線性代數5習題課PPT學習教案

1、會計學1定義定義., , 22112121的的內內積積與與稱稱為為向向量量令令維維向向量量設設有有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn 第1頁/共86頁., 都是列向量都是列向量其中其中內積的矩陣表示內積的矩陣表示yxyxyxT .,)3(;,)2(;,)1(:),( zyzxzyxyxyxxyyxnzyx 為為實實數數量量維維向向為為其其中中內內積積滿滿足足下下列列運運算算規(guī)規(guī)律律第2頁/共86頁定義定義).(, 22221或范數或范數的長度的長度維向量維向量稱為稱為令令xnxxxxxxxn 向量的長度具有下列性質：向量的長度具有下列性質：.)3(;)2(; 0,0; 0,0)

2、1(yxyxxxxxxx 三角不等式三角不等式齊次性齊次性時時當當時時當當非負性非負性 第3頁/共86頁.,1為為單單位位向向量量稱稱時時當當xx ).0( , 1, 2時時當當從從而而有有不不等等式式向向量量的的內內積積滿滿足足施施瓦瓦茨茨 yxyxyxyyxxyx第4頁/共86頁定義定義.,arccos ,0, 0的的夾夾角角與與維維向向量量稱稱為為時時當當yxnyxyxyx ., 0.,0,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若正交正交與與稱向量稱向量時時當當xxyxyx 第5頁/共86頁所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量向量空間的基若是正

3、交向量組，就稱為正向量向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基交基定理定理.,2121線線性性無無關關則則零零向向量量是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的非非維維向向量量若若aaaaaanrr.,)(,212121的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是則則稱稱兩兩兩兩正正交交如如果果的的一一個個基基是是向向量量空空間間維維向向量量設設VeeeeeeRVVeeenrrnr 定義定義第6頁/共86頁)., 2 , 1(, ,221121rieaaeeeeaaVVeeeiTiirrr 其其中中都都可可表表為為中中任任一一向向量量那那么么的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是若若施密特正交化方法施密特正交化方

4、法.,2121范范正正交交化化這這個個基基規(guī)規(guī)只只需需把把的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個個基基是是向向量量空空間間設設aaaVVaaarr第7頁/共86頁.,.,;,;2121111122221111111212211等價等價且與且與兩兩正交兩兩正交則則取取aaabbbbbbabbbbabbbbababbbbabababrrrrrrrrrrr 第一步正交化第一步正交化第8頁/共86頁第二步單位化第二步單位化.,1,1,1222111的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基就就得得取取Vbbebbebberrr 第9頁/共86頁定義定義.),( 1為為正正交交矩矩陣陣那那么么稱稱即即

5、滿滿足足階階矩矩陣陣如如果果AAAEAAAnTT .)(的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基向向量量構構成成向向量量空空間間行行個個列列的的正正交交矩矩陣陣RnAn方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交（列）向量都是單位向量，且兩兩正交AA第10頁/共86頁定義定義若為正交矩陣，則線性變換稱為若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換正交變換正交變換的特性在于保持線段的長度不變正交變換的特性在于保持線段的長度不變.,xxxpxPxyyyPxyTTTT 則則有有為為正正交交變變換換設設PPxy 第11頁/共86頁定義定義.,的特征向量的特征向

6、量的對應于特征值的對應于特征值稱為稱為量量非零向非零向的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數這樣的數那么那么成立成立使關系式使關系式維非零列向量維非零列向量和和如果數如果數階矩陣階矩陣是是設設 AxAxAxxnnA .)(.0的特征多項式的特征多項式稱為方陣稱為方陣的特征方程的特征方程稱為方陣稱為方陣AEAfAEA 第12頁/共86頁.)2(;)1(,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij 則有則有的特征值為的特征值為若若個特征值個特征值有有階方陣階方陣第13頁/共86頁.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值特征值的的是是的特征值

7、的特征值是是可逆時可逆時當當其中其中的特征值的特征值是是為任意自然數為任意自然數的特征值的特征值是是的特征值的特征值也是也是則則的特征值的特征值是是設設AAAAAaAaEaAaaaAkAAaAmmmmkkTijnn 第14頁/共86頁定理定理., , , 21212121征征向向量量是是線線性性無無關關的的即即屬屬于于不不同同特特征征值值的的特特線線性性無無關關則則各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是與與之之對對應應的的特特征征個個特特征征值值的的是是方方陣陣設設ppppppmAmmmm 定理定理 屬于同一個特征值的特征向量的非零線性屬于同一個特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個

8、特征值的特征向量組合仍是屬于這個特征值的特征向量第15頁/共86頁定義定義.,.,11的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進行相似變換進行相似變換稱為對稱為對進行運算進行運算對對相似相似與與或說矩陣或說矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設設BAPAAPPABAABBAPPPnBA 矩陣之間的相似具有矩陣之間的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)對稱性；對稱性；(3)(3)傳遞性傳遞性第16頁/共86頁.,)2( 2121個特征值個特征值的的是是則則相似相似與對角矩陣與對角矩陣若若nAAnn 若與相似，則與

9、的特征多項式若與相似，則與的特征多項式相同，從而與的特征值亦相同相同，從而與的特征值亦相同ABAABB)1(第17頁/共86頁.)()(,.)()(,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk 則有則有為對角陣為對角陣使使若有可逆陣若有可逆陣特別地特別地則則若若(4)(4)能對角化的充分必要條件是有個線能對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量性無關的特征向量AAn(5)(5)有有 個互異的特征值，則個互異的特征值，則 與對角陣相似與對角陣相似AAn第18頁/共86頁.)1(實實數數實實對對稱稱矩矩陣陣的的特特征征值值為為.)2(量量必必正正交交特特征征值值的的

10、特特征征向向實實對對稱稱矩矩陣陣的的屬屬于于不不同同.,)3(個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量的的必必有有則則對對應應重重特特征征值值的的是是實實對對稱稱矩矩陣陣若若rrA .,.)4(1對對角角陣陣個個特特征征值值為為對對角角元元素素的的的的以以是是其其中中使使得得則則必必有有正正交交陣陣稱稱陣陣階階實實對對為為即即若若實實對對稱稱矩矩陣陣必必可可對對角角化化nAAPPPnA 第19頁/共86頁定義定義.2 22 ),( ,1, 1311321122222221112121稱稱為為二二次次型型的的二二次次齊齊次次函函數數個個變變量量含含有有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxx

11、nnnnnnnnnn 第20頁/共86頁., .,的的秩秩的的秩秩稱稱為為二二次次型型稱稱陣陣對對的的二二次次型型稱稱為為對對稱稱陣陣的的矩矩陣陣為為二二次次型型稱稱其其中中二二次次型型可可記記作作fAAffAAAAxxfTT 二次型與它的矩陣是一一對應的二次型與它的矩陣是一一對應的.,;,稱為實二次型稱為實二次型是實數時是實數時當當稱為復二次型稱為復二次型是復數時是復數時當當fafaijij第21頁/共86頁定義定義).( 2222211或或法法式式稱稱為為二二次次型型的的標標準準形形只只含含平平方方項項的的二二次次型型ykykykfnn 第22頁/共86頁).()(,)1(ARBRBAAC

12、CBCT 且且亦為對稱陣亦為對稱陣則則陣陣為對稱為對稱如果如果令令任給可逆矩陣任給可逆矩陣.)(,),()2(2122222111,的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中化化為為標標準準形形使使有有正正交交變變換換總總任任給給實實二二次次型型aAfyyyffPyxaaxxafijnnnjiijjinjiij 第23頁/共86頁.,)3(變變換換換換一一般般而而言言不不是是正正交交此此時時所所用用的的可可逆逆線線性性變變形形二二次次型型化化為為標標準準拉拉格格朗朗日日配配方方法法亦亦可可把把第24頁/共86頁定義定義., 0)(, 0;,),0)0(0)(, 0,)(是負定的是負定的并稱對稱矩

13、陣并稱對稱矩陣為負定二次型為負定二次型則稱則稱都有都有如果對任何如果對任何是正定的是正定的稱對稱矩陣稱對稱矩陣并并為正定二次型為正定二次型則稱則稱顯然顯然都有都有如果對任何如果對任何設有實二次型設有實二次型AfxfxAffxfxAxxxfT 第25頁/共86頁.,),0(),0(,212122222112222211數數的的個個數數相相等等中中正正中中正正數數的的個個數數與與則則及及使使及及實實的的可可逆逆變變換換有有兩兩個個它它的的秩秩為為設設有有實實二二次次型型 rrirrirrTkkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 第26頁/共86頁.2)(; ;,21量量化化線線性性變

14、變換換的的不不變變它它們們是是二二次次型型對對于于非非退退差差的的符符號號稱稱為為稱稱為為負負慣慣性性指指數數數數稱稱為為正正慣慣性性指指中中正正數數的的個個數數frpprpNpsNprpkkkr 注意注意第27頁/共86頁;,:)1(npnAxxfT 即即正正慣慣性性指指數數個個系系數數全全為為正正它它的的標標準準形形的的是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條件件實實二二次次型型;:)2(特特征征值值全全為為正正的的是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條件件對對稱稱矩矩陣陣AA第28頁/共86頁)., 2 , 1( , 0)1( ,:; 0,; 0; 0 ,:)(3(1111111122

15、21121111nraaaaAaaaaaaaaaAArrrrrnnnn 即即而偶數階主子式為正而偶數階主子式為正式為負式為負奇數階主子奇數階主子是是為負定的充分必要條件為負定的充分必要條件對稱矩陣對稱矩陣即即的各階主子式都為正的各階主子式都為正要條件是要條件是為正定的充分必為正定的充分必對稱矩陣對稱矩陣霍爾維茨定理霍爾維茨定理第29頁/共86頁一、證明所給矩陣為正交矩陣一、證明所給矩陣為正交矩陣二、將線性無關向量組化為正二、將線性無關向量組化為正交單位向量組交單位向量組三、特征值與特征向量的求法三、特征值與特征向量的求法四、已知的特征值，求與四、已知的特征值，求與相關矩陣的特征值相關矩陣的特征

16、值AA第30頁/共86頁五、求方陣的特征多項式五、求方陣的特征多項式六、關于特征值的其它問題六、關于特征值的其它問題七、判斷方陣可否對角化七、判斷方陣可否對角化八、利用正交變換將實對稱八、利用正交變換將實對稱矩陣化為對角陣矩陣化為對角陣九、化二次型為標準形九、化二次型為標準形AA第31頁/共86頁;, 2 , 1,),()(111njiaaaaijjknkikijkjnkki 或或交條件交條件元素滿足正元素滿足正或行或行證明矩陣的各列證明矩陣的各列方法方法.,2EAAATT 驗證驗證然后然后先求出先求出根據正交陣的定義根據正交陣的定義方法方法第32頁/共86頁.)/(2,為正交矩陣為正交矩陣證

17、明證明階單位矩陣階單位矩陣為為維列向量維列向量是是設設aaaaEAnEnaTT 例1例1證明證明.,EAAAATT 證證義義驗驗然然后后根根據據正正交交矩矩陣陣的的定定先先驗驗證證)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2( ,A AAT)/2()/2(aaaaEaaaaETTTT AA 第33頁/共86頁.)()( /4)( /2)( /22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT .2,1是正交矩陣是正交矩陣時時特別當特別當aaEAaaTT , 0為一非零數為一非零數aaaT ),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAATTTTT .是正

18、交矩陣是正交矩陣故故A第34頁/共86頁將線性無關向量組化為正交單位向量組，可將線性無關向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可同時進行正交化與以先正交化，再單位化；也可同時進行正交化與單位化單位化.,1001,0101,0011321向量組向量組求與之等價的正交單位求與之等價的正交單位無關向量組無關向量組是線性是線性已知向量已知向量 例2例2第35頁/共86頁解一解一先正交化，再單位化先正交化，再單位化;)1(11 取取,)2(12212正交正交與與使得使得令令 k, 0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故第36頁/共86頁得得交交正正與與且且令令, ,

19、 )3(123322113 kk,21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故第37頁/共86頁得得單位化單位化將將,)4(321 333 111 222 ;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 第38頁/共86頁解二解二同時進行正交化與單位化同時進行正交化與單位化并單位化得并單位化得取取,)1(11 111 ;002121 得得正交正交與與使得使得令令,)2(12212 k,21 k,21 第39頁/共86頁.06261612 ,0121212 得得正交正交與與且且令令,)3(123322113 kk,311 k,322 k,21 ,61

20、 第40頁/共86頁.23)32(1)32(1)32(13 ,13131313 .,321為所求之向量組為所求之向量組則則 第41頁/共86頁第三步第三步將每一個特征值代入相應的線性方程組，將每一個特征值代入相應的線性方程組，求出基礎解系，即得該特征值的特征向量求出基礎解系，即得該特征值的特征向量第一步第一步計算的特征多項式；計算的特征多項式；A第二步第二步求出特征多項式的全部根，即得的全部求出特征多項式的全部根，即得的全部特征值；特征值；A第42頁/共86頁.3242024233和特征向量和特征向量的全部特征值的全部特征值階實矩陣階實矩陣計算計算 A例3例332422423)( AEf.)1

21、( )8(2 解解第一步計算的特征多項式第一步計算的特征多項式A第43頁/共86頁.,)(的全部特征值的全部特征值即即的全部根的全部根求出特征多項式求出特征多項式第二步第二步Af ., 1, 8, 0)(321全部特征值全部特征值的的為為解之得解之得令令Af .0)(, 811的一個基礎解系的一個基礎解系求相應線性方程組求相應線性方程組對對 xAE 第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量A第44頁/共86頁 , 0524, 0282, 0425321321321xxxxxxxxx.2121 個基礎解系個基礎解系化簡求得此方程組的一化簡求得此方程組的一).0(81111數數為實為實的全

22、部特征向量為的全部特征向量為屬于屬于 kk 第45頁/共86頁.021,101:, 0424, 022, 0424:0)(, 122321321321232 基礎解系基礎解系求解得此方程組的一個求解得此方程組的一個的一個基礎解系的一個基礎解系求相應線性方程組求相應線性方程組同理對同理對xxxxxxxxxxAE第46頁/共86頁., 1 32332232是不全為零的實數是不全為零的實數的全部特征向量為的全部特征向量為的屬于的屬于于是于是kkkkA .,0,;321332211是不全為零的實數是不全為零的實數為實數為實數里里這這的全部特征向量為的全部特征向量為從而從而kkkkkkA 第47頁/共8

23、6頁.,121量量的特征值與特征向的特征值與特征向求求的特征向量為的特征向量為于于屬屬的全部特征值為的全部特征值為階方陣階方陣設設APPAniin 例4例4解解.1式式它們有相同的特征多項它們有相同的特征多項只需證明只需證明有相同的特征值有相同的特征值與與首先證明首先證明APPA APPEfAPP1)(1 APPPP11 AA第48頁/共86頁PAEP 1),( fAEA .,121的全部特征值的全部特征值就是就是APPn .1的特征向量的特征向量屬于屬于其次求其次求 iAPP , iiiA iiAPPE)(1 又又, 0)( iiAE即即 iiAPPPP)(11 ,)(1 iiPAEP 第4

24、9頁/共86頁 iiPAPPE11)( ),()(111 iiiPPAPP 即即 iiPPAEP11)( , 0)(1 iiAEP.11的特征向量的特征向量屬于屬于是是故故 iiAPPP 第50頁/共86頁.,)2( ;)1(:,)(,10111的特征多項式的特征多項式求求非奇異時非奇異時當當的特征多項式的特征多項式求求求求其特征多項式為其特征多項式為階方陣階方陣是是設設AAAaaaAEfnATnnnA 例5例5解解AEfTAT )()1(.有相同的特征多項式有相同的特征多項式與與AAT)(AET AE ),( fA A第51頁/共86頁則則的全部特征值的全部特征值是是設設,)2(21An )

25、1()1)(1(21 n ,111211的全部特征值的全部特征值是是An 的特征多項式為的特征多項式為故故A1 AEfA1)(1 .1001101aaaaannn 第52頁/共86頁AA的行列式的行列式用特征根計算方陣用特征根計算方陣1.5;,5, 2, 1, 13,323321EABAABA 求求設設個特征值為個特征值為它的它的階矩陣階矩陣是是設設 例6例6解解.21AAAn來計算來計算要關系要關系的行列式與特征值的重的行列式與特征值的重利用利用 ,5)(23xxxf 令令,321的全部特征值的全部特征值是是因為因為A 第53頁/共86頁故故部特征值部特征值的全的全是是所以所以.5)()31

26、)(23BAAAfifi )(AfB )()()(321 fff .288)12)(6)(4( .5EA 下面求下面求方法一方法一,5)(EAAg 令令),(),(),()(321 gggAg的所有特征值為的所有特征值為所以所以, 2, 1, 1321 的所有特征值為的所有特征值為因為因為A第54頁/共86頁)(5AgEA .72)2()1()1( ggg方法二方法二, 2, 1, 1321 的所有特征值為的所有特征值為因為因為A. 22)1(1 A故故.724/28852 ABEA),5(5223EAAAAB 又又,52EAAB ,288 B但但第55頁/共86頁),2)(1)(1()( A

27、EfA所以所以方法三方法三, 2, 1, 1321 的所有特征值為的所有特征值為因為因為A.725)1(53 AEEA,72)25)(15)(15()5(5 fAEA第56頁/共86頁的可逆性的可逆性來討論來討論的特征值的特征值用方陣用方陣AkEA ,2., 0,;, 0,可逆可逆的特征值時的特征值時不是不是當當不可逆不可逆的特征值時的特征值時是是當當AkEAkEAkAkEAkEAk ?, 1,)2( ?8 ,)1( ,2是否可逆是否可逆且且的特征值的特征值是是設設是否可逆是否可逆若若階方陣階方陣為為設設EAAAEEAnA 例7例7解解, 1, 121 的特征值為的特征值為A,)1(2EA 第

28、57頁/共86頁.8可逆可逆從而從而AE ,8的特征值的特征值不是不是故故Ak ., 1,均可逆均可逆對對一般地一般地AkEk 于是于是的特征值的特征值不是不是所以所以因為因為,1, 1)2(A .均為可逆矩陣均為可逆矩陣故故EA . 0)1( , 01 AEAE,)1()(EAAEAEn 又又; 0 EA,)1()(EAEAAEn , 0 EA第58頁/共86頁.),(0,)2(?)1(.00221100不可對角化不可對角化證明證明且至少有一且至少有一如果如果可對角化可對角化在什么條件下在什么條件下階下三角陣階下三角陣是是設設AjiaaaaAnAjinn 例8例8A解解(1)可對角化的充分條

29、件是有個互異的可對角化的充分條件是有個互異的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值AAAn第59頁/共86頁,02211 aaaAnnAEfA )(, 0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaann ).1(niaAiii 的所有特征值的所有特征值得得.,), 2 , 1,( 可對角化可對角化時時即當即當時時當當Aaanjijijjiiji , 0)( fA令令第60頁/共86頁.)2(用用反反證證法法.)1(),(,211的特征值的特征值是是使使則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣可對角化可對角化若若AnidiagAPPPAin 所以所以可知可知由由,)1(11aai

30、ii .111111111EaaaaAPP 第61頁/共86頁,11111111EaPPaPEaPA .,)(00000對角化對角化不可不可故故矛盾矛盾這與至少有一個這與至少有一個Ajiaji 第62頁/共86頁.,0202120221為對角陣為對角陣使使求正交變換求正交變換設實對稱陣設實對稱陣ATTTA 例9例9解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由 20212022 AE第63頁/共86頁, 0)2)(1)(4( . 2, 1, 4321 得得., 0)(的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxAEi 得得由由對對, 0)4(, 41 xAE .1221 解之得基礎解系解之得基

31、礎解系 , 042, 0232, 0223232121xxxxxxx第64頁/共86頁得得由由對對, 0)(, 12 xAE , 02, 022, 02323121xxxxxx.2122 解之得基礎解系解之得基礎解系得得由由對對, 0)2(, 23 xAE 第65頁/共86頁 , 022, 0232, 0243232121xxxxxxx.2213 解之得基礎解系解之得基礎解系., 3 , , .321兩正交兩正交故它們必兩故它們必兩量量個不同特征值的特征向個不同特征值的特征向的的屬于屬于是是因為因為將特征向量正交化將特征向量正交化第三步第三步A 第66頁/共86頁.將特征向量單位化將特征向量單

32、位化第四步第四步得得令令, 3 , 2 , 1, iiii .3/23/23/1,3/23/13/2,3/13/23/2321 第67頁/共86頁,22121212231),(321 T作作.2000100041 ATT則則第68頁/共86頁.2),(2231321為標準形為標準形用正交變換化用正交變換化xxxxxxf 例10例10.001010100,001010100),(),(321321321 AAxxxxxxxxxxxfT得實對稱矩陣得實對稱矩陣解解第一步將表成矩陣形式第一步將表成矩陣形式f第69頁/共86頁. 1, 1, 0)1( )1(.3212 得得由由的所有特征值的所有特征值

33、求出求出第二步第二步AEA.010,101 , 0)(.211 得得它它的的基基礎礎解解系系解解方方程程組組求求正正交交矩矩陣陣第第三三步步xAET第70頁/共86頁.010,2/102/1, 0,2221112121 得得將它們單位化將它們單位化正交正交與與得得單位化單位化得它的基礎解系得它的基礎解系解方程組解方程組,101 , 0)(33 xAE第71頁/共86頁.2/102/1333 .100010001,),(,132121331為對角陣為對角陣且且為正交矩陣為正交矩陣令令正交正交與與 ATTTT .)(.232221yyyyyyATTyfTyxTTT 作正交變換作正交變換第四步第四步

34、第72頁/共86頁.282102),(.,313221232221321xxxxxxxxxxxxf 性變換性變換并求相應的線并求相應的線準形準形用配方法化二次型為標用配方法化二次型為標例11例11解解xxxxxxxxxxxfxf3223223212132118102)(2),(., 應的線性變換應的線性變換并作相并作相的項集中進行配方的項集中進行配方中含中含將將第一步第一步第73頁/共86頁xxxxxxxxxxxx322322322322321218102)()()(2 .69)(3223223212xxxxxxx ,33223211xyxyxxxy作線性變換作線性變換,100010111 ,

35、 11 pxpy即即第74頁/共86頁.69),(32232221321yyyyyxxxf 得得.,69232232221并作相應的線性變換并作相應的線性變換項集中進行配方項集中進行配方的的中含中含將將第二步第二步y(tǒng)yyyyyf , 2221為所求標準形為所求標準形得得zzf ,100310001,3,223332211 PyPzyzyyzyz即即令令.)(12xPPPyz 相應的線性變換為相應的線性變換為.)3(32221yyyf 第75頁/共86頁第五章測試題第五章測試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共3232分分) )特征向量是特征向量是的特征值是的特征值是則方陣

36、則方陣的伴隨矩陣的伴隨矩陣是是階方陣階方陣是是設設, 2,A,n. 1 AABAAA的的特特征征值值為為則則的的特特征征值值為為三三階階方方陣陣2332, 2 , 1, 1. 2AABA 的的特特征征且且設設ABA 200031141,201034011. 3第76頁/共86頁 yxyBxA,1000000210100002. 4則則相相似似與與已已知知矩矩陣陣 的的矩矩陣陣是是二二次次型型232123222143212432,. 5xxxxxxxxxxxf .4225,. 6323121232221321是正定的是正定的實二次型實二次型時時當當xxxxxtxxxxxxxf 的特征值為的特征值為那么那么二重二重和和值為值為B),( 12第77頁/共86頁對應的二次型是對應的二次型是矩陣矩陣 314122421. 7A二、計算題（共二、計算題（共40分）分）.2)2( ;)1( ,321