數(shù)學(xué)建模實例-雙層玻璃的功效教學(xué)提綱

1、數(shù)學(xué)建模實例- 雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為 d 的玻璃夾著一層厚度為 l 的空氣，如下左圖所示，據(jù)說這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的熱傳導(dǎo)（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如下右圖，玻璃厚度為 2d ）的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果。一、模型假設(shè)1、 熱量的傳播過程只有傳導(dǎo)，沒有對流。即假定窗戶的密封性能很好，兩層玻璃之間的空氣是不流動的；2、 室內(nèi)溫度 T1 和室外溫度 T2 保持不變，熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿?zé)?/p>

2、傳導(dǎo)方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)；3、 玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。二、符號說明T1 室內(nèi)溫度T2 室外溫度d 單層玻璃厚度l 兩層玻璃之間的空氣厚度Ta 內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb 外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k 熱傳導(dǎo)系數(shù)Q 熱量損失三、模型建立與求解由物理學(xué)知道，在上述假設(shè)下，熱傳導(dǎo)過程遵從下面的物理規(guī)律：厚度為 d 的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為T ，則單位時間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量Q ，與 T 成正比，與 d 成反比，即T（1）Q kd其中 k 為熱傳導(dǎo)系數(shù)。1、雙層玻璃的熱量流失記雙層窗內(nèi)窗玻璃的外側(cè)溫度為Ta ，外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度為Tb ，玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k1

3、 ，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k2 ，由（ 1）式單位時間單位面積的熱量傳導(dǎo)（熱量流失）為：T1 TaTaTbk1TbT2（2）Q k1k2ddd由 Q k1 T1Ta 及 Qk1 Tb T2 可得 Ta Tb(T1 T2 ) 2 Qdddk1再代入 Qk2 TaTb 就將（ 2）中 Ta 、 Tb 消去，變形可得：dQk1 (T1T2 ), s h k1 , hl（3）d s2k2d2、單層玻璃的熱量流失對于厚度為 2d 的單層玻璃窗戶，容易寫出熱量流失為：Q k1T1 T2（4）2d3、單層玻璃窗和雙層玻璃窗熱量流失比較比較（ 3）（ 4）有：Q2（5）Qs2顯然，Q Q。為了獲得更具體的結(jié)果，我

4、們需要k1 , k2 的數(shù)據(jù)，從有關(guān)資料可知，不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k22.510 4 （焦耳 /厘米 .秒.度），常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) k14103810 3 （焦耳 /厘米 .秒.度），于是k11632k2在分析雙層玻璃窗比單層玻璃窗可減少多少熱量損失時，我們作最保守的估計，即取 k116，由（ 3）（ 5）可得：k2Q1hl（6）Q8h 1d4、模型討論比值 Q Q 反映了雙層玻璃窗在減少熱量損失上的功效，它只與h l d 有關(guān)，下圖給出了 Q Q h 的曲線，當(dāng) h 由 0 增加時， Q Q 迅速下降，而當(dāng) h 超過一定值（比如 h 4 ）后 Q Q 下降緩慢，可見 h不宜選得過大。四、模型的應(yīng)用這個模型具有一定的應(yīng)用價值。制作雙層玻璃窗雖然工藝復(fù)雜會增加一些費用，但它減少的熱量損失卻是相當(dāng)可觀的。通常，建筑規(guī)范要求 h l d 4 。按照這個模型， Q Q 3% ，即雙層玻璃窗比用同樣多的玻璃材料制成的單層窗節(jié)約熱量 97% 左右。不難發(fā)現(xiàn)，之所以有如此高的功效主要是由于層間空氣的極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)