二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)

1、二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)精講一、二項(xiàng)式定理a bn C： anb°C： an1b展開(kāi)式具有以下特點(diǎn)：（D 項(xiàng)數(shù)：共n 1項(xiàng)C： anbC； a°bn n N*.(2)二項(xiàng)式系數(shù)：依次為組合數(shù)c0,c1,c2, , C:（3 ）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，都為n次，展開(kāi)式依a的降幕、b的升幕排列展開(kāi)特別地，1 Xn 1 C； X C： X2CnnXn 二、二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)（第 r1項(xiàng)）二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)為T(mén)nC： an rbrr 0,1,23,n.淇中C的二項(xiàng)式系數(shù)令變量（常用x）取1，可得Tri的系數(shù).注通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式展開(kāi)式的指數(shù)、滿(mǎn)足條件的項(xiàng)數(shù)或系數(shù)、展開(kāi)

2、式的某一項(xiàng)或系數(shù)在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 分清C； anb是第r 1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng);在通項(xiàng)公式Th C： anrbr中，含Tri,Cr； ,a,b,r, n這6個(gè)參數(shù)，只有a,b,r,n是獨(dú)立的，在未知r,n的 情況下利用通項(xiàng)公式解題，一般都需要先將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程組求n和r.三、二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)（1 ）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)僅指Co,6,C,，CJ而言，不包括字母a,b所表示的式子中的系數(shù)例如：2 x “的展開(kāi)式中含有燈的項(xiàng)應(yīng)該是1C： 2nrXn，其中6叫做該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而x的系數(shù)應(yīng)該是C； 2nr （即含x項(xiàng)的系數(shù)）.（2）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，“

3、等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式cn cncn cn ,cn cn '與首末兩端二項(xiàng)展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是偶數(shù)，中間項(xiàng)是第21項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)C最大；如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是奇數(shù)，中間項(xiàng)有兩項(xiàng)，即為第項(xiàng)和第器1項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)62和C,相等并且最大.（3） 一項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和nn n二項(xiàng)式系數(shù)和-0Cn (1+1 )2奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和,即 C°C； C：135 n 1cn劉cn2系數(shù)和求所有項(xiàng)系數(shù)和，令X1 ;求變號(hào)系數(shù)和，令X1 ;求常數(shù)項(xiàng)，令X 0。題型歸納及思路提示題型1二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的應(yīng)用思路提示對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式的認(rèn)識(shí)不僅要

4、矢注展開(kāi)式中對(duì)各項(xiàng)的特點(diǎn)，更重要的是要理解等式兩邊的矢系, 右邊是左邊個(gè)因式ab積的結(jié)果，而左邊是右邊各項(xiàng)和的結(jié)果，這就為此類(lèi)問(wèn)題的解決提供了思考的 方向和解決的思路。用計(jì)數(shù)原理證明：丫c： an % c： an2b2 L danrbr Lc； bn nN ,r 0,1,2, ,n 中每一個(gè)取r個(gè)a b中每一個(gè)取b相乘取得的這樣的取法（只需從r個(gè)a b中取b，自然剩余nr個(gè)a b中取a）共有Cn眛中,Ar Cn r 0,1,2 ,n .解析4 2 g4% 2。滬厶？ /4申，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為 Aran rbr，是由n個(gè)a b中的 n個(gè)01 n 1Cnacna b靠Lr n r rcna bn

5、nCnb變式12x3的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（A. 15B.85 C.120 D.274變式254x 2的展開(kāi)式中，X的系數(shù)為（用數(shù)字作答）變式32的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為X（用數(shù)字作答）題型2二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用思路提示二項(xiàng)展幵式的通項(xiàng)從微觀角度反映了二項(xiàng)展幵式的全貌，是展開(kāi)式的縮影，它可以用于求二項(xiàng)展開(kāi)式的任意指定項(xiàng)及 其系數(shù)等。21 5例1231（ 1）X22 1的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（）XA.3B.2C.2 D.312、XT5展開(kāi)式中X的系數(shù)為（)A.4B.2C.2 D.4得常數(shù)項(xiàng)為1C545，故展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為3 ，故選D.1 2.x33x變式2變式3 已知1例 12.32(1)(2)求

6、證:解析(1)因?yàn)榧?2nC°(2)首先6、.X 12x 8x、x展開(kāi)式中含X的項(xiàng)1求證：2n2nC;-1+C2，顯然有，10x10展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為2nCn1 5 3 x 10 3 x7 10x1 12x2x.故選 C.n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù) 項(xiàng)，N, n3.nN，所以cn2n2.證畢.12!n2!3!13!1n!1 Cn(至少有3故有2n項(xiàng))，變式a, b0,n求證：變式求證：變式對(duì)于n求證：1111±c22cn例 12.33(1)展開(kāi)式中X的系數(shù)為。，45x 寶 x yx? 故1展開(kāi)式至少有4項(xiàng),1 n!L+八72，n N的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（A. 35C.354D. 1

7、05.x的系數(shù)為4,得(2) Tri即常數(shù)項(xiàng)為T(mén)r13r3rTr小r9Cq aX=1得©=C82r為 C9a9 rx的幕由展開(kāi)式中的錯(cuò)誤！未找到引用源。C8r4r，令 4r0,得r=4，124Bo（用數(shù)字作答）。變式1 J18的展開(kāi)式中含X15的項(xiàng)的系數(shù)為變式2設(shè)二項(xiàng)式0）的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A,常數(shù)項(xiàng)為B,若B=4A則a的值為（用數(shù)字作答）。變式3 x y io展開(kāi)式中x3 y?與X? y3的系數(shù)和為4嚴(yán)例 12.34 x V3y展開(kāi)式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有項(xiàng)。解析：T 1 C：?jiǎn)D2°43y *=錯(cuò)誤！未找到引用源。（r 0,1,2丄20）依題意，r為4的整數(shù)倍,r 0

8、,4,8,12,16,20 故展開(kāi)式中系數(shù)為有理項(xiàng)的項(xiàng)共有6項(xiàng)。變式J73/ 2MX11:2,求展開(kāi)式中有理項(xiàng)有多少個(gè)?變式2“2 a b2 ( a, b為有理數(shù))，則a b=(A. 45 B. 55 C. 70 D. 80n變式3 x、.x |展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)正整數(shù)n的最小值為題型3二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題思路提示有尖系數(shù)和的問(wèn)題不僅要注意二項(xiàng)式系數(shù)和的結(jié)果，重要的是研究二項(xiàng)式系數(shù)所用的方法即賦值法 要讀者根據(jù)題目結(jié)合已知條件進(jìn)行賦值。這里就需例12.35已知12x =a° a xa?x2 L(1) ai a2a7 ；(2)ai a3 as37；(3) aa234a6 ； a0 3

9、ia7.解析令x 1，則a。a1 a2az1，貝 U aoai a2 a3 a4a5a6因?yàn)閍。 c° 1，所以ai a2a7(2)()2得qS3 35371094.（+）錯(cuò)誤味找到引用源。得aoa2（4）解法一：因?yàn)檎归_(kāi)式中ao,a2,a4,a6大于2S7X3737.2.34361093'而玄仆玄彳厶耳小于零'所以a。 a(a°a2 a4 a6)(ai aaasa?) =2187.解法二：a0 aia7即為展開(kāi)式1 2x 7中各項(xiàng)的系數(shù)和故只需要對(duì)1 2x 7中令xa0 aia?的值等于 37=2187.評(píng)注：求矢于展開(kāi)式中的系數(shù)和問(wèn)題，往往根據(jù)展開(kāi)式的特

10、點(diǎn)給其中字母一些特殊的數(shù)值，如等，此即賦值法。變式1已知二項(xiàng)展開(kāi)式2x 3ao aixa4Xa° a2 2 a4引昭=變式2Xa12X 的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為XX2,則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（)A. -40 B. -20 C. 20 D. 40a7 =1即可得1, -1，則例 12.36 若 1 2x2015 = a o aAx2015( x R)，則電卑號(hào)的值為(A. 2 B. 0 C. -1 D. -2，令X 0得a。丨，所以a?222吃01522015-a o1，故選C.變式1已知1 X21 xfn1 x =a°a/自然數(shù)n的值為()A. 3B. 4C. 5D.6變式2

11、若172xaix Soa?x7 ，貝 U2a2anXl若 ai a2an 129 n，那么737 = 1 1 1解析：存二項(xiàng)式屆開(kāi)式中，令 x .得0 % 尹2題型4 二項(xiàng)展幵式中系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問(wèn)題思路提示系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問(wèn)題需按該項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大（?。﹩?wèn)題按前述“知識(shí)點(diǎn)精講”原理求解 大于（或小于）等于相鄰兩項(xiàng)，列不等式組求解。例12.37a bn展開(kāi)式中：（1）只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則;（2）第7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)取最大值，n =.分析：只有一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)爵大n是偶數(shù)；有兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大n是奇數(shù)°解析：（1） Tr仁C討b只有Te 1二項(xiàng)式系數(shù)最大，錯(cuò)誤！未找到引用

12、源。為偶數(shù)，最大值為Cn2 c；，6，得n 12 . （2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n 12 ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，最大二項(xiàng)式系數(shù)為2n 13 或 n 11.所以 n 11,12,13。、，10變式1求1 X展開(kāi)式的系數(shù)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。11變式2求1 2X展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)和系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)。有效訓(xùn)練題1.2x21 §的二項(xiàng)展開(kāi)式中，XX的系數(shù)為（A. 10B.-10C.40D. -402. 1n3x (其中6）展開(kāi)式中，x5與x6的系數(shù)相等貝U n -（）A. 6B. 7C.8D. 95的展開(kāi)式X3x的系數(shù)為10 則實(shí)數(shù)a等干（A. 1 B.丄C. 1D. 27.7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中的XA. -24B. -6C. 6D.245若n11展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為XA. -84B. 84C. -36D. 366.設(shè) X?91 2x 1 = aoa2 XA. 2B.-1 C. -2D.4. 2x 1的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（7的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第X512,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）11aAx，貝U a印an的值為1 X 2。的二項(xiàng)展開(kāi)式中，X的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為9.10F1 知 X 1ai a?xaux10,若數(shù)列玄皚赳.,ak(1 k 11,kZ）是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值為10.LJ4右