 xy例例. 求解求解.02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程一階線性齊次方程)故所求通解為故所求通解為xCCy1e2解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd例例.

12、 解初值問題解初值問題解解: 令令0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得代入方程得yppyded2積分得積分得1221221eCpy利用初始條件利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)根據(jù)ypxyedd積分得積分得,e2Cxy, 00 xy再由12C得故所求特解為故所求特解為xye1得得當重力與彈性力抵消時當重力與彈性力抵消時, 物體處于物體處于 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài), 模型模型3. 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運動力作用下作往復(fù)運動,xxO解解:阻力的大小與運動速度阻力的大小與運動速

13、度下拉物體使它離開平衡位置后放開下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向若用手向物體在彈性力與阻物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖建立坐標系如圖. 設(shè)時刻設(shè)時刻 t 物體位移為物體位移為 x(t).(1) 自由振動情況自由振動情況.彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力物體所受的力有物體所受的力有:(胡克定律胡克定律)xcf成正比成正比, 方向相反方向相反.建立位移滿足的微分方程建立位移滿足的微分方程.二、二階線性微分方程二、二階線性微分方程據(jù)牛頓第二定律得據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令則得有阻尼則得有阻尼自由振動方程自由振動

14、方程:0dd2dd222xktxntx阻力阻力txRdd(2) 強迫振動情況強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力若物體在運動過程中還受鉛直外力作用，t pHFsin，令mHh 則得則得強迫振動方程強迫振動方程:t phxktxntxsindd2dd222n 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為模型模型3的兩個方程的的兩個方程的共性共性 (二階線性微分方程二階線性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x 可歸結(jié)為可歸結(jié)為同一形式同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時時, 稱為非齊次方程稱為非齊次方程 ; 0)(xf時時, 稱為齊次

15、方程稱為齊次方程.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程一階線性方程)()(xQyxPy通解通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解Yy0)(xf定義定義8.3.1)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 I 上的上的 n 個函數(shù)個函數(shù),21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這則稱這 n個函數(shù)在個函數(shù)在 I 上線性相關(guān)上線性相關(guān), 否則稱為否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如，例如， ,sin,cos,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間故

16、它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān)上都線性相關(guān);又如，又如，,12xx若在某區(qū)間若在某區(qū)間 I 上上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,321,kkk必需全為必需全為 0 ,可見可見2,1xx故在任何區(qū)間在任何區(qū)間 I 上都上都 線性無關(guān)線性無關(guān).若存在若存在不全為不全為 0 的常數(shù)的常數(shù)1. 函數(shù)組的線性相關(guān)和線性無關(guān)函數(shù)組的線性相關(guān)和線性無關(guān) 1sin cos 22關(guān)關(guān)的的。線線性性相相在在任任何何區(qū)區(qū)間間上上均均為為與與證證明明： xx ) ,( 1 21時，有時，有，則當，則當取取 xcc 01sincos)1(sincos22222

17、1， xxxcxc 1sin cos 22線線性性相相關(guān)關(guān)的的。在在任任何何區(qū)區(qū)間間上上均均為為與與故故 xx結(jié)論結(jié)論 )()( 21上有定義。上有定義。在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Ixyxy )()(11是是上上線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件在在區(qū)區(qū)間間與與則則Ixyxy )(/ )( 21常數(shù)。常數(shù)。上上在區(qū)間在區(qū)間 xyxyI例例.證證朗斯基朗斯基 ( Wronsky ) 行列式行列式 )()( 21上有定義，且有一階上有定義，且有一階在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Ixyxy )()()()( )(),(212121xyxyxyxyxyxyW )()( 21上的朗斯基行列式。上的朗斯基行

18、列式。在區(qū)間在區(qū)間、稱為函數(shù)稱為函數(shù)Ixyxy 導(dǎo)數(shù)，則行列式導(dǎo)數(shù)，則行列式朗斯基行列式可以推廣到朗斯基行列式可以推廣到 n 個函數(shù)的情形。個函數(shù)的情形。 0)(),( 21，若若IxxyxyW )()(21上上線線性性無無關(guān)關(guān)。在在，則則函函數(shù)數(shù)Ixyxy 例例 )2 , 0( 1 cossinsincos sin,cos。 xxxxxxxW )2 , 0( sin cos 上線性無關(guān)。上線性無關(guān)。在區(qū)間在區(qū)間與與故故 xx 2. 二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)定理定理8.3.1 疊加原理疊加原理是是二二階階齊齊線線性性微微分分方方程程和和若若 )(

19、 )( 21xyxy 0)()( yxqyxpy的解，則它們的線性組合的解，則它們的線性組合)()(2211xycxyc 也是方程也是方程 (2) 的解，的解，)2( ) ( 21。不一定相互獨立不一定相互獨立為任意常數(shù)為任意常數(shù)、其中其中cc )2( )()()( 2211中，得中，得，代入方程，代入方程令令xycxycxy ) )()()() )()(22112211 xycxycxpxycxyc)()()(2211xycxycxq )()()()()(22112211xycxycxpxycxyc )()()(2211xycxycxq )()()()()(1111xyxqxyxpxyc )

20、()()()()(2222xyxqxyxpxyc 000， )2( )()()( 2211的解。的解。為方程為方程即即xycxycxy 證證0)()()(1)1(1)( yxpyxpyxpynnnn ) ., 2 , 1 ( )( 階齊線性微分方程階齊線性微分方程是是若若nnixyi 的解，則它們的線性組合的解，則它們的線性組合 niiixycxy1)()(也是方程也是方程 (2) 的解。的解。 ) ( ) , 2 , 1 ( 。不不一一定定相相互互獨獨立立為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中nici )2(在什么情況下，疊加所得可以成為方程在什么情況下，疊加所得可以成為方程 (2) 的通解？的通解？

21、定理定理 8.3.2)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解性無關(guān)特解, )()(2211xyCxyCy數(shù)數(shù)) 是該方程的通解是該方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且常數(shù)常數(shù),故方程的通解為故方程的通解為xCxCysincos21(自證自證) 推論推論. nyyy,21若是是 n 階齊次方程階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 個線性無關(guān)解個線性無關(guān)解, 則方程的通解為則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC則

22、則3. 線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程是二階非齊次方程的一個特解的一個特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 8.3.3)()()(xfyxQyxPy 則則是非齊次方程的通解是非齊次方程的通解 .證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程左端代入方程左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解是非齊次方程的解, 又又Y 中含有中含有兩個獨立任意常數(shù)兩個獨立任意常數(shù),例

23、如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsincos21對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程0 yy有通解有通解因此該方程的通解為因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢證畢因而因而 也是通解也是通解 .定理定理8.3. 4( ) (1,2)kyxk 設(shè)設(shè)分別是方程分別是方程的特解的特解,是方程是方程( )( )( )(1, 2)kyP x yQ x yfxk12yyy則則12( )( )( )( )yP x yQ x yfxfx的特解的特解. (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方程之解的疊加原理) 定理定理8.3.3和和 定理定理8.3.4 均可推廣到均可推廣到 n 階線性非齊次

24、方程階線性非齊次方程. 定理定理 8.3.5)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對應(yīng)齊次方程的是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性個線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解無關(guān)特解, 給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解是非齊次方程的特解,則非齊次方程則非齊次方程的通解為的通解為齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解是方程是方程若若 )(i)(* 21xyxyy )(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一個特解。

25、的一個特解。 )( 1是方程是方程的一個特解，則的一個特解，則xy )( 2是方程是方程的一個特解；的一個特解；xy)()()(2xfyxqyxpy 定理定理8.3.6常數(shù)常數(shù), 則該方程的通解是則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線都是二階非齊次線性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意例例;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCD例例. 已知微分方程已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x個解個解,e,e,2321xxyyxy求此方程滿足初始條件求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .有三有三 例例10 設(shè)設(shè)是某二階線性非齊次微分方程的三個解，求這個是某二階線性非齊次微分方程的三個解，求這個微分方程微分方程.常數(shù)常數(shù), 則該方