離散型隨機(jī)變量的分布列綜合試題整理(帶答案)

1、離散型隨機(jī)變量的分布列綜合題1.某單位舉辦2010年上海世博會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)，盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)會(huì)徽”或“海寶”（世博會(huì)吉祥物）圖案；抽獎(jiǎng)規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng)。卡片用后入回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行。 （）活動(dòng)開(kāi)始后，一位參加者問(wèn)：盒中有幾張“海寶”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“世博會(huì)會(huì)徽”卡的概率是，求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率； （）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng)，用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列及的值。解：（I）設(shè)“世博會(huì)會(huì)徽”卡有n張，由得n=5，故“海寶”卡有4張，抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)

2、的概率為5分 （II）的分布列為 01234P12分2.某運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個(gè)系列，每個(gè)系列都有K和D兩個(gè)動(dòng)作。比賽時(shí)每位運(yùn)動(dòng)員自選一個(gè)系列完成，兩個(gè)動(dòng)作得分之和為該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。假設(shè)每個(gè)運(yùn)動(dòng)員完成每個(gè)系列中的K和D兩個(gè)動(dòng)作的得分是相互獨(dú)立的。根據(jù)賽前訓(xùn)練的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，某運(yùn)動(dòng)員完成甲系列和乙系列中的K和D兩個(gè)動(dòng)作的情況如下表：表1：甲系列表2：乙系列動(dòng)作K動(dòng)作D動(dòng)作得分100804010概率動(dòng)作K動(dòng)作D動(dòng)作得分9050200概率現(xiàn)該運(yùn)動(dòng)員最后一個(gè)出場(chǎng)，之前其他運(yùn)動(dòng)員的最高得分為115分。（1） 若該運(yùn)動(dòng)員希望獲得該項(xiàng)目的第一名，應(yīng)選擇哪個(gè)系列？說(shuō)明理由。并求其獲得第一名的概率。（2

3、） 若該運(yùn)動(dòng)員選擇乙系列，求其成績(jī)的分布列及數(shù)學(xué)期望解.（1）應(yīng)選擇甲系列，因?yàn)榧紫盗凶罡呖傻玫?40分，而乙系列最高只可得到110分，不可能得第一名。 該運(yùn)動(dòng)員獲得第一名的概率 （2）的可能取值有50,70,90,110。 110907050P3在本次考試中共有12道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每題只選一項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分。某考生每道題都給出一個(gè)答案。某考生已確定有9道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：（）選擇題得60分的概率；（）選

4、擇題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望解：（1）得分為60分，12道題必須全做對(duì)在其余的3道題中，有1道題答對(duì)的概率為，有1道題答對(duì)的概率為，還有1道答對(duì)的概率為，所以得分為60分的概率為： ，。5分（2）依題意，該考生得分的范圍為45，50，55，60. ，。6分得分為45分表示只做對(duì)了9道題，其余各題都做錯(cuò)，所以概率為 ，。7分得分為50分的概率為： ，。8分同理求得得分為55分的概率為： ，。9分得分為60分的概率為： ，。10分所以得分的分布列為45505560數(shù)學(xué)期望。12分4某設(shè)區(qū)舉辦2010年上海世博會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博

5、會(huì)會(huì)徽”或“海寶”（世博會(huì)吉祥物）圖案，參加者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎(jiǎng)。 （I）活動(dòng)開(kāi)始后，一位參加者問(wèn)：盒中有幾張“海寶”卡？主持人笑說(shuō)：我只知道若從盒總抽兩張都不是“海寶”卡的概率是，求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率； （）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng)，抽后放回，另一個(gè)人再抽，用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求 的分布列及。解：（I）設(shè)“世博會(huì)會(huì)徽”卡有張，由=，得（2分） 故“海寶”卡有4張，（3分）抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為（5分）（），的分布列為或 01234 （12分）5某地區(qū)舉辦科技創(chuàng)新大賽，有50件科技作品參賽，大賽組委會(huì)對(duì)這50件作品分別從“創(chuàng)新性”和“實(shí)用性”兩項(xiàng)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分

6、均按等級(jí)采用5分制，若設(shè)“創(chuàng)新性”得分為，“實(shí)用性”得分為，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：作品數(shù)量 實(shí)用性1分2分3分4分5分創(chuàng)新性1分131012分107513分210934分1605分00113（）求“創(chuàng)新性為4分且實(shí)用性為3分”的概率；（）若“實(shí)用性”得分的數(shù)學(xué)期望為，求、的值解：（）從表中可以看出，“創(chuàng)新性為分且實(shí)用性為分”的作品數(shù)量為件，“創(chuàng)新性為分且實(shí)用性為分”的概率為 4分（）由表可知“實(shí)用性”得分有分、分、分、分、分五個(gè)等級(jí)，且每個(gè)等級(jí)分別有件，件，件，件，件 5分“實(shí)用性”得分的分布列為：又“實(shí)用性”得分的數(shù)學(xué)期望為， 10分作品數(shù)量共有件， 解得， 13分6一個(gè)袋中裝有個(gè)形狀大小完全相同

7、的小球，球的編號(hào)分別為.（）若從袋中每次隨機(jī)抽取1個(gè)球，有放回的抽取2次，求取出的兩個(gè)球編號(hào)之和為6的概率； （）若從袋中每次隨機(jī)抽取個(gè)球，有放回的抽取3次，求恰有次抽到號(hào)球的概率； （）若一次從袋中隨機(jī)抽取個(gè)球，記球的最大編號(hào)為，求隨機(jī)變量的分布列.解：（）設(shè)先后兩次從袋中取出球的編號(hào)為，則兩次取球的編號(hào)的一切可能結(jié)果有種， 2分其中和為的結(jié)果有，共種，則所求概率為. 4分（）每次從袋中隨機(jī)抽取個(gè)球,抽到編號(hào)為的球的概率.6分所以，次抽取中，恰有次抽到6號(hào)球的概率為. 8分（）隨機(jī)變量所有可能的取值為. 9分，. 12分所以，隨機(jī)變量的分布列為:13分7甲、乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2、

8、紅桃3、紅桃4、方塊4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張。（1）設(shè)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫(xiě)出甲、乙二人抽到的牌的所有情況（2）若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？（3）甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝；否則，乙勝。你認(rèn)為此游戲是否公平？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情況為（2，3），（2，4），（2，），（3，2），（3，4），（3，），（4，2），（4，3），（4，），（，2），（，3），（，4），共12種不同情況 4分（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，.因此乙抽到的牌

9、的數(shù)字大于3的概率為. 8分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2），（4，2），（4，3），（，2），（，3），共5種甲獲勝的概率乙獲勝的概率為 此游戲不公平 .13分8某地區(qū)教研部門(mén)要對(duì)高三期中數(shù)學(xué)練習(xí)進(jìn)行調(diào)研，考察試卷中某道填空題的得分情況.已知該題有兩空，第一空答對(duì)得3分，答錯(cuò)或不答得0分；第二空答對(duì)得2分，答錯(cuò)或不答得0分.第一空答對(duì)與否與第二空答對(duì)與否是相互獨(dú)立的.從所有試卷中隨機(jī)抽取1000份試卷，其中該題的得分組成容量為1000的樣本，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：第一空得分情況第二空得分情況得分03得分02人數(shù)198802人數(shù)698302第一空得分第二空得分得分03得分02人數(shù)198802人

10、數(shù)698302（）求樣本試卷中該題的平均分，并據(jù)此估計(jì)這個(gè)地區(qū)高三學(xué)生該題的平均分.BACMFED（）這個(gè)地區(qū)的一名高三學(xué)生因故未參加考試，如果這名學(xué)生參加考試，以樣本中各種得分情況的頻率（精確到0.1）作為該同學(xué)相應(yīng)的各種得分情況的概率.試求該同學(xué)這道題得分的數(shù)學(xué)期望.解：（）設(shè)樣本試卷中該題的平均分為，則由表中數(shù)據(jù)可得: ，.3分 據(jù)此可估計(jì)這個(gè)地區(qū)高三學(xué)生該題的平均分為3.01分. .4分（）依題意，第一空答對(duì)的概率為0.8，第二空答對(duì)的概率為0.3，6分則該同學(xué)這道題得分的分布列如下：ks5u0235P014006056024所以E=0×0.14+2×0.06+3&

11、#215;0.56+5×0.24=3 12分9某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測(cè)，每一件一等品都能通過(guò)檢測(cè)，每一件二等品通過(guò)檢測(cè)的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品.() 隨機(jī)選取1件產(chǎn)品，求能夠通過(guò)檢測(cè)的概率；()隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列；() 隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過(guò)檢測(cè)的概率.解：()設(shè)隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，能夠通過(guò)檢測(cè)的事件為 1分事件等于事件 “選取一等品都通過(guò)檢測(cè)或者是選取二等品通過(guò)檢測(cè)” 2分 4分() 由題可知可能取值為0,1,2,3. ,. 8分0123 9分 ()設(shè)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都不能通過(guò)檢測(cè)的事件為

12、10分事件等于事件“隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過(guò)檢測(cè)”所以，. 13分10某商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，到商場(chǎng)購(gòu)物消費(fèi)滿100元就可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)(轉(zhuǎn)盤(pán)為十二等分的圓盤(pán))一次進(jìn)行抽獎(jiǎng)，滿200元轉(zhuǎn)兩次，以此類推（獎(jiǎng)金累加）；轉(zhuǎn)盤(pán)的指針落在A區(qū)域中一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)10元，落在B、C區(qū)域中二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)5元，落在其它區(qū)域則不中獎(jiǎng)一位顧客一次購(gòu)物消費(fèi)268元，ABC() 求該顧客中一等獎(jiǎng)的概率；() 記為該顧客所得的獎(jiǎng)金數(shù)，求其分布列；() 求數(shù)學(xué)期望(精確到0.01)解() 設(shè)事件表示該顧客中一等獎(jiǎng) 所以該顧客中一等獎(jiǎng)的概率是 4分（）的可能取值為20，15，10，5，0 5分，（每個(gè)1分）10分所以的分布列為2

13、015105010分（）數(shù)學(xué)期望14分11甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響（）求至少有1人面試合格的概率；（）求簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（）用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨(dú)立，且.至少有1人面試合格的概率是 （）的可能取值為0，1，2，3. = 的分布列是0123的期望12甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得分，負(fù)者得分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多分或打滿局時(shí)停止設(shè)甲在

14、每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為（）求的值；（）設(shè)表示比賽停止時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（）當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止，故，解得或又，所以 6分（）依題意知的所有可能取值為2，4，6，所以隨機(jī)變量的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望13分13甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手，乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手，學(xué)校計(jì)劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動(dòng).（）求選出的4名選手均為男選手的概率.（）記為選出的4名選手中女選手的人數(shù)，求的分布列和期望.解：（）事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知

15、 3分. 5分（）的可能取值為. 6分， 7分， 9分， 10分. 11分的分布列：12分. 13分14為振興旅游業(yè)，某省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行了總量為2000萬(wàn)張的優(yōu)惠卡，其中向省外人士發(fā)行的是金卡，向省內(nèi)人士發(fā)行的是銀卡。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到該省旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。（1）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡的概率； (2 ) 在該團(tuán)的省外游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持金卡人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX。.解：（1）由題意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省內(nèi)游客

16、有9人，其中6人持有銀卡。 記事件B為“采訪該團(tuán)3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡，” 記事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡,1人持銀卡，” 記事件為“采訪該團(tuán)3人中，2人持金卡,1人持銀卡，” 則 所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡的概率為。 .6分 （2）X的可能取值為0,1,2,3 因?yàn)椋?， 所以X的分布列為X0123P 10分 故 13分HCA1A2B1B2L1L2A315張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開(kāi)車到公司上班路上有L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1，A2，A3三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個(gè)

17、路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，（）若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（）若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說(shuō)明理由解：（）設(shè)走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件，則 4分所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為（）依題意，的可能取值為0，1，2 5分， ， 8分隨機(jī)變量的分布列為：012P 10分（）設(shè)選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以 12分因?yàn)?，所以選擇L2路線上班最好 14分16在某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，一個(gè)口袋里裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，所有球除顏色外無(wú)任何不同，每次

18、從中摸出2個(gè)球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎(jiǎng)。（）求僅一次摸球中獎(jiǎng)的概率；（）求連續(xù)2次摸球，恰有一次不中獎(jiǎng)的概率；（）記連續(xù)3次摸球中獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列。解：（）設(shè)僅一次摸球中獎(jiǎng)的概率為P1,則P1=3分（）設(shè)連續(xù)2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中獎(jiǎng)的概率為P2，則P2= 7分（）的取值可以是0，1，2，3=(1-)3=,=,= =,=所以的分布列如下表0123P 13分17在一次考試中共有8道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.某考生有4道題已選對(duì)正確答案，其余題中有兩道只能分別判斷2個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有兩道題因不理解題意只好亂猜.() 求該考生8道題

19、全答對(duì)的概率；() 若評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)得0分”，求該考生所得分?jǐn)?shù)的分布列. 解：()說(shuō)明另四道題也全答對(duì)，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，即：5分()答對(duì)題的個(gè)數(shù)為4，5，6，7，8，其概率分別為： 2025303540分布列為： 13分18為保護(hù)水資源，宣傳節(jié)約用水，某校4名志愿者準(zhǔn)備去附近的甲、乙、丙三家公園進(jìn)行宣傳活動(dòng)，每名志愿者都可以從三家公園中隨機(jī)選擇一家，且每人的選擇相互獨(dú)立.（）求4人恰好選擇了同一家公園的概率；（）設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為，試求的分布列及期望解：（）設(shè)“4人恰好選擇了同一家公園”為事件A. 1分每名志愿者都有3種選擇，4名志愿者的選擇共有種等可能的情況. 2分事件A所包含的等可能事件的個(gè)數(shù)為3， 3分所以，. 即：4人恰好選擇了同一家公園的概率為. 5分（）設(shè)“一名志愿者選擇甲公園”為事件C，則.6分4人中選擇甲公園的人數(shù)可看作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件C發(fā)生的次數(shù)，因此，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.可取的值為0，1，2，