2.1已知半徑為a的導(dǎo)體球面上分布著面電荷密度為的電荷,式中(精)

1、2.2.1 1 已知半徑為 a a 的導(dǎo)體球面上分布著面電荷密度為Ps = Psocos日的電解：球面上的總電荷量等于面電荷密度沿 r=ar=a 的球面上的積分。在球 面上選擇一個小的球環(huán)，面積為dq，對應(yīng)的弧長為di=adr，因此，dsr=2二asin)dl =2-asi n)ad。n2q = Eds= Psocosds=PscosB2兀a sinBdB=O2.142.14 題，在下列條件下，對給定點求 divEdivE 的值：(1)E=ex(2xyz-y2)十ey(x2z 2xy)+ ezX2yV/m，求點R(2,3,1)處 divEdivE 的值。(2)E=e：2，z2sin2e，z2s

2、in2 ez22zsin2V / m，求點P2( 2=110 ,z = -1)處 divEdivE 的值。解:aaa/、divE= (2xyz-y2) +三(x2z-2xy)+-(x2y) =2yz-2x(1):x；y；z=2 3 (-1)-2 2 1011divE= (2 -z2sin2) (z2sin2 )：(22zsin2)：-：.T：-： z(2)= 4z2s in22z2cos2 22si n2= 9.062.152.15 題，半徑為 a a 的球中充滿密度為p(r)(r)的體電荷，已知電位移分布為：er(r3Ar2), (0 : r _ a)D =erDr= W+Aa4、/、er(

3、2一),(rza)Lr其中 A A 為常數(shù)，試求電荷密度p(r)(r)。解：利用高斯定理的微分形式，即；LD=得：八|_D|_D= $二(r2DJr倉在 r ra a 區(qū)域中：J=I|_D= A二r2(旦 超)=0r crr2 2. 2020,在半徑 a a= 1mm1mm 的非磁性材料圓柱形實心導(dǎo)體內(nèi)，沿 z z 軸方 向通過電流 I I = 20A20A，試求：(1 1)0.8mm處的 B B; (2 2)1.2mm處的 B B; (3 3)圓柱內(nèi)單位長度的總磁通。解：(1)圓柱形導(dǎo)體內(nèi)的電流密度為I2062J =ezez形A/m2二ez6.37 106A/m2兀a2叫1F0 )2利用安培

4、環(huán)路定律得2二B，%J：2%mm二e 1 %J e 3.2 10JT(2)利用安培環(huán)路定律得Bi.2mm=e0e 3.33 10T2.(3)圓柱內(nèi)單位長度的總磁通為a11P2a=JBLdS =丄 JPdP=40J 占20202 0=2 10 Wb2 2. 2222 通過電流密度為 J J 的均勻電流的長圓柱導(dǎo)體中有一平行的圓柱 形空腔，其橫截面如圖題 2.222.22 所示。試計算各部分的磁感應(yīng)強度， 并證明空腔內(nèi)的磁場是均勻的。解：因空腔中電流密度為零，可視為同時存在 J J 和一 J J 的電流密度,這樣，可將原來的電流分布視為如下兩個電流分布的疊加： 一個電流 密度為 J J,均勻分布在

5、半徑為 b b 的圓柱內(nèi)；另一個電流密度為一 J J,均 勻分布在半徑為 a a 的圓柱內(nèi)。空間的場，便是它們共同產(chǎn)生的。由安培環(huán)路定律 匚B岀I二% %1 1，可得到電流密度為 J J、均勻分布在半徑為 b b 的圓柱內(nèi)的電流產(chǎn)生的磁場為：1 .%Je rb2Jb2e2rb30 ez半徑為 a a 電流密度為一 J J 的圓柱的磁場為:將上面兩式疊加，可得空間各區(qū)域的場:可見，空腔內(nèi)是均勻場。2 2. 2424 有一導(dǎo)體滑片在兩根平行的軌道上滑動，整個裝置位于正弦時 變磁場B =ez5cos t mT之中，如圖所示?；奈恢糜蓌= 0.35(1-cos051)m確定，軌道終端接有電阻R=

6、0.2,rb bJI+ezer其中,J I01亠e2rI呂ezer1 .%Jezxra2ra12飛JJb2ezra2rara arara、G分別是點Oa和Ob到場點 P P 的位置矢量。1圓柱外：B =圓柱內(nèi)的空腔空腔內(nèi)：B=112 2,/b a、oJez(Tr - ra)rr11a2BoJez( ra)2rr111coJez(- r-ral JJez-rr 2c求電流 i i。lb一Rdc-u-0.7m解：穿過導(dǎo)體回路 abcdaabcda 的磁通為:二B CdS二ezBezad ab= 5cos t 0.2(0.7 - x)二-cos t0.7 - 0.35(1 - cos t)二-0.3

7、5cos t(1 cos t)因此，感應(yīng)電流為名1 d1i -0.35 sin t(1 cos t)RR dtR二T.75 sin t(1 2cos t) mA2 2. 2626 求下列情況下的位移電流密度的大小(1)(1) 某移動天線發(fā)射的電磁波的磁場強度H二ex0.15cos(9.36 108t - 3.12y)A/m(2)(2) 一大功率變壓器在空氣中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B =ey0.8cos(3.77 102t T.26 10”x)T(3)(3) 一大功率變壓器在填充的油中產(chǎn)生的電場強度E =ex0.9cos(3.77 102t-2.81 10z)MV/m設(shè)油的相對介電常數(shù)5(4)(4)工

8、頻(f=50Hzf=50Hz)下的金屬導(dǎo)體中,J二ex0.1sin(377t - 117.1z)MA/m2ty0.2m設(shè)金屬導(dǎo)體的；二；0二J0r=5.8 107s/m解：Hx-ez0.15cos(9.36 108t - 3.12y)A/m2-ez0.468sin(9.36 108t- 3.12y)A/m2二0.468A/ m2-ez-0.8cos(3.77 102t -1.26 10 x)二ez0.802sin(3.77 102t -1.26 10 x)A/m2二0.802A/m2(3)(3)“r oE E=52.9106cos(3.77 1022.81 10%(1(1)在真空中，傳導(dǎo)電流為

9、 0 0,因此由H二空，得到位移電流為:ez：Hxy(2)(2)由H:t,得到位移電流為:exeyezL、xyBy-4262-6二ex5 8.85 100.9 10 cos(3.77 10 t-2.81 10 z)一ex15 10*si n(3.77 102t-2.81 10“z)A/m2-15 10_3A/m2=ex1.72江10, sin(377t - 117.1z)V / mD二；E=ex8.85 10J21.72 10sin(377t-117.1z)Jd- = ex15.26 10-14377cos(3.77 102t -117.1z)二ex57.53 10_12cos(3.77 10

10、2t - 117.1z)A/m故Jd| = 57.530,2A/m22 2. 2727 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑 a=1mma=1mm,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑 b=4mmb=4mm,內(nèi)外 導(dǎo)體間為空氣，如圖所示。假設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場強度為E = e100cos(1kz)V/m。( 1 1)求與 E E 相伴的 H H; (2 2)確定 k k的值；(3 3)求內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度；(4 4)求沿軸線0乞zm區(qū)域 內(nèi)的位移電流。解:(1(1)由麥克斯韋方程組得到E - - -H，因此31 . 1E = -e :t %；z100k.=-esi n(10t-kz)將上式對時間 t t 積分，得到He J0% c

11、os(1(ftkz) %：10(2(2)為確定 k k 值，將上述 H H 代入 i iH =主得到.:t主丄H二1 1-t；o；0 r2100k28e8si n(10t-kz)102將上式對時間t積分，得到E嚴(yán)十0敬偵七)將其與題中的 E E 比較，得到k2o；1O161因此：k = rad / m3同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電場和磁場表示為:E =e:?cos(1051z)V /mH=eMcos(108t z)A/m(3(3)將內(nèi)導(dǎo)體視為理想導(dǎo)體，利用理想導(dǎo)體的邊界條件即可求出內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度Js =enH10081宀=e：、ecos(101 z)3120 :81二ez265.3cos(1

12、0 tz) A/m位移電流密度為:3E100R 1、rJd =；oo e cos(10t z)戲 淤尸P38.85 10，.“81、“，2二-esin(10 tz)A/mHP3(4)在0乞z乞1m區(qū)域內(nèi)的位移電流為：1 2 1 81id=Jd US= 0Jdli岸兀Pdz =一2兀漢8.85漢10J0sin(10 t一一z)dz3_2811=一2兀X8.85H100y0 的區(qū)域(煤8質(zhì) 1 1)內(nèi)的電場強度為E = ey20cos(2 10t2.58z)V/m，試計算 t=6nst=6ns 時：(1 1)點 P P (2 2, 0 0, 0.30.3)處的面電荷密度； (2 2)點 P P處的 H H;(3 3)點 P P 處的面電流密度Js。解：(1 1)Ps =enD y,zA3 =鳥20漢5昴cos(2匯10*t 2.58z)= 80.6 10 C/m2(2 2)由 I I E E 二里，得到-Il E= -l(-ex旦)二ex丄