培優(yōu)提升立體幾何3

1、第五講 立體幾何【例 1】 (05年武漢明心杯數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)賽)如圖所示，一個(gè)的立方體，在一個(gè)方向上開(kāi)有的孔，在另一個(gè)方向上開(kāi)有的孔，在第三個(gè)方向上開(kāi)有的孔，剩余部分的體積是多少？表面積為多少？【解析】 求體積：開(kāi)了的孔，挖去，開(kāi)了的孔，挖去；開(kāi)了的孔，挖去，剩余部分的體積是：(另解)將整個(gè)圖形切片，如果切面平行于紙面，那么五個(gè)切片分別如圖：得到總體積為：求表面積：表面積可以看成外部和內(nèi)部?jī)刹糠滞獠康谋砻娣e為，內(nèi)部的面積可以分為前后、左右、上下三個(gè)方向，面積分別為、，所以總的表面積為(另解)運(yùn)用類(lèi)似于三視圖的方法，記錄每一方向上的不同位置上的裸露正方形個(gè)數(shù)：前后方向：上下方向：左右方向：總表面積為【

2、總結(jié)】“切片法”：全面打洞(例如本題，五層一樣)，挖塊成線(xiàn)(例如本題，在前一層的基礎(chǔ)上，一條線(xiàn)一條線(xiàn)地挖)，這里體現(xiàn)的思想方法是：化整為零，有序思考！【鞏固】（2008年香港保良局第12屆小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請(qǐng)賽）如圖，原來(lái)的大正方體是由個(gè)小正方體所構(gòu)成的其中有些小正方體已經(jīng)被挖除，圖中涂黑色的部分就是貫穿整個(gè)大正方體的挖除部分請(qǐng)問(wèn)剩下的部分共有多少個(gè)小正方體？【解析】 對(duì)于這一類(lèi)從立體圖形中間挖掉一部分后再求體積（或小正方體數(shù)目）的題目一般可以采用“切片法”來(lái)做，所謂“切片法”，就是把整個(gè)立體圖形切成一片一片的（或一層一層的），然后分別計(jì)算每一片或每一層的體積或小正方體數(shù)目，最后再把它們相加采用切

3、片法，俯視第一層到第五層的圖形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分 從圖中可以看出，第1、2、3、4、5層剩下的小正方體分別有22個(gè)、11個(gè)、11個(gè)、6個(gè)、22個(gè)，所以總共還剩下（個(gè)）小正方體【鞏固】一個(gè)由125個(gè)同樣的小正方體組成的大正方體，從這個(gè)大正方體中抽出若干個(gè)小正方體，把大正方體中相對(duì)的兩面打通，右圖就是抽空的狀態(tài)右圖中剩下的小正方體有多少個(gè)？【解析】 解法一：(用“容斥原理”來(lái)解)由正面圖形抽出的小正方體有個(gè)，由側(cè)面圖形抽出的小正方體有個(gè)，由底面圖形抽出的小正方體有個(gè)，正面圖形和側(cè)面圖形重合抽出的小正方體有個(gè)，正面圖形和底面圖形重合抽出的小正方體有個(gè)，底面圖形和側(cè)面圖形重合抽出的

4、小正方體有個(gè)，三個(gè)面的圖形共同重合抽出的小正方體有4個(gè)根據(jù)容斥原理，所以共抽出了52個(gè)小正方體，所以右圖中剩下的小正方體有73個(gè)注意這里的三者共同抽出的小正方體是4個(gè)，必須知道是哪4塊，這是最讓人頭疼的事但你可以先構(gòu)造空的兩個(gè)方向上共同部分的模型，再由第三個(gè)方向來(lái)穿過(guò)“花墻”這里，化虛為實(shí)的思想方法很重要解法二：(用“切片法”來(lái)解)可以從上到下切五層，得：從上到下五層，如圖：或者，從右到左五片，如圖：請(qǐng)注意這里的挖空的技巧是：先認(rèn)一種方向比如：從上到下的每一層，首先都應(yīng)該有第一層的空四塊的情況，即如果挖第二層：第(1)步，把中間這些位置的四塊挖走如圖：第(2)步，把從右向左的兩塊成線(xiàn)地挖走(請(qǐng)

5、注意挖通的效果就是成線(xiàn)挖去)，如圖：第(3)步，把從前向后的一塊(請(qǐng)注意跟第二層有關(guān)的只是一塊！)挖成線(xiàn)！如圖：【例 2】 （2009年迎春杯高年級(jí)組復(fù)賽）右圖中的是同樣的小等邊三角形，也是等邊三角形且邊長(zhǎng)為的2倍，是同樣的等腰直角三角形，是正方形那么，以為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積是以為平面展開(kāi)圖的立體圖形體積的 倍 【解析】 本題中的兩個(gè)圖都是立體圖形的平面展開(kāi)圖，將它們還原成立體圖形，可得到如下兩圖： 其中左圖是以為平面展開(kāi)圖的立體圖形，是一個(gè)四個(gè)面都是正三角形的正四面體，右圖以為平面展開(kāi)圖的立體圖形，是一個(gè)不規(guī)則圖形，底面是，四個(gè)側(cè)面是，兩個(gè)斜面是對(duì)于這兩個(gè)立體圖形的體積，可以采用套模

6、法來(lái)求，也就是對(duì)于這種我們不熟悉的立體圖形，用一些我們熟悉的基本立體圖形來(lái)套，看看它們與基本立體圖形相比，缺少了哪些部分由于左圖四個(gè)面都是正三角形，右圖底面是正方形，側(cè)面是等腰直角三角形，想到都用正方體來(lái)套對(duì)于左圖來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于由一個(gè)正方體切去4個(gè)角后得到(如下左圖，切去、)；而對(duì)于右圖來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于由一個(gè)正方體切去2個(gè)角后得到(如下右圖，切去、) 假設(shè)左圖中的立方體的棱長(zhǎng)為，右圖中的立方體的棱長(zhǎng)為，則以為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積為：，以為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積為由于右圖中的立方體的棱長(zhǎng)即是題中正方形的邊長(zhǎng)，而左圖中的立方體的每一個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)恰好是正三角形的邊長(zhǎng)，通過(guò)將等腰直角三角形分成4個(gè)

7、相同的小等腰直角三角形可以得到右圖中的立方體的棱長(zhǎng)是左圖中的立方體的棱長(zhǎng)的2倍，即那么以為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積與以為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積的比為：，也就是說(shuō)以為平面展開(kāi)圖的立體圖形的體積是以為平面展開(kāi)圖的立體圖形體積的16倍【例 3】 圖和圖是以正方形和等邊三角形為面的立體圖形的展開(kāi)圖，圖中所有的邊長(zhǎng)都相同請(qǐng)問(wèn)：圖能?chē)饋?lái)的立體圖形的體積是圖能?chē)饋?lái)的立體圖形的體積的幾倍？ 圖 圖【解析】 首先，我們把展開(kāi)圖折成立體圖形，見(jiàn)下列示意圖： 圖 圖對(duì)于這類(lèi)題目，一般采用“套模法”，即用一個(gè)我們熟悉的基本立體圖形來(lái)套，這樣做基于兩點(diǎn)考慮，一是如果有類(lèi)似的模型，可以直接應(yīng)用其計(jì)算公式；二是如果可以補(bǔ)上一塊或者放到某個(gè)模型里面，那么可以從這個(gè)模型入手我們把圖中的立體圖形切成兩半，再轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，正好放進(jìn)去！我們看到圖與圖的圖形位置的微妙關(guān)系： 圖 圖由圖可見(jiàn)，圖這個(gè)立體的體積與圖這個(gè)被切去了8個(gè)角后的立體圖形的體積相等假設(shè)立方體的1條邊的長(zhǎng)度是1，那么一個(gè)角的體積是，所以切掉8個(gè)角后的體積是再看圖中的正四面體，這個(gè)