多動(dòng)點(diǎn)綜合題中等腰三角形的專題研究

1、多動(dòng)點(diǎn)綜合題中等腰三角形的專題研究廣東省東莞市光明中學(xué)許昌動(dòng)態(tài)幾何題是各地中考“壓軸題”的亮點(diǎn)之一。這類題型的信息量大，經(jīng)常把數(shù)與方程、函數(shù)與幾何、函數(shù)與解直角三角形、函數(shù)與面積等聯(lián)系在一起。解題時(shí)要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察、思考、研究問題，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)、變化的全過程，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想去解決問題。如果把中考數(shù)學(xué)的壓軸題比喻成皇后頭上的皇冠的話，壓軸題中的壓軸問題就是皇后皇冠上的一顆最璀璨奪目的明珠。近幾年的多個(gè)地區(qū)中考試題壓軸題的最后一問，都是以多動(dòng)點(diǎn)的幾何背景為載體，探究等腰三角形的問題。本文通過對(duì)幾何背景綜合題中等腰三角形的專題研究，尋找解題規(guī)律，了解、掌握

2、在幾何背景綜合題中等腰三角形的常見解法，并感悟解幾何背景綜合題的一般思考方法，以供九年級(jí)師生復(fù)習(xí)參考之用。一、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)角的兩邊上“逆向”運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)定點(diǎn)在角的頂點(diǎn)上的等腰三角形【案例1】（2008山西）如圖（1），已知直線的解析式為，直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在直線從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)。點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒（）。（1）求直線的解析式。（2）設(shè)PCQ的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。（3）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，PCQ為等腰三角形？圖（1）解：（1

3、）過程略，答案：的解析式為（2）過程略，答案：=（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向這類問題首先要弄清楚對(duì)于PCQ而言，那些是頂點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，那些點(diǎn)是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在哪條線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向是怎樣的，所以我們?cè)趫D（1）上標(biāo)出了PCQ的動(dòng)點(diǎn)（P、Q）和定點(diǎn)（C），以及P、Q的運(yùn)動(dòng)方向，由此我們可以看出這個(gè)動(dòng)點(diǎn)三角形屬于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)角的兩條邊上“逆向”運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)定點(diǎn)在角的頂點(diǎn)上的等腰三角形。畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（“動(dòng)”中取“靜”）按照運(yùn)動(dòng)時(shí)間先后的順序，往往存在三種情況，這里體現(xiàn)了分類討論的思想，PCQ的三邊兩兩分別相等，如圖QP=QC，CP=CQ，PC=PQ，這個(gè)過程需要讀者在備用圖中

4、試畫。只有畫出來才能求出來，所以這一步在整個(gè)問題中是相當(dāng)關(guān)鍵的，注意不要重復(fù)和遺漏。在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程根據(jù)題意我們可知，很多和問題有關(guān)的邊長(zhǎng)都可以用時(shí)間的式子表示出來，PC=，CQ=，建立等式模型時(shí)，我們往往要運(yùn)用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似，但利用以上的方法所需的基本圖形是直角三角形，所以我們這里要把一個(gè)等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的直角三角形。如圖，當(dāng)QC=QP，過Q作QD軸于D，D點(diǎn)為PC中點(diǎn)，則CD=PC=，圖形中可確定三邊的RtBOC，恰好這個(gè)直角三角形與我們把等腰三角形QPC分割出來的RtQDC公共BCO，根據(jù)“A”型相似或平行相

5、似，則QDCBOC，即，解得如圖，當(dāng)CP=CQ時(shí)，這時(shí)CP與CQ正好也在BCO的兩邊上，解得如圖，當(dāng)PC=PQ時(shí)，過P作PE于E，則CE=CQ=，這時(shí)分割出的RtPEC與已知的RtBOC仍然公共BCO，并形成斜“A”型相似，則PECBOC，即，解得，綜上所述，當(dāng)，或5，或時(shí)，（都滿足），PCQ為等腰三角形【總結(jié)】以上題目是動(dòng)點(diǎn)和函數(shù)思想相結(jié)合以幾何圖形為背景，以動(dòng)點(diǎn)為元素,構(gòu)造動(dòng)態(tài)型幾何問題。解此類題目，應(yīng)從相關(guān)圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分類討論來解決。此類問題較多地關(guān)注學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)的理解,用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去看待一般函數(shù)和圖形結(jié)合的問題,具有較強(qiáng)的綜合性?！揪毩?xí)】（2009濟(jì)南）如圖（2），在梯形中，

6、,圖（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（1）求的長(zhǎng)。（過程略，）（2）當(dāng)時(shí)，求的值。(過程略，)（3）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形。解：（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向（請(qǐng)讀者自行在圖（2）中完成）畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（請(qǐng)讀者自行在練習(xí)圖中完成）在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點(diǎn)撥：此問所需要確定三邊的直角三角形，目標(biāo)就鎖定到梯形分割出右邊的這個(gè)直角三角形，這個(gè)三邊都可以求出的直角三角形還與動(dòng)態(tài)公共C，可利用案例一的討論方法求出相應(yīng)的

7、時(shí)間，注意這題中M、N兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的速度不一樣了，此問答案為當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形，過程請(qǐng)讀者自行完成?！景咐?】（2009仙桃）如圖（3），直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，已知ADAB3，BC4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D 出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)NP、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(1)求NC，MC的長(zhǎng)(用t的代數(shù)式表示)；（過程略，）(2)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？(過程略，)(3)是否存在某一時(shí)刻

8、，使射線QN恰好將的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（過程略，不存在）(4)探究：為何值時(shí)，為等腰三角形？解：（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向由題意可知Q、M、N三點(diǎn)在同一條直線上，M、N隨著Q點(diǎn)的移動(dòng)而移動(dòng)畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖畫出動(dòng)態(tài)的三種情況，如圖、在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程此問所用到的方法和案例1有所不同，這時(shí)只知道P、Q兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的速度，所以動(dòng)態(tài)的CM邊不能直接用的式子表示出來，此題的PC=，CN=，接下來就要圍繞者PC，CN兩邊來建立方程。如圖，當(dāng)MP=MC，而MNPC， 則N點(diǎn)為PC中

9、點(diǎn)，有PC=2NC，有解得：=如圖，當(dāng)CM=CP時(shí)，CM=CP=，CN=，而由圖中可以知RtMNC與RtABC公共ACB，根據(jù)“A”型相似或平行相似，解得：如圖，當(dāng)PM=PC時(shí)，PM=PC=，則PN=CNPC=， RtMNC與RtABC公共ACB，本應(yīng)該利用這種平行相似關(guān)系建立方程，可RtMNC只有一邊CN可以由表示出來，只有利用其它方法建立等式，由上可知RtMNP中的PM、PN都可以用表示出來，只差最后一邊MN沒有用表示出來，這里剛好可以利用RtMNC與RtABC相似把MN也用表示出來，,則MN=，最后我們利用在RtMNP中存在勾股定理，完成建立方程的步驟，,，解得（-1舍）綜上所述當(dāng)、或時(shí)

10、，為等腰三角形二、兩動(dòng)點(diǎn)在兩條平行線上同向運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在另一邊上運(yùn)動(dòng)的等腰三角形問題【案例3】（2008溫州）如圖（4），在RtABC中，A90?，AB6，AC8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQBC于Q，過點(diǎn)Q作QRBA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)設(shè)BQx，QRy（1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)；(過程略，)（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍，過程略，）；（3）是否存在點(diǎn)P，使PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向由題意可知，點(diǎn)Q

11、隨點(diǎn)P向右移動(dòng)而向右平行移動(dòng)，而點(diǎn)R又隨Q的移動(dòng)而移動(dòng)。畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖畫出動(dòng)態(tài)的三種情況，如圖、案例3（3）圖案例3（3）圖案例3（3）圖在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程根據(jù)題意我們可知，PQ=，BQx，RQ=，建立等式模型時(shí)，和案例1相同，我們這里要把一個(gè)等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的直角三角形。如圖，當(dāng)PQ=PR，過P作PMRQ于M，M點(diǎn)為RQ中點(diǎn)，則QM=RQ=，由題意可知1+2=90°，C+B=90°，2=B，則1=C，即RtQMPRtCAB，即，解得如圖，當(dāng)QP=QR時(shí)，=，解得如圖，當(dāng)RP=RQ時(shí)，過R作

12、RNPQ于N，則NQ=PQ=，NQR+RQC=90°，RQC +C=90°,則NQR=C，則RtQNRRtCAB，即，解得，綜上所述，當(dāng)為，或6，或時(shí)，PQR為等腰三角形?！揪毩?xí)】（2009江西）如圖（5），在等腰梯形中，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)到的距離；(過程略，到的距離為)（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè).當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖（6），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說明理由；（過程略，的周長(zhǎng)=）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖（7），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：

13、（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向（請(qǐng)讀者自行在圖（7）中完成）畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（請(qǐng)讀者自行在練習(xí)圖中完成）在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點(diǎn)撥：當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PMN的形狀發(fā)生改變，但MNC恒為等邊三角形。過E作EGBC于G，PM=EG=，GM=EP=，MN=NC=MC=5-，此問用到的方法與案例3類似，只不過這題B的度數(shù)更為特殊，由等腰三角形分解為直角三角形就為30°的直角三角形，所以用銳角三角函數(shù)比相似更容易建立方程，此問答案為當(dāng)、或時(shí)，PMN為等腰三角形，過程請(qǐng)讀者自行完成。三、兩動(dòng)點(diǎn)在同一直線上運(yùn)動(dòng)，

14、另一動(dòng)點(diǎn)在另一邊上運(yùn)動(dòng)的等腰三角形問題【案例4】（2009懷化）如圖（8），在直角梯形OABC中， OACB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（15，0），B（10，12），動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)線段OB、PQ相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEOA，交AB于點(diǎn)E，射線QE交軸于點(diǎn)F設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ是等腰梯形，請(qǐng)寫出推理過程；（過程略，t =）（2）當(dāng)t=2秒時(shí)，求梯形OFBC的面積；（過程略，S=174）（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQF

15、是等腰三角形？請(qǐng)寫出推理過程解：（3）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向點(diǎn)P、F同向向x軸右移動(dòng)，點(diǎn)Q在與x軸平行的BC上向左移動(dòng)畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點(diǎn)撥：此題由于動(dòng)態(tài)PQF的三邊任何時(shí)候都可以表示出來，所以分析可以忽略，直接把三邊表示出來（表示三邊的過程用到了相似與勾股定理），令其兩兩分別相等建立方程。由題意可知QB=t，OP=2t，可推到出AF=2t，進(jìn)而PF=15-2t+2t=15，QP=，QF=當(dāng)PQ=PF時(shí)，則=15，解得或當(dāng)QP=QF時(shí)，則=，解得當(dāng)FQ=FP時(shí)，則=15，解得或（舍）綜上所述，當(dāng)

16、，時(shí)，PQF是等腰三角形【拓展】（2009江蘇）如圖（9-1），已知射線DE與軸和軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿軸向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（1）請(qǐng)用含的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)；（答案：，）（2）以點(diǎn)C為圓心、個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），連接PA、PB當(dāng)與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；（答案：）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值解：（2-2）【分析】確定定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向A、B同向向x軸左移動(dòng)，P點(diǎn)由點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)畫出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點(diǎn)撥：此題由于動(dòng)態(tài)PAB的三邊任何時(shí)候都可以表示出來，所以分析可以忽略，直接把三邊表示出來（表示三邊的過程用到了相似與勾股定理），令其兩兩分別相等建立方程。如圖（9-2）由題意可知MC=t，BC=CA=，則MB=BC=CA=，進(jìn)而AB=t，OA=，OB=,又PD=t，由相似可知PQ=，QD=，OQ=QP=QF=此問的答案為當(dāng)，時(shí)，PAB是等腰三角形，過程請(qǐng)讀者自行完成。新課程實(shí)施以來，以動(dòng)點(diǎn)幾何為背景的壓軸題，以等腰三角形為重要考點(diǎn)，是近年來中考?jí)狠S題中的一種重要題型。這類試題