《型曲面積分》ppt課件

1、此此時時，全全微微分分方方程程的的通通解解為為 Cyxu ),(或或CdyyxQdxyxPyyxx ),(),(。 若若),(),(yxQyxP在在單單連連通通域域 D 內內具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)， 則則方方程程0),(),( dyyxQdxyxP為為全全微微分分方方程程的的充充要要條條件件是是 在在 D 內內恒恒有有 xQyP 。 六、六、 全微分方程全微分方程定定義義 2 2若若存存在在函函數(shù)數(shù)),(yxu，使使dyyxQdxyxPdu),(),( ， 則則稱稱0),(),( dyyxQdxyxP為為全全微微分分方方程程或或恰恰當當方方程程。 例例 10求求解解方方程程0)2

2、()2(2222 dyyxyxdxyxyx。 令令222),(yxyxyxP ，222),(yxyxyxQ ， xQyxyP 22，此此方方程程為為全全微微分分方方程程。 ),()0 , 0(2222)2()2(),(yxdyyxyxdxyxyxyxu解解法法 1： （曲曲線線積積分分法法） 33)2(3223 0 22 0 2yxyyxxdyyxyxdxxyx 方方程程的的通通解解為為Cxyyxyx 22333131（C 為為任任意意常常數(shù)數(shù)） 。 xQyxyP 22，此此方方程程為為全全微微分分方方程程。 使使 ), ,( yxu dyyxyxdxyxyxdu)2()2(2222 ， Py

3、xyxxu 222，Qyxyxyu 222。 對對 x 偏偏積積分分得得：)(31),(223yxyyxxyxu ， 2222)(2yxyxyxyxyu ， 解法解法2 2偏積分法偏積分法 令令222),(yxyxyxP ，222),(yxyxyxQ ， 2)(yy ，1331)(Cyy ， 132233131),(Cyxyyxxyxu ， 故故方方程程的的通通解解為為Cxyyxyx 22333131。 dyyxyxdxyxyx)2()2(2222 )2()2()3131(2233xydydxydyxxydxyxd )()()3131(2233xydyxdyxd )3131(2233xyyxy

4、xd 通通解解為為Cxyyxyx 22333131（C 為為任任意意常常數(shù)數(shù)） 。 解法解法3 3湊微分法湊微分法 v積分因子 例例2 求方程求方程ydx-xdy=0的的積分因子并求其通解積分因子并求其通解由于 解解 2)(yxdyydxyxd 假設存在一函數(shù)(x y) (x y)0) 使方程(x y)P(x y)dx(x y)Q(x y)dy0是全微分方程 那么函數(shù)(x y)叫做方程P(x y)dxQ(x y)dy0的積分因子 所以21y是所給方程的積分因子 由于 2)(yxdyydxyxd 故所給方程的通解為 Cyx 例例3 求方程求方程 (1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0的積分因

5、子并求其通解的積分因子并求其通解 解解 0)()(22ydyxdxyxxyd 積分得通解 將方程的各項重新合并 得 (ydxxdy)xy(ydxxdy)0, 再把它改寫成 用積分因子乘以方程 方變?yōu)?可見2)(1xy為方程的積分因子 0)()(2ydyxdxxyxyd Cyxxyln|ln1 即 xyCeyx1 v一階線性方程的積分因子 可以驗證 dxxPex)()(是一階線性方程yP(x)yQ(x)的一個積分因子 在一階線性方程的兩邊乘以(x)得兩邊積分 便得通解 dxxPdxxPdxxPexQexyPey)()()()()(即 dxxPdxxPexQye)()()( CdxexQyedxx

6、PdxxP)()()( 或 )()()(CdxexQeydxxPdxxP 例 4 用積分因子求xxydxdy42的通解 解 方程的積分因子為 22)(xxdxeex 方程兩邊乘以2xe得 22242xxxxeyxeey 即22242xxxxeyxeey 即224)(xxxeye 于是 Cedxxeyexxx22224因此方程的通解為 2224xxCedxxey Cedxxeyexxx22224 第三節(jié)第三節(jié) 第二類曲面積分第二類曲面積分-向量值函數(shù)在定向曲面上的積分向量值函數(shù)在定向曲面上的積分一、根本概念一、根本概念二、概念的引入二、概念的引入三、定義及性質三、定義及性質四、兩類曲面積分之間的

7、聯(lián)絡四、兩類曲面積分之間的聯(lián)絡五、計算法五、計算法一、根本概念察看以下曲面的側察看以下曲面的側 ( (假設曲面是光滑的假設曲面是光滑的) )曲面分上側和下側曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分內側和外側曲面分左側和右側曲面分左側和右側n1. 1.曲面的分類曲面的分類: :(1)(1)雙側曲面雙側曲面; ;(2)(2)單側曲面單側曲面. .典典型型雙雙側側曲曲面面動點在雙側曲面上延續(xù)挪動動點在雙側曲面上延續(xù)挪動(不跨越曲面的邊不跨越曲面的邊境境)并前往到起始點時并前往到起始點時,其法向量的指向不變其法向量的指向不變.莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶 對對于于雙

8、雙側側曲曲面面，可可通通過過曲曲面面上上法法向向量量的的指指向向來來 確確定定曲曲面面的的側側。取取定定了了法法向向量量指指向向的的曲曲面面，稱稱為為 有有向向曲曲面面。 n 上側上側xyzon 下側下側xyzo 曲曲面面 ：),(yxzz 有有上上側側與與下下側側之之分分； 曲曲面面 ：),(zyxx 有有前前側側與與后后側側之之分分； 曲曲面面 ：),(zxyy 有有左左側側與與右右側側之之分分。 一一般般封封閉閉曲曲面面有有內內側側與與外外側側之之分分。 規(guī)定：定向曲面上任一點處的法向量規(guī)定：定向曲面上任一點處的法向量 總是指向曲面取定的一側總是指向曲面取定的一側. .注：在定向曲面的范

9、圍里，注：在定向曲面的范圍里，是是不不同同的的曲曲面面與與 為為則則其其相相反反側側的的曲曲面面就就記記向向曲曲面面，表表示示選選定定了了側側的的一一個個定定朝朝下下取取下下側側，則則法法向向量量若若n )2( ),(yxzz ：若若)1 ,(yxzzn 朝朝上上取取上上側側，則則法法向向量量若若n )1( )1,( yxzzn),(zyxx ：若若), 1(zyxxn 朝前朝前取前側，則法向量取前側，則法向量若若n )1( 朝朝后后取取后后側側，則則法法向向量量若若n )2( ), 1(zyxxn ),(xzyy ：若若), 1,(zxyyn 朝左朝左取左側，則法向量取左側，則法向量若若n

10、)1( 朝朝右右取取右右側側，則則法法向向量量若若n )2( ), 1 ,(zxyyn 其方向用法向量指向表示其方向用法向量指向表示 :方向余弦方向余弦coscoscos 0 為前側為前側 0 為右側為右側 0 為上側為上側 0 為下側為下側外側外側內側內側 設設 為有向曲面為有向曲面,)(yxSSyxS)(側的規(guī)定側的規(guī)定 指定了側的曲面叫有向曲面指定了側的曲面叫有向曲面, , 其面元其面元在在 xOy 面上的投影記為面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為的面積為那么規(guī)那么規(guī)定定,)(yx,)(yx,0時當0cos時當0cos時當0cos類似可規(guī)定類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(流向

11、曲面一側的流量流向曲面一側的流量.流量流量實例實例(斜柱體體積斜柱體體積)(1)流速場為常向量流速場為常向量,v有向平面區(qū)域有向平面區(qū)域 ,求單位時間流過求單位時間流過 的流體的質的流體的質量量 (假定密度為假定密度為1).二、 概念引入 nvSS分析分析: 假設假設 是面積為是面積為S 的平的平面面, 那么流量那么流量 單位法向量單位法向量: 流速為常向量流速為常向量: )cos,cos,(cos nvcosvS nvSnv(2) 設穩(wěn)定流動的不可緊縮流體設穩(wěn)定流動的不可緊縮流體kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 給出給出,函數(shù)函數(shù)),(),(),(zyxRzyx

12、QzyxP上連續(xù)，上連續(xù)，都在都在 流體的密度與速度流體的密度與速度均不隨時間而變化均不隨時間而變化(假定密度為假定密度為1)的速度場由的速度場由v當當 不是常量不是常量,有有向向 曲面曲面求在單位求在單位時間內流向時間內流向 指定側的指定側的流體的質量流體的質量. 是速度場中的一片有向曲面是速度場中的一片有向曲面, xyzoiS ivin 分割分割那么該點流速為那么該點流速為 ，iv法向量為法向量為 .in),(iii iSn 小小塊塊分分成成把把曲曲面面同時也代表同時也代表iS (),小小塊塊曲曲面面的的面面積積第第i上任取一點上任取一點在在iS ),(iii ),(iiiivv kRjQ

13、iPiiiiiiiii),(),(),( i求和求和 niiiiSnv1取近似取近似該點處曲面該點處曲面的單位法向量的單位法向量似值為似值為流向指定側的流量的近流向指定側的流量的近通過通過iS iiiv nS)., 2 , 1(ni 經(jīng)過經(jīng)過流向指定側的流量流向指定側的流量coscoscosiiiinijk對普通的有向曲面 ,用用“分割、求和、取極限分割、求和、取極限 ni 10lim 0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1 zyiiiiSP)(,( xziiiiSQ)(,( yxiiiiSR)(,( iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可緊縮流體的對

14、穩(wěn)定流動的不可緊縮流體的速度場速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進展分析可得進展分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設, 那么那么 三、第二類曲面積分的定義及性質三、第二類曲面積分的定義及性質 存存在在 nixyiiiiSR10)(,(lim 那么稱此極限為那么稱此極限為 函數(shù)函數(shù)在有向曲面在有向曲面 上上對坐標對坐標的曲面積分的曲面積分 也稱第二類曲面積分也稱第二類曲面積分),(zyxRyx, nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP1

15、0)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( ds cos即即是是可可正正可可負負的的注注意意定定向向投投影影面面上上的的投投影影，在在定定向向曲曲面面微微元元xoyds存在條件存在條件: :當當),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時時, ,對對坐坐標標的的曲曲面面積積分分存存在在. .組合方式組合方式: :dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義: :表示流向表示流向 指定的流量指定的流量dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 假設記假

16、設記 正側的單位法向量為正側的單位法向量為令令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 那么對坐標的曲面積分也常寫成如下向量方那么對坐標的曲面積分也常寫成如下向量方式式y(tǒng)xRxzQzyPddddddSnAdSA d三、第二型曲面積分的性質三、第二型曲面積分的性質設設),(zyxAA，),(zyxBB， （3）dSnAdSnA ( 與與 是是同同一一曲曲面面的的兩兩側側)。 （1）dSnBbdSnAadSnBbAa )( ),(為為常常數(shù)數(shù)ba； （2）dSnAdSnAdSnA21 (21 與與可可分分為為)；

17、 四、計算法第二類曲面積分-化為二重積分 ),(yxfz xyDxyzoxyS)( 定理定理: 設光滑曲面設光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側取上側,),(zyxR是是 上的延續(xù)函數(shù)上的延續(xù)函數(shù), 那那么么 yxzyxRdd),() ,( yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側取上側,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),( 假設假設,),( , ),(:zyDzyzyxx那么有那么有zyzyxPdd),(), (zy,P

18、zyD),(zyxzydd 假假設設,),( , ),(:xzDxzxzyy那么那么有有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負前正后負)(右正左負右正左負)闡明闡明: 假設積分曲面假設積分曲面 取下側取下側, 那那么么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd留意留意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必需留意曲面所取的側必需留意曲面所取的側. .解：解：兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 一投一投, ,二代二代, ,三定號三定號 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdx

19、dy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 一投一投, ,二代二代, ,三定號三定號xyz2 1 四、兩類曲面積分的聯(lián)絡ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦描寫曲面的方向用法向量的方向余弦描寫令令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量方式向

20、量方式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在在 n 上的投影上的投影)稱為有向曲面元稱為有向曲面元, , 有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 給給出出，則則由由方方程程若若),(yxzz 221cosyxx例1. 計算曲面積分其中其中 解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)絡利用兩類曲面積分的聯(lián)絡, 有有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式原式 =)( x )(2xzyxzdd,ddd

21、d)(2yxzzyxz旋轉拋物面旋轉拋物面)(2221yxz介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2 之間部分的下側之間部分的下側. )(2xz2211cosyx yxzzyxzdddd)(2 xyDyxyxxdd)(2122222222001d(cos) dr2rrr xyDyxyxxxyxdd)(21)()(4122222 yxzxxzdd)(2 8 )(2122yxz zyxzdd)(2 yxxxzdd)(2yxyxxxyDdd)(41222 由對稱性由對稱性0 nxyzO 2 例例,dd)(ddddyxzxxzyzyx 計計算算其中其中解解 法一法一 直接用對坐標的曲面積分計算法直

22、接用對坐標的曲面積分計算法.且其投影區(qū)域分別為且其投影區(qū)域分別為由于由于取上側取上側,yzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: xyxDxy 10, 10:222 zyx是是平平面面在第一卦限部分的在第一卦限部分的上側上側. .面的投影面的投影xOyzOxyOz,在在所所以以 都是都是正的正的, ,xyzOyzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: xyxDxy 10, 10:zzyyyd)21(d10220 zzxxxd)21(d10220 .67 0222: zyx 取上側取上側yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO1100d(222)dxxxyx

23、y)cos,cos,(cos0 nSzxyxdcos)(coscos 法二法二 利用兩類曲面積分的聯(lián)絡計算利用兩類曲面積分的聯(lián)絡計算.取上側取上側,yxz222 31,32,32)1 ,(yxzzn )1 , 2 , 2( Szxyxd31)(3232 銳角銳角. .那么法向量那么法向量n與與z軸正向的夾角軸正向的夾角為為yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO)23(31 xyDyx xyxx1010d)2(dyxz222 .67 yx222 yxdd3Szxyxd31)(3232 定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiin

24、iSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)絡兩類曲面積分及其聯(lián)絡xziiiiSQ),( 小結小結性質:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)絡聯(lián)絡:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos2. 常用計算公式及方法面積分面積分第一類第一類 (對面積對面積)第二類第二類 (對坐標對坐標)二重積分二重積分(1) 一致積分變量一致積分變量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同時分片積分方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影積分元素投影第一類：第一類： 面積投影面積投影第二類：第二類： 有向投影有向投影(3) 確定積分域確定積分域把曲面

25、積分域投影到相關坐標面把曲面積分域投影到相關坐標面 注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉化轉化當yxDyxyxzz),( , ),(:時，時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(上側取上側取“+, 下側取下側取“)類似可思索在類似可思索在 yoz 面及面及 zox 面上的二重積分轉化公面上的二重積分轉化公式式 .思索題思索題此時此時 的左側為負側，的左側為負側，221zxy 而而 的左側為正側的左側為正側. .221zxy 答：答：xyzO)0 , 0 ,(a)

26、0 , 0(a), 0 , 0(aO,dddddd222yxzxzyzyx 計算計算其中其中是是所圍成的正方體的外表的所圍成的正方體的外表的24563 先計算先計算zyxdd2 由于平面由于平面都是母線平行于都是母線平行于x軸的柱面軸的柱面,那么在其上對坐標那么在其上對坐標y,z的積分為的積分為0.解解ayyazz , 0, 0)0(, aazayax三個坐標面與平面三個坐標面與平面外側外側. .1練習1：x=a面在面在yOz面上的投影為正面上的投影為正,而而x=0面在面在yOz面上的投影為負面上的投影為負.投影域均為投影域均為:0ya, 0za, 故故zyxdd2 zyyzDdd02 4a

27、yzDzyadd2由由 x,y,z 的對等性知的對等性知,所求曲面積分為所求曲面積分為 3a4. yzDzyadd2 后兩個積分值也等于后兩個積分值也等于a4.xyzO)0 , 0 ,(a)0 , 0(a), 0 , 0(aO245631假設分片光滑的閉曲面假設分片光滑的閉曲面 zyzyxPdd),(0 1dd),(2 zyzyxP其中其中注注補充補充x的偶函數(shù)的偶函數(shù)x的奇函數(shù)的奇函數(shù)曲面曲面不封鎖也可以不封鎖也可以. 0),(:1 zyxx 取外側取外側(內側仍成立內側仍成立), 那末那末關于關于yOzyOz平面對稱平面對稱, ,是是若若),(zyxP是是若若),(zyxP練習3：,dddddd22yxyxexzzzyz 計算計算其中其中:的的)21(22 zyxz解解關于關于yOz面對稱面對稱,被積函數(shù)被積函數(shù) zydd關于關于x為偶函數(shù)為偶函數(shù).下側下側. . 又又1),( zyxP0關于關于zOx面對稱面對稱, 被積函數(shù)被積函數(shù) xzzdd 0關于關于y為偶函數(shù)為偶函數(shù).zzyxQ