CFD經驗-流沙

1、CFD為何物？CFD其實只是一個縮寫，它的全稱是Computational Fluid Dynamics，翻譯成中文為“計算流體動力學，國內習慣稱之為計算流體力學。在這里可以分析一下它的名字。首先它是流體動力學。我們知道，流體力學分為靜力學和動力學兩種。靜力學研究的是流體靜止條件下的狀態(tài)，而動力學那么表示流體在流動過程中的運動狀態(tài)。既然是流體動力學，當然研究的是流體的運動。流體運動起來了之后，由于我們的研究對象處于宏觀狀態(tài)，所以可以應用牛頓第二定律。其實NS方程都可以從牛頓第二定律推導。守恒定律是普遍通用的，通過從質量守恒、能量守恒、動量守恒的角度對流體微團進行分析，可以從流體流動過程中抽象出

2、數(shù)學方程。那么如何計算呢？本來CFD的控制方程是封閉的，5個方程1個質量守恒方程、3個動量守恒方程、1個能量守恒方程，5個未知數(shù)u、v、w、P、T，理論上是可以直接離散形成封閉的代數(shù)方程組進行求解，然而不幸的是，這5個方程是高度非線性的，再加上流體流動中形成的湍流渦尺度相差過大最小渦和最大渦尺寸相差太大，因此如果直接對控制方程離散求解的話，那么要求模型網格尺寸足夠的小小于最小渦尺寸，現(xiàn)實中最小渦尺寸非常小，這樣無疑極大的增加計算量，以至于無法在工業(yè)應用中進行推廣。于是人們想出了采用雷諾平均NS方程RANS，將湍流中的速度脈動進行平均。由于引入了新的變量，結果導致控制方程不封閉。人們?yōu)榱耸箍刂品?/p>

3、程重新封閉，引入了湍流模型，湍流模型雖然是對湍流狀態(tài)的一種假設，但是確實解決了直接模擬過于浪費計算時間的問題，因此在工業(yè)上得到了廣泛的應用。最主要的優(yōu)勢莫過于CFD能大幅降低試驗本錢。CFD通常都是利用計算機進行模擬，因此減少了試驗設備需求。更突出的優(yōu)勢在于，CFD中的模型可以根據需要隨時修改。另一個不得不提的優(yōu)勢在于，很多不可重現(xiàn)、或重現(xiàn)代價非常大的情況，可以用CFD進行再現(xiàn)。如火災、爆炸、一些自然災害等。CFD計算的準確性還存在很大的局限。首先它受制于當前計算機的計算能力，雖然如今計算機技術開展迅速，計算能力呈指數(shù)增長，但是我們對現(xiàn)實世界的模擬要求的細節(jié)也是越來越精密。要得到高精度的計算結

4、果，當然對細節(jié)的考慮是越多越好，這無疑極大的增加了計算量。其次，數(shù)學理論的研究也在一定程度上制約了CFD的精度，高階離散算法的收斂性、穩(wěn)定性都不太容易解決。CFD應用的致命傷：精度與可信度CFD假設要想在工程中得到廣泛的應用，必須克服兩大難點：準確性與可信性。在工程上，尤其是一些關鍵的工程中，誰也不敢輕易的應用一些精度與可信度得不到保證的數(shù)據。與固體應力計算使用有限單元法不同，目前主流的CFD軟件幾乎都是采用的有限體積法除了CFX采用混合有限元法與有限體積法外，F(xiàn)LUENT、STAR-CD、Phonecis、Flow-3D等都是采用的有限體積法。在計算量上來說，相同網格數(shù)量的模型，有限體積法消

5、耗的內存要少于有限元法。在有限單元網格中存在的高次單元，其單元節(jié)點位于網格邊的中點及網格體的中心，但是有限體積法中的高階格式，其并非在網格單元中添加節(jié)點，而地更多的利用周圍的節(jié)點。但是正因為如此，有限體積法計算精度要低于有限元法在相同網格數(shù)量情況下。影響CFD計算精度及可信度的原因自然不可能全怪罪于算法，更多的是問題存在于使用者及客觀環(huán)境。CFD軟件是一個黑盒子，利用CFD軟件解決工程問題，軟件使用者對于數(shù)據流向并不清楚，實際上對于非CFD專業(yè)的人事來說，也不必完全清楚CFD的內部運作方式，但是，如何有效的利用當前的軟件，如何最大限度的發(fā)揮當前軟件的計算性能，將計算結果精度及可信度提高，仍然是

6、非常重要的，也是每一個從事CFD工程應用的人必須注意的。最需要注意的局部包括下面一些內容。一、精度1、算法導致的精度問題。一般來說，高階算法的精度要高于低階精度。但是收斂性卻相反，采用高階算法要比低階算法收斂更困難一些。在一些高速流動情況中，采用迎風格式比中心差分格式能更好的收斂，在擴散占優(yōu)的流動中那么相反。以FLUENT為例，其具有一階迎風格式與二階迎風格式、冪律格式、QUICK格式以及三階MUSCL格式。通常一階迎風格式用于初步求解，較少用于最終計算結果的獲得。QUICK格式在結構網格中具有三階精度且收斂性較好，但是在非結構網格中只有二階精度。二階迎風格式在實際工程中用得非常多。三階MUS

7、CL格式用得較少，收斂性不是很好。2、邊界條件。邊界條件會對計算結果產生本質影響。也就是說，不確切的邊界條件會導致不確切的計算結果，錯誤的邊界條件一定得不到正確的結果。在實際工程中，能做為邊界的位置的信息一定是確切的。換句話說，用戶使用不確切的邊界值，責任不在軟件。當然有時候受條件限制得不到邊界物理量，但是，軟件的使用者應當對自己輸入的邊界值負責。其實相比擬固體有限元應力計算，流體邊界值難以測量也是導致計算精度及可信度降低的原因之一。在固體計算中，邊界值可以是力可以是位移，這些都是容易測量的量。但是在流體中，邊界值常常是壓力、速度、流量、體積分數(shù)等物理量，這些量的測量都是對實驗人員的考驗。3、

8、網格。網格是為計算所準備的。也許在將來對NS方程的數(shù)值求解不再依賴于網格呢。由于網格的存在，導致數(shù)值計算永遠得不到真值。這里不去追究數(shù)學方程與真實世界的差異，只分辨數(shù)值計算結果與數(shù)學方程解的差異。在理論上，只有在計算網格大小為0的時候數(shù)值計算結果才等同于數(shù)學方程的解，但是大家都知道，網格大小為0是不可能的。同時由于計算機的精度限制，網格尺寸縮小會增加舍入誤差，也就是說，計算精度并不是隨著網格數(shù)量的減小而不斷增加，同時，網格尺寸的減小會增加計算資源的消耗。在進行計算中，常常要進行網格獨立性驗證，也是防止做這類吃力不討好的事情。4、模型。將模型放在精度這里其實是不太適宜的，但是不恰當?shù)哪Ｐ痛_實會很

9、大程度上影響到計算精度。例如FLUENT中的湍流模型有很多種，如零方程模型、一方程模型、雙方程模型等等，不同的模型有其最適宜的使用范圍，如果使用不當，勢必會造成計算精度下降。合理的選擇計算模型，不止能提高計算精度，也能提高計算結果的可信度。但是要合理地選擇模型，很大程度上依賴與使用者的理論功底和對問題的認識程度。二、可信度在AIAA的官方文檔中，對于可信度的驗證是有明確的說明的?？尚哦韧ǔＶ笖?shù)學模型與真實世界的差異。在這方面，CFD軟件使用者能控制的局部并不多。主要有以下一些方面。1、幾何模型。有時候為了網格劃分方便或計算資源考慮，簡化了真實模型細節(jié)。例如一些微小特征、將三維模型簡化為二維計算

10、、周期模型等等。需要注意的是，在進行簡化之前，對模型簡化所可能造成的后果有明確的認識。究竟能不能簡化、簡化會不會造成精度的嚴重損失，這些都是需要考慮的。比方計算一段直管中的流動問題，從幾何上來講，可以簡化為平面模型、可以簡化為軸對稱旋轉問題、可以簡化為軸對稱問題，但是對于不同的物理情況，能否簡化就很值得商榷。模型中的細小特征簡化問題也是需要去思考的。將細小模型進行簡化是處于計算資源上的考慮，但假設細小特征處于敏感位置，對計算結果的影響比擬大時，能否將其簡化掉那么也是必須考慮的問題。2、物理模型。再一次提到物理模型?，F(xiàn)實世界是一個復雜的系統(tǒng)，我們在進行研究時，不可能考慮所有的影響因素，只能選取一

11、些主要因素去進行考慮。很簡單的例子，NS方程是從三大守恒定律出發(fā)的，所做的假設比擬少，但是很遺憾，對于復雜結構直接數(shù)值求解NS方程目前還不可能，于是為了工程需要，對NS方程離散過程進行了一系列的簡化，于是出現(xiàn)了各種湍流模式，出現(xiàn)了各種燃燒模型、多相流模型。3、模型參數(shù)。現(xiàn)在很多工程軟件都集成了物理模型，其中很多模型參數(shù)都是一些半經驗或經驗參數(shù)，并不一定會適應自己的模型。但是這些模型參數(shù)的獲取是一件非常困難的事情，通常都是通過實驗獲取。在最后，再來談談CFD計算結果的驗證以及計算修正的問題。通常實驗是最好的驗證手段，但是存在一個問題，實驗過程中的參數(shù)很難與計算輸入的參數(shù)完全吻合。對于實際工程問題

12、，采用實驗有時候是唯一的驗證手段。一般來說，數(shù)值計算結果再工程上與實驗結果誤差在10%以內是被允許的。在數(shù)值計算結果與實驗數(shù)據存在很大差異時，一般進行以下一些步驟的檢查：1檢查幾何模型。分析是否忽略了關鍵幾何特征、檢查邊界位置是否適宜。很多時候邊界位置設得不適宜，可能會導致計算振蕩，不收斂等情況發(fā)生。同時由于不同的軟件對于不同的邊界組合方式處理方法存在差異，因此需要選擇適宜的邊界組合方式如FLUENT中壓力邊界與outflow邊界相沖，最好不要同時出現(xiàn)，可能導致收斂問題。流量入口邊界收斂要比壓力入口困難。2檢查物理模型。是否選用了不適宜的模型。每一種模型都有一定的使用范圍，使用者需要對這些使用

13、限制有深刻的認識才能更好的進行選擇。例如FLUENT中，湍流模型有很多，標準K-E模型適合一般的工程流動問題，但是對于強旋流誤差較大，RNG K-E模型適合旋轉流動湍流計算，SA模型適合航空外流計算，K-W適合邊界層計算，雷諾模型適合各向異性湍流的計算，但是計算量大不易收斂。因此在進行選擇需要仔細的考慮選擇的模型是否適合自己的問題，一旦模型選擇錯誤，輕那么造成大的誤差，重那么不收斂計算出錯。3檢查是否忽略了不該忽略的物理現(xiàn)象。例如計算復雜幾何模型時出現(xiàn)大的負壓區(qū)，是否需要考慮空化。計算高壓氣體時，是否考慮可壓縮性，是否考慮粘性熱。還有一些情況下，是否考慮蒸發(fā)、冷凝等相變情況。有時候這些物理現(xiàn)象

14、會導致計算的不收斂乃至計算錯誤。4優(yōu)化網格。網格質量始終是CFD工程師們的努力內容。好的網格質量能夠增強收斂、提高計算精度、減少計算時間。因此在時間充足的情況下，盡可能的去提高網格質量。同時，對于流動情況復雜的區(qū)域進行網格加密處理。在計算結果到達要求后，還需要進行網格獨立性驗證。5邊界條件檢查。測量精度是否滿足要求？假設邊界信息不是通過儀器測量得出而是通過計算，那么采用的公式使用條件是否能夠接受？穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài) 穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)的區(qū)別主要表達在控制方程是否存在時間項上。換句話說，其區(qū)別在于計算結果是否是與時間相關。但是我們觀察現(xiàn)實生活，似乎找不到什么現(xiàn)象是與時間無關的。于是我們可以這樣理解：穩(wěn)態(tài)是一種近

15、似。還是不太好理解，我們來舉個例子。假設雨滴從高空落下，其阻力與運動速度的平方成正比，比例系數(shù)為1。雨滴質量為1，重力加速度為g，假設雨滴運動初速度為0，那么依據牛頓定律很容易得出當阻力與重力平衡時，該雨滴將獲得最大速度。學過物理的人都知道在0.32s時雨滴到達最大速度3.13m/s，阻力9.8與重力平衡后其將保持勻速運動。好了，我們可以將運動狀態(tài)分為兩局部，以t=0.32s為界，在此之前，運動速度與時間有關，在此之后，運動速度與時間無關。因此假設要了解前0.32s內的運動速度變化規(guī)律，那么必須使用瞬態(tài)，而要知道0.32s之后的狀態(tài)，那么利用穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)均可。 上面的例子當然很簡陋，現(xiàn)實中的問題

16、很復雜，很多時候沒方法估計穩(wěn)定狀態(tài)的臨界時間，而且有一些問題是根本沒方法到達穩(wěn)定的。但是這個例子至少說明了一點：穩(wěn)態(tài)其實是一種特殊的瞬態(tài)。也就是說，穩(wěn)態(tài)計算完全可以用瞬態(tài)計算來替代。那么為什么還會存在穩(wěn)態(tài)計算呢？主要原因在于存在一些從數(shù)學上分析一定能夠到達穩(wěn)定狀態(tài)的模型如密閉空間中的擴散過程、穩(wěn)定入口的管流等等，再加上穩(wěn)態(tài)模擬開銷要小于瞬態(tài)計算。 穩(wěn)態(tài)計算與初始值無關，很多CFD軟件在穩(wěn)態(tài)計算時要求進行初始化，這只是用于迭代計算，理論上是不會影響到最終的結果，但是不好的初始會值會影響到收斂過程。而瞬態(tài)計算那么不同，其計算結果與初始狀態(tài)緊密相關。還是上面的例子，假設雨滴的初始速度不是0的話，那么

17、穩(wěn)定時間會發(fā)生改變，穩(wěn)定之前的速度值也會不同。所以在瞬態(tài)計算時，初始條件與邊界條件一樣重要，會影響計算結果的正確性。在瞬態(tài)計算的時候，常常使用穩(wěn)態(tài)計算結果作初始值。 穩(wěn)態(tài)計算中計算參數(shù)較少，只有一個迭代參數(shù)需要設置。FLUENT中計算終止標準有兩個：1計算到達收斂2到達指定的迭代次數(shù)。當?shù)竭_迭代次數(shù)未收斂時，可以繼續(xù)計算。 瞬態(tài)計算中常涉及的幾個計算參數(shù)：時間步數(shù)，時間步長、模擬時間、子步迭代數(shù)。其中：模擬時間時間步數(shù)*時間步長。這里的時間是真實時間。子步迭代數(shù)指的是一個子步內進行迭代的次數(shù)，該概念與穩(wěn)態(tài)迭代次數(shù)相同。因此我們可以將每一個子步看作是一個穩(wěn)態(tài)迭代過程，收斂判據與穩(wěn)態(tài)計算相同，亦要

18、求在每一時間步內到達收斂。在使用瞬態(tài)模擬時還有個參數(shù)：庫朗數(shù)。這是個無量綱數(shù)，是用于在計算時控制時間步長。其值主要由兩個量控制：網格尺寸及用戶設定的時間步長。庫朗數(shù)的值與網格尺寸成反比，與時間步長成正比。因此有些需要配合庫朗數(shù)的算法計算時出現(xiàn)庫朗數(shù)大于250時，可以考慮減小時間步長，也可以考慮增大網格，但由于在求解器中增大網格比擬困難，一般都是減小時間步長。這里可以使用網格自適應來改變網格。 在瞬態(tài)計算設置時間步時，還需要考慮的是時間點的問題。仿真者要確保能夠輸出所感興趣的時間點的數(shù)據。比方說，用戶感興趣的時間點為0.1s，0.2s，0.3s，0.4s，那么輸入的時間步長假設為0.15s，那么

19、只能輸出0.3s的數(shù)據，假設輸入的時間步長為0.2s，那么只能輸出0.2，0.4s的數(shù)據。所以在設計時間步長是需要額外考慮這些問題。五花八門的壓力 表壓指的是壓力表測壓值。根據目前壓力表的工作原理很容易知道表壓是一種相對壓力，為真實壓力與大氣壓間的差值。大氣壓101325Pa，假設表壓值為零，那么意味著此處真實壓力為101325Pa。 靜壓就是我們尋常意義上的壓力，可以用壓力表測量獲得。其值是一個絕對壓力值，但是在軟件中表現(xiàn)為一個相對于操作壓力的相對值。在fluent中靜壓的英文名稱為static pressure，在cfx中，pressure就是指的靜壓。 動壓是與速度有關的。其值為密度與速

20、度平方的乘積的一半。因此很容易得知：在不可壓流動中，速度越大的位置，那么動壓越大。 總壓是靜壓與動壓的和。在FLUENT的壓力入口中常要求用戶輸入總壓值，其實這里是同時考慮了壓力與速度的。因此在壓力入口位置僅僅只是輸入壓力表讀數(shù)是不對的，因當考慮速度的。當然假設此處速度為0的話，總壓值與靜壓值相等。 絕對壓力是真實壓力。其值等于上述壓力值與參考壓力值的和。之所以出現(xiàn)絕對壓力，主要是從數(shù)值上考慮。比方說，假設計算域內各位置的壓力值都很大，而在整個計算過程中壓力變化很小的話，那么在計算過程中容易出現(xiàn)壓力變化值被湮沒的情況。此時需要將參考壓力設置為一個較大的值，以使各相對壓力值與壓力變化值在一個數(shù)量

21、級內，這樣能夠提高數(shù)值精度。記?。篊FD軟件計算的壓力值都是相對值。假設想得到絕對壓力值，可設置參考壓力值為0。FLUENT默認參考壓力值為一個大氣壓101325Pa。 FLUENT中關于壓力的兩個重要概念是：伯努利方程與等熵條件。一個用于不可壓縮一個用于可壓縮中。 不可壓縮流動中，計算域內總壓是守恒的。通常入口設置總壓值和靜壓值。該處的靜壓值用于初始化。壓力出口需要設置靜壓值。不可壓流動中入口可以設置速度值，此時出口可以設置自由出流。壓力邊界與自由出流邊界容易導致收斂問題，有時還會導致非物理解。 可壓縮流動中，入口可以設置壓力也可以設置流量。假設為壓力入口，那么需要設置靜壓值，此時假設出口為

22、靜壓出口時，那么壓力出口失效，出口的壓力是通過內部迭代計算得到。可壓縮流動中，假設入口為流量邊界，那么計算域內總壓不守恒，流量守恒。求解器通過調整總壓值以滿足流量要求。此時收斂會很難。因此，假設流量與壓力均的情況下，優(yōu)先使用壓力入口。 CFD模擬中通常錯誤及不確定性1、錯誤和不確定性來源及分類計算流體動力學CFD常用于描述各種求解流開工程問題的技術。這些技術包含了從利用質點網格法求解勢流問題到利用有限體積法求解各種復雜的湍流流動。盡管根本物理方程和求解技術非常多樣，然而它們的求解方式都是利用離散方程和用計算機數(shù)值求解這些近似方程。離散過程意味著所有的求解均為近似解。另外，流體流動過程非常復雜而

23、且在一些確定問題中控制方程也僅僅是對真實過程的近似。一個典型的例子為使用湍流模型模擬粘性流動。另外一個數(shù)值模型引入的錯誤和誤差來源于CFD工程師。CFD數(shù)值模擬本身的復雜性和要求工程師執(zhí)行不同的操作。主要包括：1問題定義；2求解策略的選擇；3計算模型的開發(fā)；4計算結果的分析及解釋。所有的這些步驟均可能具有潛在的錯誤及不確定性。沒有一個公用的標準去定義和歸類錯誤，因為涉及的范圍太寬從用戶錯誤到不恰當?shù)哪M策略及模型方程。然而，ERCOFTAC BPG采取以下其中不同錯誤及誤差來源進行分類：模型錯誤及不確定性Model error and uncertainty此錯誤定義為真實流動與模型方程的精確

24、解之間的差異。包括由于精確流動控制方程沒有求解而是采用一個不是非常好的物理模型進行替代。對于粘性流動模擬，這一類的錯誤主要來自于湍流模型和勢流計算中將粘性效應進行忽略。簡單來說，模型錯誤與不確定性作為錯誤出現(xiàn)主要是因為我們求解的是錯誤的方程。3、離散或數(shù)值誤差模型精確解與在基于有限數(shù)量網格的數(shù)值解之間的差異。一般來說，網格數(shù)量越多，解越接近于模型方程的精確解。然而網格質量及密度分布均會對結果產生影響。這類誤差廣泛的存在于數(shù)值計算中。簡單來講，離散誤差的出現(xiàn)主要是因為我們無法尋求到方程的精確解，我們試圖尋找到其數(shù)值近似解。4、迭代和收斂誤差這類誤差主要產生于在有限網格數(shù)量上完全收斂解與非完全收斂

25、解之間的差異。CFD方法求解方程常采用迭代方法，通常開始于一個關于流動的初始近似值，通過屢次迭代獲得最終解。這種方法理想的滿足邊界條件和整體計算域的每一個網格，然而如果迭代過程沒有完成那么會出現(xiàn)誤差。簡單來講，收斂誤差主要來源于沒有耐心火著計算時間過短導致求解算法沒有完全到達收斂解。5、舍入誤差主要是在求解過程中由于計算機的精度所導致的。由于計算機位數(shù)限制所造成。6、應用不確定性由于問題復雜性及模擬所需數(shù)據的精確性所導致。例如在一個精確的幾何中，不確定的數(shù)據作為邊界條件和流動穩(wěn)態(tài)及瞬態(tài)模擬的不確定性。7、用戶錯誤由于用戶操作錯誤及不小心所導致?？梢酝ㄟ^增加用戶的經驗來降低這類錯誤的產生，但是這

26、類錯誤無法完全消除。這類錯誤可以用通用的諺語來描述“garbage in，garbage out。8、程序錯誤由于軟件BUG引起的錯誤。這類錯誤通常很難被發(fā)現(xiàn)，主要由于CFD軟件的高度復雜性，通常涉及到成百上千行的代碼。CFD計算誤差收斂誤差迭代方程場用于穩(wěn)態(tài)計算和給定時間步的瞬態(tài)問題中間解。隨著迭代次數(shù)增加，逐漸獲得好的近似解。沒有通用的標準用于評判求解的最終收斂性，而且數(shù)學家發(fā)現(xiàn)沒有正式的證明納維斯托克斯方程存在收斂解。在一些場合中，迭代過程可能沒有收斂，產生發(fā)散或停留在一個固定的不可接受的水平，或在可接受解周圍振蕩。仔細的選擇和優(yōu)化求解控制參數(shù)如阻尼、松弛因子或時間步長等以獲取這些問題的

27、收斂解。收斂水平通常利用殘差來評估。在一些全局整合變量中，例如升力系數(shù)或熱傳遞系數(shù)，或流體域中任意選擇的監(jiān)視點的時間/迭代物理量信息。1、殘差Residuals殘差是一個與守恒定律相關的3D數(shù)量場，例如質量或動量守恒。它們顯示了當前近似解與完美解流量平衡之間的偏離程度。通常，利用殘差除以一個參考值以進行正那么化。這些參考值可能是：1最大相關守恒量；2平均相關守恒量；3進口相關量。通過監(jiān)視一些3D流場典型數(shù)值特征來判斷收斂型，這些值可能是：1最大值；2絕對值的和；3平方根的和；4絕對值的算術平均值；5均方根大量的變量導致精確判斷求解收斂性和到底什么樣的殘差水平可以認為收斂的困難性。原那么上，如果

28、到達舍入誤差，那么可認為到達收斂。如果要對不同程序進行比照，那么需要小心的定義等效的收斂標準。對程序開發(fā)者的一些建議：1CFD程序應該提供最大可能的信息以判斷收斂性。包括每一個收斂量的殘差。2提供殘差空間分布信息。3殘差應當是無量綱的4在手冊中清晰定義殘差是如何判定的5為防止CFD使用者產生混淆，一個通用的可接受的殘差定義需要能夠被接受。2、指導GuideLine1必須意識到不同的程序采用的殘差定義是不同的2檢查總體平衡的收斂性質量守恒、動量守恒及湍動能等，如進口與出口的質量平衡、流體域之間面流動平衡等3不僅僅檢查殘差本身，還需要檢查在增加迭代次數(shù)后殘差的變化率4模擬收斂性不應該僅僅依靠判斷殘

29、差是否到達收斂標準來評估。仔細定義感興趣的敏感目標物理量和選擇一個可接受的基于其變化率的收斂水平比方質量流量、升力、阻力、力矩等5對每一種類型的問題在不同水平的收斂殘差上進行收斂性測試這可能是單獨的計算或者是從不同的殘差標準重啟計算。這中測試描述了再何種收斂殘差參數(shù)下能獲得收斂，以及對于相似的模擬問題給出了收斂標注。6在敏感區(qū)域至少一個點上監(jiān)視，以觀察該區(qū)域是否到達收斂。7對于一些被證明難以收斂的計算過程，以下是一些建議：a在計算開始采用較為健壯的數(shù)值算法，之后切換至更精確的數(shù)值算法以提高收斂性。b減小收斂控制參數(shù)，例如亞松弛因子或CFL數(shù)c如果求解嚴重壓松弛，那么在最終增加松弛因子，觀察求解

30、情況d檢查如果將穩(wěn)態(tài)改成瞬態(tài)計算會出現(xiàn)什么反響e觀察使用不同的初始條件進行計算的結果f檢查邊界條件的數(shù)值和物理穩(wěn)定性g檢查大殘差區(qū)域內網格質量對于收斂率的作用h考慮殘差分布及對于流場的可能影響。例如具有大殘差的區(qū)域或不真實的速度-翻譯自?best practice guidelines for marine applications of computationsal fluid dynamics?CFD計算誤差空間離散誤差差分數(shù)值方法評估相同網格位置或一些網格之間并列或交錯的流量作為傳輸量。在這些問題中，計算這些位置的梯度需要對空間函數(shù)進行代數(shù)近似。這種近似方法在有限體積法或差分法中被稱之為

31、差分格式，在有限元法中稱為基函數(shù)。格式的精度取決于網格數(shù)量及網格之間的代數(shù)關系形式?？臻g離散及截斷誤差等于離散格式與精確格式的泰勒級數(shù)之間的差異。一個正式的二階格式與精確形式的二階格式相一致，三階格式同樣如此。非規(guī)那么網格不會保持正常階數(shù)的精度，通常要低一階，如二階格式在非規(guī)那么網格上通常只有一階精度。采用高質量網格降低網格數(shù)量，在高階格式使用時對求解精度有很大的影響。在所有方向上將三階精度格式網格減半能將數(shù)值誤差降低8倍，然而在1階格式上只能降低2倍。如果問題求解是光滑的或梯度很小，那么使用一階精度也能有較好的準確度，但不是所有涉及到大梯度的復雜問題和薄的邊界層問題都能適用這種情況。一階迎風

32、格式引入大的截斷誤差，在有限體積法中，通常以數(shù)值粘性或擴散形式出現(xiàn)。高階格式會出現(xiàn)其他的問題，例如陡峭梯度相鄰的網格尺度具有不同的波長，稱之為由于分散誤差引起的波動。例如具有不同波長的波具有不同的傳輸速度。在有限體積法中，分散誤差常常出現(xiàn)在中心差分格式中，在有限元法中，分散誤差那么通常出現(xiàn)在二次基函數(shù)中。高階迎風格式可能表現(xiàn)較好。如果可能的話，這種問題可以通過使用特殊非線性TVD或激波捕捉格式來彌補。由于它們具有解決陡峭梯度或阻止擴散效應能力。指導或建議：1防止使用一階精度格式。對于所有傳輸過程建議采用高階格式至少2階。由于一階格式具有較好的健壯，因此在求解開始可以采用一階格式以增強收斂型，但

33、是最終的求解必須采用二階或高于二階的格式。2通過對網格進行改良試著對數(shù)值誤差給一個估計。3如果使用程序，對誤差進行計算可能基于殘差或兩種不同精度解的差異CFD計算誤差時間離散誤差時間導數(shù)項等于0的純穩(wěn)態(tài)流動僅出現(xiàn)在一些特殊的時間相關方程中。通常，流體流動是瞬態(tài)的。一些時間相關源項有：1瞬態(tài)或非瞬態(tài)外力2瞬態(tài)邊界條件，移動壁面如機翼擺動3渦拉伸，由于控制方程方程非線性項導致的三維象穩(wěn)態(tài)湍流流動的計算是利用CFD進行計算的最常用模擬類型。在這些問題中，雷諾平均流動是穩(wěn)態(tài)的，盡管平均湍流量是由時間相關的湍流脈動量所得到的。然而，基于湍流量的時間平均不受總體非穩(wěn)態(tài)所影響的假設，RANS方程允許計算時間

34、相關雷諾平均流場。這是在當湍流渦的空間尺度要遠小于幾何模型的幾何尺度時所做的物理修正。在渦旋的尺度與幾何尺度具有可比性時，通常需要進行時間相關模擬例如渦脫落計算如果使用了精確的空間離散，那么采用穩(wěn)態(tài)方法模擬物理上時間相關的流動通常導致難以收斂。將穩(wěn)態(tài)模擬的收斂問題當做瞬態(tài)和時間步進格式可能比擬適宜。另外，對稱邊界條件可能導致穩(wěn)態(tài)結果，盡管實際情況下可能是瞬態(tài)的。如果一個完整幾何包含兩面均采用速度場的對稱面，那么很有可能導致持久振蕩。在一個長的時間間隔上對計算結果進行平均可能導致一個對稱流場，然而，這種對稱流場不同于利用對稱面計算的穩(wěn)態(tài)解。時間離散格式提供了對時間導數(shù)項的近似。大多數(shù)CFD程序提

35、供了一階和二階格式，這些格式具有無條件穩(wěn)定和最有效的滿足計算機內存及穩(wěn)定性要求。低存儲高階Runge-Kutta法也同樣可用。格式的階數(shù)計時間步長的選擇影響時間誤差的兩個根本組成振幅尺度及相位誤差。為增強時間精度，可以采用自適應時間步長例如預測-修正方法。時間步長的選擇取決于所分析流動時間尺度。如果時間步長過大，那么模擬可能會捕捉不到重要的流動和導致非物理穩(wěn)態(tài)解。因此建議從一個相對較小的CFL數(shù)開始計算，盡管從數(shù)值穩(wěn)定性的觀點來看不是必須的。許多CFD程序使用時間遞進算法對穩(wěn)態(tài)問題進行求解。必須注意到收斂的穩(wěn)態(tài)解并非完全獨立于時間步，尤其需要注意的是壁面選擇過大的時間步長。指導及建議：1求解的

36、整體精度取決于離散的最低階局部?？臻g和時間離散建議至少采用二階精度。對于時間相關流動，時間和空間離散誤差是強烈耦合的，因此要求高質量的網格和高階離散格式。2通過分析頻率及感興趣物理量如總體流動方向的速度的時間開展來檢查空間離散階數(shù)的影響。3檢查時間步長對求解結果的影響。4確保時間步長適合于網格及時間尺度需求，同時必須確保遵守最終穩(wěn)定性需求。注：不可壓縮流動中 CFL=tv/x，t 為時間步長，x 為網格尺寸， v為局部速度CFD計算誤差幾何誤差在許多工業(yè)和工程問題中，可能模擬的幾何極其復雜和需要花費相當多的精力去精確建立。這里有一些在這些過程中可能會出現(xiàn)的錯誤或誤差來源。如：1設計過程中幾何的

37、改變被忽略2CAD幾何定義對于流動模擬不夠完整。一些外表或曲線可能由于精度的原因不能在預想的位置相交，而一些曲線也可能會重復。3一些測試局部的幾何可能在測試過程中被改變，而這些改變可能并未添加進原始圖形中4幾何可能沒有完全按照圖形進行創(chuàng)立。特別是一些被認為增強流動的特征，如螺旋槳前緣的圓角，或對稱特征。5有效的幾何面在使用的過程中由于附著、磨損等可能會發(fā)生改變，如海洋附著物6幾何細節(jié)可能會被忽略。如壁面粗糙度，焊接圓角，外表突起等。7CAD系統(tǒng)中使用的坐標系統(tǒng)可能與CFD程序中采用的不相一致。指導及建議：1檢查被計算的幾何是期望的幾何。例如，從CAD系統(tǒng)中向CFD系統(tǒng)中傳遞幾何數(shù)據可能會喪失局

38、部外表精度，顯示幾何有助于壁面此類錯誤。2通常，包含一些小于局部網格尺寸的幾何特征是不必要的如壁面層粗糙度3在一些需要局部細節(jié)的區(qū)域，應當使用網格加密。例如在精確邊或小的孔隙附近。如果使用了網格加密，額外的網格點應當依賴于原始幾何，而且不應該簡單的為更多粗糙網格點的線性內插4檢查幾何使用了正確的坐標系統(tǒng)及正確的單位系統(tǒng)。CAD經常使用毫米作為單位進行模型建立，必須將其轉換至SI單位系統(tǒng)。5如果由于水力、機械力或熱應力導致幾何改變或變形，那么一些結構力學計算必須參與精確幾何確實定。CFD計算誤差舍入誤差舍入誤差常常不受重視。然而在兩個相差很小的大數(shù)之間那么顯得很重要，而且經常產生嚴重的錯誤。為防

39、止大值的出現(xiàn)，常常在計算中采用相對壓力。一些常見的舍入誤差有：1具有大的指數(shù)相的低雷諾數(shù)湍流模型2具有很小的密度和溫度差異的密度驅動流動3不同網格面具有大縱橫比網格4共軛熱傳遞5帶有低濃度組分的標量擴散計算6密度基求解器中的低馬赫數(shù)流動7大靜水壓力梯度的流動=指導=1通常使用64bit來表述實數(shù)普通的UNIX工作站上使用雙精度2建議程序開發(fā)中使用64bit來表述實數(shù)fortran中real*8作為CFD程序默認設置CFD計算誤差用戶因素1、概述在CFD計算過程中，人扮演著非常重要的角色，因此計算結果很大程度上取決于用戶的能力及經驗。因此利用少量語言闡述CFD的這一問題是值得的，實際上這也是導致

40、CFD計算結果不確定的一個重要方面一些因素可能出現(xiàn)在用戶錯誤中：1對細節(jié)缺乏關注、草率、馬虎、誤解以及疏忽2對于使用CFD過于樂觀和不加批判。3缺乏經驗。因此難以覺察技術的難度以及喪失一些只能綱要信息。4對于特定的CFD程序不熟悉。因此用戶常常使用一些熟悉程序的參數(shù)對不熟悉程序進行設置。前兩點與用戶的態(tài)度及性格有關，而后兩項那么取決于用戶的經驗和培訓。2、工作過程控制許多錯誤都是因為對細節(jié)缺少關注，或者因為對于對于引起錯誤的因素沒有覺察而導致的。解決這類問題最好途徑在于用戶擁有一份清晰的問題清單，能夠幫助用戶確保所有相關聯(lián)的問題都已被解決。這對于只擁有有限經驗的用戶來說至關重要。正式的質量管理

41、清單能幫助沒有經驗的用戶產生有質量的CFD計算結果。然而，CFD工程能遇到所有正式QA需求，但是計算質量依然很低或者干脆出現(xiàn)錯誤結果。另外，高質量的工作能夠脫離正式的QA系統(tǒng)。下面是一些建議用于問題定義：1使用CFD模擬是否真的適宜？例如對于波驅動問題，使用RANSE方法是否更加適宜？2模擬的目的是否明確定義？3對精度有何要求？4那些局部/全局物理量是需要從模擬中獲取的？5哪些內容是文檔或報告需要的？6流動物理涉及到哪些內容穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)、單相、層流、紊流、轉捩、內流、外流等等7對于流場計算，哪些區(qū)域是最感興趣的？8幾何是否已經很好的定義？9哪些驗證是必須的？所采用的是否是已經對相同流場問題進行過

42、測試的常規(guī)程序，或者只是針對類似的問題進行少量的修改。或者采用的是幾乎未曾進行過驗證的非常規(guī)程序。10模擬對于計算資源內存、磁盤空間、CPU時間的需求處于什么水平？3、求解策略指導當清晰的建立了問題定義后，用戶需要將問題轉化為涉及相關問題求解策略，如：1數(shù)學和物理模型2壓力或密度基求解方法3湍流模型4可用的程序/求解器5計算網格6邊界條件4、程序指導潛在的用戶錯誤來源于執(zhí)行特殊程序的求解策略。這些錯誤可以通過利用其他CFD分析檢查進行驗證來減小。這些問題可能是：1邊界條件不僅正確的定義，而且正確的實施2是否使用了正確的單位系統(tǒng)3幾何是否正確4物理屬性是否正確的制定5特定的數(shù)學和物理模型是否被使

43、用如重力、旋轉、用戶定義函數(shù)6被修改的默認參數(shù)是否會對計算結果產生影響7是否使用了定義和使用了適宜的收斂標準5、解釋指導1不要僅僅因為CFD模擬計算過程收斂和高質量的圖形顯示或者甚至是動畫就認為計算結果是正確的。確保流場的根本解釋能說明流動行為，以及流動趨勢能與平常的流動相一致。2確保計算產生的工程參數(shù)平均值一致例如質量平均值、面積平均值、時間平均值。采用不同的程序進行后處理，局部和平均工程參數(shù)值可能不一致例如利用速度計算剪切應力，使用節(jié)點值代替壁面函數(shù)計算剪切應力。檢查模擬中用于比擬的測試數(shù)據同時利用相同的方法進行了計算。3不管是對計算結果進行解釋還是做出任何決策，都必須包含計算精度說明。6

44、、文檔1好的仿真記錄包括清晰的假設文檔、近似、簡化、幾何以及數(shù)據來源2組織編寫計算文檔，以便其他的CFD專家能夠對計算過程進行驗證3必須意識到文檔需求的水平很大程度上取決于用戶在問題定義中的需求。在利用CFD計算過程中，我們需要格外注意一下的一些問題：1邊界條件。CFD中的邊界與現(xiàn)實中不一定重合。在不重合的情況下，我們如何去確定邊界條件。由于邊界條件直接決定計算結果的正確性，正確且準確的給定邊界條件，是計算成功的前提。2計算結果評定。CFD計算完畢后，我們如何判定計算結果的優(yōu)劣?，F(xiàn)實試驗要求具有再現(xiàn)性，CFD計算結果不要求再現(xiàn)性這個是自然滿足的，但是卻要求網格獨立性。即要求計算結果隨網格變化可

45、忽略。湍流模型選取一般來說，DES和LES是最為精細的湍流模型，但是它們需要的網格數(shù)量大，計算量和內存需求都比擬大，計算時間長，目前工程應用較少。S-A模型適用于翼型計算、壁面邊界層流動，不適合射流等自由剪切流問題。標準K-Epsilon模型有較高的穩(wěn)定性、經濟性和計算精度，應用廣泛，適用于高雷諾數(shù)湍流，不適合旋流等各相異性等較強的流動。RNG K-Epsilon模型可以計算低雷諾數(shù)湍流，其考慮到旋轉效應，對強旋流計算精度有所提供。Realizable K-Epsilon模型較前兩種模型的有點是可以保持雷諾應力與真實湍流一致，可以更加精確的模擬平面和圓形射流的擴散速度，同時在旋流計算、帶方向壓

46、強梯度的邊界層計算和別離流計算等問題中，計算結果更符合真實情況，同時在別離流計算和帶二次流的復雜流動計算中也表現(xiàn)出色。但是此模型在同時存在旋轉和靜止區(qū)的計算中，比方多重參考系、旋轉滑移網格計算中，會產生非物理湍流粘性。因此需要特別注意。標準K-W模型包含了低雷諾數(shù)影響、可壓縮性影響和剪切流擴散，適用于尾跡流動、混合層、射流、以及受壁面限制的流動附著邊界層湍流和自由剪切流計算。SST K-W模型綜合了K-W模型在近壁區(qū)計算的有點和K-Epsilon模型在遠場計算的優(yōu)點，同時增加了橫向耗散導數(shù)項，在湍流粘度定義中考慮了湍流剪切應力的輸運過程，適用更廣，可以用于帶逆壓梯度的流動計算、翼型計算、跨聲速

47、帶激波計算等。雷諾應力模型沒有采用渦粘性各向同性假設，在理論上比前面的湍流模型要精確的多，直接求解雷諾應力分量二維5個，三維7個輸運方程，適用于強旋流動，如龍卷風、旋流燃燒室計算等。殘差曲線震蕩問題一. 殘差波動的主要原因：1、高精度格式；­2、網格太粗；3、網格質量差；4、流場本身邊界復雜，流動復雜；5、模型的不恰當使用。二. 問：在進行穩(wěn)態(tài)計算時候，開始殘差線是一直下降的，可是到后來各種殘差線都顯示為波形波動，是不是不收斂阿？ 答：有些復雜或流動環(huán)境惡劣情形下確實很難收斂。計算的精度2 階，網格太疏，網格質量太差，等都會使殘差波動。經常遇到，一開始下降，然后出現(xiàn)波動，可以降低松弛

48、系數(shù)，我的問題就能收斂，但如果網格質量不好，是很難的。通常，計算非結構網格，如果問題比擬復雜，會出現(xiàn)這種情況，建議作網格時多下些功夫。理論上說，殘差的震蕩是數(shù)值迭代在計算域內傳遞遭遇障礙物反射形成周期震蕩導致的結果，與網格亞尺度雷諾數(shù)有關。例如，通常壓力邊界是主要的反射源，換成OUTFLOW 邊界會好些。這主要根據經驗判斷。所以我說網格和邊界條件是主要因素。三. 1、網格問題：比方流場內部存在尖點等突變，導致網格在局部質量存在問題，影響收斂。 2、可以調整一下courant number，courant number實際上是指時間步長和空間步長的相對關系，系統(tǒng)自動減小courant數(shù)，這種情況

49、一般出現(xiàn)在存在鋒利外形的計算域，當局部的流速過大或者壓差過大時出錯，把局部的網格加密再試一下。 在fluent中，用courant number來調節(jié)計算的穩(wěn)定性與收斂性。一般來說，隨著courant number的從小到大的變化，收斂速度逐漸加快，但是穩(wěn)定性逐漸降低。所以具體的問題，在計算的過程中，最好是把courant number從小開始設置，看看迭代殘差的收斂情況，如果收斂速度較慢而且比擬穩(wěn)定的話，可以適當?shù)脑黾觕ourant number的大小，根據自己具體的問題，找出一個比擬適宜的courant number，讓收斂速度能夠足夠的快，而且能夠保持它的穩(wěn)定性。本人覺得可以重點參考第四

50、個答復。另外，如果出現(xiàn)連續(xù)方程殘差很高收斂慢的情況，首先應該檢查的是網格質量；由于現(xiàn)在大量使用分塊網格，這時要看看兩相鄰塊處的網格大小是不是相差較大，也就是看看有沒有出現(xiàn)cell jump的情況，相鄰網格的大小最好不要超過2倍的關系，這時出現(xiàn)高連續(xù)方程殘差的一個主要原因，這需要在劃分網格時做好規(guī)劃。單位制的問題結構網格 or 非結構網格1. 什么是結構化網格和非結構化網格從嚴格意義上講，結構化網格是指網格區(qū)域內所有的內部點都具有相同的毗鄰單元。它可以很容易地實現(xiàn)區(qū)域的邊界擬合，適于流體和外表應力集中等方面的計算。它的主要優(yōu)點是：網格生成的速度快。網格生成的質量好。數(shù)據結構簡單。對曲面或空間的擬

51、合大多數(shù)采用參數(shù)化或樣條插值的方法得到，區(qū)域光滑，與實際的模型更容易接近。它的最典型的缺點是適用的范圍比擬窄，只適用于形狀規(guī)那么的圖形。尤其隨著近幾年的計算機和數(shù)值方法的快速開展，人們對求解區(qū)域的幾何形狀的復雜性的要求越來越高，在這種情況下，結構化網格生成技術就顯得力不從心了。1.2非結構化網格同結構化網格的定義相對應，非結構化網格是指網格區(qū)域內的內部點不具有相同的毗鄰單元。即與網格剖分區(qū)域內的不同內點相連的網格數(shù)目不同。從定義上可以看出，結構化網格和非結構化網格有相互重疊的局部，即非結構化網格中可能會包含結構化網格的局部。2.如果一個幾何造型中既有結構化網格，也有非結構化網格，分塊完成的，分

52、別生成網格后，也可以直接就調入fluent中計算。3.在fluent中，對同一個幾何造型，如果既可以生成結構化網格，也可生成非結構化網格，當然前者要比后者的生成復雜的多，那么應該選擇哪種網格，兩者計算結果是否相同，哪個的計算結果更好些呢？一般來說，結構網格的計算結果比非結構網格更容易收斂，也更準確。但后者容易做。影響精度主要是網格質量，和你是用那種網格形式關系并不是很大，如果結構話網格的質量很差，結果同樣不可靠，相對而言，結構化網格更有利于計算機存儲數(shù)據和加快計算速度。結構化網格據說計算速度快一些，但是網格劃分需要技巧和耐心。非結構化網格容易生成，但相對來說速度要差一些。4.在gambit中，

53、只有map和submap生成的是結構化網格，其余均為非結構化網格。有限元法，有限差分法和有限體積法的區(qū)別(轉載1. FDM1.1 概念有限差分方法(FDM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是開展較早且比擬成熟的數(shù)值方法。1.2 差分格式1從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。2從差

54、分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。3考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。1.3 構造差分的方法構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其根本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。2. FEM2.1

55、概述有限元方法的根底是變分原理和加權余量法，其根本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些適宜的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構成不同的有限元方法。2.2 原理有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的開展慢慢用于流體力學、土力學的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為

56、由每個單元基函數(shù)組成的，那么整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法開展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所采用的權函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。1從權函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；2從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格；3從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。對于權函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權函數(shù)等于余量本身，而內積的極小

57、值那么為對代求系數(shù)的平方誤差最??；在配置法中，先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數(shù)值在插值點取值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用