二項式定理知識點及題型歸納總結

1、二項式定理知識點及題型歸納總結知識點精講一、二項式定理a bn C： anb°C： an1b展開式具有以下特點：（D 項數：共n 1項C： anbC； a°bn n N*.(2)二項式系數：依次為組合數c0,c1,c2, , C:（3 ）每一項的次數是一樣的，都為n次，展開式依a的降幕、b的升幕排列展開特別地，1 Xn 1 C； X C： X2CnnXn 二、二項式展開式的通項（第 r1項）二項式展開的通項為TnC： an rbrr 0,1,23,n.淇中C的二項式系數令變量（常用x）取1，可得Tri的系數.注通項公式主要用于求二項式展開式的指數、滿足條件的項數或系數、展開

2、式的某一項或系數在應用通項公式時要注意以下幾點： 分清C； anb是第r 1項，而不是第r項;在通項公式Th C： anrbr中，含Tri,Cr； ,a,b,r, n這6個參數，只有a,b,r,n是獨立的，在未知r,n的 情況下利用通項公式解題，一般都需要先將通項公式轉化為方程組求n和r.三、二項式展開式中的系數（1 ）二項式系數與項的系數二項式系數僅指Co,6,C,，CJ而言，不包括字母a,b所表示的式子中的系數例如：2 x “的展開式中含有燈的項應該是1C： 2nrXn，其中6叫做該項的二項式系數，而x的系數應該是C； 2nr （即含x項的系數）.（2）二項式系數的性質在二項式展開式中，“

3、等距離”的兩項的二項式cn cncn cn ,cn cn '與首末兩端二項展開式中間項的二項式系數最大如果二項式的幕指數n是偶數，中間項是第21項，其二項式系數C最大；如果二項式的幕指數n是奇數，中間項有兩項，即為第項和第器1項，它們的二項式系數62和C,相等并且最大.（3） 一項式系數和與系數和nn n二項式系數和-0Cn (1+1 )2奇數項二項式系數和等于偶數項二項式系數和,即 C°C； C：135 n 1cn劉cn2系數和求所有項系數和，令X1 ;求變號系數和，令X1 ;求常數項，令X 0。題型歸納及思路提示題型1二項式定理展開式的應用思路提示對二項展開式的認識不僅要

4、矢注展開式中對各項的特點，更重要的是要理解等式兩邊的矢系, 右邊是左邊個因式ab積的結果，而左邊是右邊各項和的結果，這就為此類問題的解決提供了思考的 方向和解決的思路。用計數原理證明：丫c： an % c： an2b2 L danrbr Lc； bn nN ,r 0,1,2, ,n 中每一個取r個a b中每一個取b相乘取得的這樣的取法（只需從r個a b中取b，自然剩余nr個a b中取a）共有Cn眛中,Ar Cn r 0,1,2 ,n .解析4 2 g4% 2。滬厶？ /4申，其展開式的通項為 Aran rbr，是由n個a b中的 n個01 n 1Cnacna b靠Lr n r rcna bn

5、nCnb變式12x3的展開式中，x的系數為（A. 15B.85 C.120 D.274變式254x 2的展開式中，X的系數為（用數字作答）變式32的展開式中整理后的常數項為X（用數字作答）題型2二項展開式通項的應用思路提示二項展幵式的通項從微觀角度反映了二項展幵式的全貌，是展開式的縮影，它可以用于求二項展開式的任意指定項及 其系數等。21 5例1231（ 1）X22 1的展開式的常數項是（）XA.3B.2C.2 D.312、XT5展開式中X的系數為（)A.4B.2C.2 D.4得常數項為1C545，故展開式中常數項為3 ，故選D.1 2.x33x變式2變式3 已知1例 12.32(1)(2)求

6、證:解析(1)因為即 2nC°(2)首先6、.X 12x 8x、x展開式中含X的項1求證：2n2nC;-1+C2，顯然有，10x10展開式中的常數項為2nCn1 5 3 x 10 3 x7 10x1 12x2x.故選 C.n的展開式中沒有常數 項，N, n3.nN，所以cn2n2.證畢.12!n2!3!13!1n!1 Cn(至少有3故有2n項)，變式a, b0,n求證：變式求證：變式對于n求證：1111±c22cn例 12.33(1)展開式中X的系數為。，45x 寶 x yx? 故1展開式至少有4項,1 n!L+八72，n N的展開式中常數項為（A. 35C.354D. 1

7、05.x的系數為4,得(2) Tri即常數項為Tr13r3rTr小r9Cq aX=1得©=C82r為 C9a9 rx的幕由展開式中的錯誤！未找到引用源。C8r4r，令 4r0,得r=4，124Bo（用數字作答）。變式1 J18的展開式中含X15的項的系數為變式2設二項式0）的展開式中x3的系數為A,常數項為B,若B=4A則a的值為（用數字作答）。變式3 x y io展開式中x3 y?與X? y3的系數和為4嚴例 12.34 x V3y展開式中系數為有理數的項共有項。解析：T 1 C：咲2°43y *=錯誤！未找到引用源。（r 0,1,2丄20）依題意，r為4的整數倍,r 0

8、,4,8,12,16,20 故展開式中系數為有理項的項共有6項。變式J73/ 2MX11:2,求展開式中有理項有多少個?變式2“2 a b2 ( a, b為有理數)，則a b=(A. 45 B. 55 C. 70 D. 80n變式3 x、.x |展開式中存在常數項正整數n的最小值為題型3二項展開式的系數和問題思路提示有尖系數和的問題不僅要注意二項式系數和的結果，重要的是研究二項式系數所用的方法即賦值法 要讀者根據題目結合已知條件進行賦值。這里就需例12.35已知12x =a° a xa?x2 L(1) ai a2a7 ；(2)ai a3 as37；(3) aa234a6 ； a0 3

9、ia7.解析令x 1，則a。a1 a2az1，貝 U aoai a2 a3 a4a5a6因為a。 c° 1，所以ai a2a7(2)()2得qS3 35371094.（+）錯誤味找到引用源。得aoa2（4）解法一：因為展開式中ao,a2,a4,a6大于2S7X3737.2.34361093'而玄仆玄彳厶耳小于零'所以a。 a(a°a2 a4 a6)(ai aaasa?) =2187.解法二：a0 aia7即為展開式1 2x 7中各項的系數和故只需要對1 2x 7中令xa0 aia?的值等于 37=2187.評注：求矢于展開式中的系數和問題，往往根據展開式的特

10、點給其中字母一些特殊的數值，如等，此即賦值法。變式1已知二項展開式2x 3ao aixa4Xa° a2 2 a4引昭=變式2Xa12X 的展開式中各項系數的和為XX2,則該展開式中常數項為（)A. -40 B. -20 C. 20 D. 40a7 =1即可得1, -1，則例 12.36 若 1 2x2015 = a o aAx2015( x R)，則電卑號的值為(A. 2 B. 0 C. -1 D. -2，令X 0得a。丨，所以a?222吃01522015-a o1，故選C.變式1已知1 X21 xfn1 x =a°a/自然數n的值為()A. 3B. 4C. 5D.6變式2

11、若172xaix Soa?x7 ，貝 U2a2anXl若 ai a2an 129 n，那么737 = 1 1 1解析：存二項式屆開式中，令 x .得0 % 尹2題型4 二項展幵式中系數或項的最大、最小問題思路提示系數或項的最大、最小問題需按該項二項式系數最大（?。﹩栴}按前述“知識點精講”原理求解 大于（或小于）等于相鄰兩項，列不等式組求解。例12.37a bn展開式中：（1）只有第7項的二項式系數最大，則;（2）第7項二項式系數取最大值，n =.分析：只有一項的二項式系數爵大n是偶數；有兩項二項式系數最大n是奇數°解析：（1） Tr仁C討b只有Te 1二項式系數最大，錯誤！未找到引用

12、源。為偶數，最大值為Cn2 c；，6，得n 12 . （2）當n為偶數時，n 12 ；當n為奇數時，最大二項式系數為2n 13 或 n 11.所以 n 11,12,13。、，10變式1求1 X展開式的系數最大項和最小項。11變式2求1 2X展開式中二項式系數最大項數和系數最大項數。有效訓練題1.2x21 §的二項展開式中，XX的系數為（A. 10B.-10C.40D. -402. 1n3x (其中6）展開式中，x5與x6的系數相等貝U n -（）A. 6B. 7C.8D. 95的展開式X3x的系數為10 則實數a等干（A. 1 B.丄C. 1D. 27.7項的二項式系數相等，則該展開式中的XA. -24B. -6C. 6D.245若n11展開式中的所有二項式系數和為XA. -84B. 84C. -36D. 366.設 X?91 2x 1 = aoa2 XA. 2B.-1 C. -2D.4. 2x 1的展開式中的常數項為（7的展開式中第3項與第X512,則該展開式中的常數項為（）11aAx，貝U a印an的值為1 X 2。的二項展開式中，X的系數與x9的系數之差為9.10F1 知 X 1ai a?xaux10,若數列玄皚赳.,ak(1 k 11,kZ）是一個單調遞增數列，則k的最大值為10.LJ4右