第7講 微積分發(fā)展史

1、第7講 微積分發(fā)展史微積分是近代自然科學(xué)和工程技術(shù)中廣泛應(yīng)用的一種基本數(shù)學(xué)工具，它創(chuàng)立于17世紀(jì)后半葉的西歐，是適應(yīng)當(dāng)時(shí)社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展和理論科學(xué)的需要而產(chǎn)生的，同時(shí)又深刻地影響著生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。一、微積分產(chǎn)生的背景微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德的著作圓的測(cè)量和論球與圓柱中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲面的體積等問題中就隱含著近代積分的思想。極限理論作為微積分的基礎(chǔ)，也早在我國(guó)的古代就有非常詳盡的論述，但當(dāng)時(shí)人們習(xí)慣于研究常量和有限的對(duì)象，遇

2、到無窮時(shí)往往束手無策。生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，為微積分的誕生創(chuàng)造了條件。1492年哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸，由此證實(shí)了大地是球形；1543年，哥白尼發(fā)表的天體運(yùn)行論確立了“日心說”；開普勒在1609年提出了有關(guān)行星繞日運(yùn)動(dòng)的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望遠(yuǎn)鏡觀察了月亮、金星、木星等星球，把人們的視野引向遙遠(yuǎn)的地方。這些科學(xué)家拓展了人們對(duì)世界的認(rèn)識(shí)，引起了人類思想上的巨變。16世紀(jì)，西歐出現(xiàn)資本主義的萌芽，產(chǎn)生了新的生產(chǎn)關(guān)系，社會(huì)生產(chǎn)力有了很大的發(fā)展。從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，在航海、天文、礦山建設(shè)、軍事技術(shù)等方面有許多課題需要解決，

3、數(shù)學(xué)也開始進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代。通過這些向數(shù)學(xué)提出了如下4個(gè)問題：（1）由距離和時(shí)間的關(guān)系求瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度；反之，由速度求距離，由加速度求速度。（2）確定物體運(yùn)動(dòng)方向（切線方向）或光學(xué)中曲線的切線問題。（3）求最大、最小值問題。（4）一般的求積（面積、體積）問題，曲線長(zhǎng)問題，以及物體的質(zhì)量、重心等問題。在17世紀(jì)30年代創(chuàng)立的解析幾何學(xué)里，可以用字母表示流動(dòng)坐標(biāo)，用代數(shù)方程刻畫一般平面曲線，用代數(shù)演算代替對(duì)幾何量的邏輯推導(dǎo)，從而把對(duì)幾何圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)解析式的研究，使數(shù)與形緊密地結(jié)合起來。這種新的數(shù)學(xué)方法取代了古老的歐幾里得幾何的綜合方法，這種數(shù)學(xué)發(fā)展中的質(zhì)變，為17世紀(jì)下半葉微

4、積分的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件。1615年，開普勒在他的測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)中采用微元的方法研究了面積、體積等問題，例如，他認(rèn)為面積就是無窮多條線段之和，而線段可以看作無窮小的面積，用無窮多個(gè)同維的無窮小元素之和來確定曲邊形的面積和曲面體的體積是開普勒方法的精華。伽利略的學(xué)生卡瓦列里的最大貢獻(xiàn)是提出了“不可分原理”。1635年，卡瓦列里出版的用新的方法推進(jìn)連續(xù)體的不可分量的幾何學(xué)中認(rèn)為，面積是無數(shù)個(gè)等距平行線段構(gòu)成的，體積是無數(shù)個(gè)平行的平面構(gòu)成的，他分別把這些元素叫做面積和體積的不可分量，這種思想基本上就是微積分的思想了。他運(yùn)用“不可分原理”算出了一些面積和體積的結(jié)果，得到了等價(jià)于的結(jié)果?！安豢煞衷怼?/p>

5、的著名命題是“卡瓦列里原理”，在我國(guó)稱作“祖暅原理”。1638年，費(fèi)馬首次引用字母表示“無限小量”，并運(yùn)用它來解決極值問題，之后，他又提出了一個(gè)與現(xiàn)代求導(dǎo)過程實(shí)質(zhì)相同的求切線方法，并由此解決了一些與切線有關(guān)的問題和極值問題。后來，格列哥利、華利斯繼續(xù)費(fèi)馬的工作，用符號(hào)“o”表示無限小量，并用它來進(jìn)行求切線的運(yùn)算。牛頓的老師巴羅是劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，他的幾何講義對(duì)微積分的創(chuàng)立是一個(gè)巨大貢獻(xiàn)。他的幾何方法的特點(diǎn)是利用微分三角形來構(gòu)造切線，即以自變量增量與函數(shù)增量為直角邊構(gòu)造直角三角形，該三角形中包含了微積分的精華，它的兩個(gè)直角邊的商可決定變化率，即導(dǎo)數(shù)。巴羅甚至還指出了求切線和求體積的互逆性，但他

6、不喜歡代數(shù)方法，認(rèn)為自己的結(jié)果是對(duì)古典幾何的完善化，從而失去了創(chuàng)立微積分的機(jī)會(huì)。1669年，巴羅將教授席位讓給牛頓，并對(duì)牛頓的微積分創(chuàng)立工作施以很大的影響。二、微積分的創(chuàng)立1牛頓的工作牛頓的微積分研究大體可以分為三個(gè)階段：第一階段的工作以運(yùn)用無窮多項(xiàng)的分析學(xué)（1669年）為標(biāo)志。其方法舉例說明如下：設(shè)有一條曲線，它下面的（曲邊梯形）面積可表為（為有理數(shù)）。當(dāng)橫坐標(biāo)獲得瞬（無限小增量）時(shí)，產(chǎn)生的面積瞬為（面積增量）。新面積為由二項(xiàng)展開式（以牛頓命名）得：兩端消去相等的部分（）并除以得：略去含的項(xiàng)得：這就是曲邊梯形的曲邊表達(dá)式。這個(gè)結(jié)果表明，若面積由給出，則曲邊梯形的曲邊為；反之，若曲線由，則曲邊

7、梯形的面積為。這不僅給出了求（瞬時(shí)）變化率的方法，而且還揭示了求積與求變化率之間的互逆關(guān)系。第二階段的工作主要體現(xiàn)在1671年成書，1736年出版的流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)一書中。書中牛頓把隨時(shí)間而變的量稱為流量，用字母、等表示，而把流量的變化速度（流量對(duì)時(shí)間的變化率）稱為流數(shù)，記為、等。前一階段出現(xiàn)的“瞬”仍保留，它表示一個(gè)無限小時(shí)間間隔，仍記為。該書主要解決下面兩個(gè)問題：（1）已知流量之間的關(guān)系（即）求它們的流數(shù)比：（實(shí)際上，即求對(duì)的變化率）。（2）已知一含流數(shù)的方程，求流量之間的關(guān)系（簡(jiǎn)單情況即求原函數(shù)積分問題，一般情況為微分方程問題，它們是（1）的逆問題）。牛頓指出，流數(shù)法（即微積分）“不僅可

8、以用來求作任何曲線的切線，而且可以用來解決曲度（曲率）、面積、曲線長(zhǎng)、重心等深?yuàn)W問題?！边@個(gè)認(rèn)識(shí)把握住了微積分的普遍意義，是前人不可能企及的。第三階段的工作，可以從1676年寫成1704年發(fā)表的論文曲線求積術(shù)中看到。在該文中，牛頓為了排除前一階段人為地“略去含有的項(xiàng)”而使用了“最初比”和“最后比”的提法。以為例。設(shè)由“流動(dòng)”而變成，于是將：稱為最初比，令消失得稱為最后比。這個(gè)“最后比”是在（逐漸）消失后得到的，因此牛頓已有極限概念模糊的影子。盡管如此，牛頓對(duì)“）消失后得到的，因此牛頓已有極限概念模糊的影子。盡管如此，牛頓對(duì)“”（即無窮?。┑奶幚硎冀K處于一種似是而非的直覺中，正如馬克思所說的是“

9、魔術(shù)般”地丟掉，是武力“鎮(zhèn)壓”。（見馬克思數(shù)學(xué)手稿）。2萊布尼茲的工作戈特弗里德·萊布尼茲（公元16461716年）是德國(guó)十七、十八世紀(jì)之交的大哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1646年6月21日生于萊比錫。從小就顯露出“神童”般才華。15歲進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)法學(xué)，畢業(yè)時(shí)成績(jī)很好，但萊比錫大學(xué)以他過于年輕為借口，拒絕授予他法學(xué)博士學(xué)位。因此他轉(zhuǎn)到了紐倫堡的阿爾特多夫大學(xué),1667年在這里獲得博士學(xué)位，年僅二十一歲。隨后他到美因茲選帝侯的政府中任職。1672年他作為外交官出使巴黎，遇到了惠更斯。第二年去倫敦結(jié)識(shí)了奧爾登伯格和其他一些數(shù)學(xué)家。在巴黎居住的四年時(shí)間，是他數(shù)學(xué)創(chuàng)造的“黃金時(shí)代”。在這段時(shí)間，他

10、已構(gòu)想出他的微積分方法的大致輪廓。1676年返回德國(guó)后，在漢諾威的布龍斯威克公爵那里任職。1700年他創(chuàng)辦了柏林科學(xué)院并出任第一任院長(zhǎng)。1716年11月14日逝世于漢諾威城。萊布尼茲的主要職業(yè)是法律和外交，但他的歷史性的貢獻(xiàn)則是數(shù)學(xué)和哲學(xué)。在哲學(xué)上，他是客觀唯心主義的代表人物。他的單子論是他的哲學(xué)基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)上，他除了獨(dú)立地創(chuàng)立微積分而外，還開創(chuàng)了符號(hào)邏輯的研究，制造過計(jì)算機(jī)。萊布尼茲在微分學(xué)的歷史和起源（1714年）這篇短文中，指出他的微積分思想起源于他早期關(guān)于數(shù)列之和或差的研究。1673年他寫的論組合的藝術(shù)中，研究了數(shù)列及其一階差、二階差、三階差等。例如：數(shù)列：0，1,2，3,4，一階差1

11、,1,1，1，二階差0,0，0,又如：數(shù)的平方序列：0,1，4,9，16，一階差：1,3，5,7，二階差：2,2,2，三階差：0,0，萊布尼茲將離散量的研究推廣到與幾何曲線相聯(lián)系的連續(xù)變量的研究，數(shù)列變成變量，一階差變成一階微分，高階差變?yōu)楦唠A微分。這個(gè)思想是非常微妙和深刻的，因?yàn)椴钪岛臀⒎衷跇O限過程中是等價(jià)的。不僅如此，萊布尼茲還從差與和的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了微分與積分的關(guān)系。例如，在平方序列中，一階差前3個(gè)的和1359，前n個(gè)的和連續(xù)化，則有，則有（最初萊布尼茲用表示積分，而未用）萊布尼茲在研究切線斜率時(shí)也利用微分三角形。他說：“微分三角形的各邊是不可分量或微分量”。如果是任意的，可由確定。從微分

12、三角形出發(fā)，又得出微分是萊布尼茲微積分的基點(diǎn)，積分是作為反微分（微分和）來研究的。萊布尼茲在數(shù)學(xué)上的微分和他在哲學(xué)上的單子是相適應(yīng)的。他認(rèn)為“單子乃是自然的真正原子，簡(jiǎn)言之，是事物的元素?！薄皢巫颖仨氂幸恍┬再|(zhì)，否則它就不會(huì)是存在物了。單純的實(shí)體之間沒有性質(zhì)上的差別，就無法覺察事物中的任何變化，?！薄皢巫尤绻麤]有性質(zhì)，也就不能彼此區(qū)別?！蔽⒎志褪菙?shù)學(xué)上的單子，各種微分是有內(nèi)容、有區(qū)別的。這種單子式論的微積分，在現(xiàn)代產(chǎn)生的非標(biāo)準(zhǔn)分析中已得到邏輯論證。萊布尼茲的數(shù)學(xué)符號(hào)是相當(dāng)優(yōu)越的，他的微積分符號(hào)、等，抓住了他的微積分本質(zhì)，使符號(hào)和概念融為一體，直到今天還被我們使用著。利用他深邃的概念和優(yōu)越的符號(hào)

13、，萊布尼茲最早得出微分的和、差、積、商、冪、根等公式。除微積分而外，數(shù)學(xué)上的很多術(shù)語也是由萊布尼茲引進(jìn)的。例如：函數(shù)、坐標(biāo)、代數(shù)曲線、超越曲線，等等。三、優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)高度評(píng)價(jià)了這一成就，他說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看做人類精神的最高勝利了。”正因?yàn)槿绱?，?8世紀(jì)的歐洲，曾有一場(chǎng)關(guān)于建立微積分優(yōu)先權(quán)問題的爭(zhēng)論。“優(yōu)先權(quán)”之爭(zhēng)是由局外人搬弄是非引發(fā)的。1699年一位瑞士數(shù)學(xué)家N.F.德丟勒在一本小冊(cè)子中提出“牛頓是微積分的第一發(fā)明人”，萊布尼茲則是“第二發(fā)明人”，“曾從牛頓那里有所借鑒”，尤其后面這句話，使

14、得德國(guó)人十分不滿.1712年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)還專門成立一個(gè)“調(diào)查委員會(huì)”，并于第二年公布了一份通報(bào)，宣布“確認(rèn)牛頓為第一發(fā)明人?！边@種事態(tài)引起了萊布尼茲的申訴，雙方爭(zhēng)論越演越烈，指責(zé)對(duì)方的話說得十分難聽。這實(shí)在是“科學(xué)史上最不幸的一頁”，使得18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家與歐洲大陸數(shù)學(xué)家分道揚(yáng)鑣，英國(guó)數(shù)學(xué)堅(jiān)持牛頓原始創(chuàng)新的那種傳統(tǒng)不肯改進(jìn)，遠(yuǎn)離了數(shù)學(xué)分析逐漸完善的主流，分析數(shù)學(xué)的主流與中心移到了德國(guó)與法國(guó)，不必要的“優(yōu)先權(quán)”之爭(zhēng)使英國(guó)數(shù)學(xué)受到了損失。關(guān)于微積分發(fā)明的優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)使牛頓和萊布尼茲兩位微積分的領(lǐng)袖人物光彩受損，其實(shí)應(yīng)該說是各自在差不多相同的時(shí)間內(nèi)的獨(dú)立創(chuàng)造，不宜非得分出個(gè)我先你后。在人類科學(xué)的歷史

15、上，一些重大的發(fā)現(xiàn)往往是歷史條件成熟時(shí)由不同國(guó)度不同的人物相互獨(dú)立得出的。就微積分而言，牛頓在1687年以前并未公開發(fā)表任何有關(guān)微積分的文章，而萊布尼茲則于1684年和1686年分別先于牛頓發(fā)表了關(guān)于微分與積分的兩篇重要文章，可見文章的發(fā)表萊布尼茲先于牛頓，但牛頓對(duì)微積分的發(fā)現(xiàn)確實(shí)領(lǐng)先于萊布尼茲，而且萊布尼茲對(duì)牛頓有很高的評(píng)價(jià)。1701年在柏林王宮的宴會(huì)上，當(dāng)普魯士王問萊布尼茲如何評(píng)價(jià)牛頓時(shí)，萊布尼茲答：“綜觀有史以來的全部數(shù)學(xué)，牛頓做了一多半的工作?！迸ｎD對(duì)萊布尼茲也有公正的評(píng)價(jià)，牛頓在原理的前言中稱：“十年前，我在給學(xué)問淵博的數(shù)學(xué)家萊布尼茲的信中曾指出：我發(fā)現(xiàn)了一種新方法，可以用來求極大值

16、、極小值、作切線以及解決其他類似的問題，而且這種方法也適用于無理數(shù)。這位名人回信說他也發(fā)現(xiàn)了類似的方法，并把他的方法給我看了。他的方法與我的大同小異，除了用語、符號(hào)、算式和量的產(chǎn)生方式外，沒有實(shí)質(zhì)性區(qū)別?？梢娕ｎD也承認(rèn)萊布尼茲與他同時(shí)發(fā)現(xiàn)了微積分。盡管牛頓在1665年到1687年間，已經(jīng)取得了微積分的重要成就，特別是他的分析學(xué)一文曾經(jīng)在他的老師巴羅和朋友之間流傳，但是在1687年以前，他沒有發(fā)表任何與此有關(guān)的文章和著作。萊布尼茲1673年曾出使倫敦，在那里他結(jié)交了一批數(shù)學(xué)家，并獲得巴羅的幾何講義，也了解牛頓的分析學(xué)，于是英國(guó)人認(rèn)為萊布尼茲已知牛頓的工作情況，并認(rèn)為他剽竊了牛頓的成果。牛頓的支持

17、者有著名數(shù)學(xué)家泰勒和馬克勞林，萊布尼茲的維護(hù)者則是著名數(shù)學(xué)家貝努利兄弟，這場(chǎng)爭(zhēng)論把歐洲科學(xué)家分成勢(shì)不兩立的兩派英國(guó)派和大陸派，并因此使雙方停止了學(xué)術(shù)交流。由于牛頓的代表著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中主要使用的幾何方法，所以在牛頓去逝后的100多年中，英國(guó)人繼續(xù)以幾何為主要工具，沿用牛頓的落后記號(hào)，以致使英國(guó)數(shù)學(xué)開始落后于大陸。兩人工作的不同點(diǎn)：（1）在建立微分學(xué)的出發(fā)點(diǎn)上，牛頓主要從力學(xué)出發(fā)，以速度為模型，而萊布尼茲則主要從幾何出發(fā)，從作曲線在一點(diǎn)的切線開始建立了微分學(xué)。（2）在積分學(xué)問題上，牛頓偏重于求微分的反運(yùn)算，即今天的不定積分概念；而萊布尼茲則側(cè)重于把積分了解為求微分的“和”，實(shí)際上他把這種

18、算法叫“求和計(jì)算”，也就是今天的定積分概念。（3）對(duì)無窮小的理解也不盡相同。牛頓的無窮小不分階數(shù)，而萊布尼茲試圖定義高階微分，并對(duì)其間的關(guān)系作過生動(dòng)的比喻（如恒星、地球、砂粒等）。由此可見，萊布尼茲的微分有許多層次，在這一點(diǎn)上比牛頓深刻。（4）二人采用的符號(hào)不同。比如牛頓用“點(diǎn)”，而萊布尼茲用“d”等，并由于他精心設(shè)計(jì)，反復(fù)改進(jìn)，系統(tǒng)地提出了至今仍沿用的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展起到了積極作用。（5）他們二人的學(xué)風(fēng)也不盡相同。作為科學(xué)家的牛頓學(xué)風(fēng)嚴(yán)謹(jǐn)，小心謹(jǐn)慎，重視實(shí)際。作為哲學(xué)家的萊布尼茲則比較大膽，富于想象，勇于推廣，因?yàn)樗毁澇梢蜻^分的細(xì)密而阻礙了最好的創(chuàng)造。四、微積分的發(fā)展與完善如果把十七

19、世紀(jì)稱為天才的世紀(jì)，那么十八世紀(jì)則是一個(gè)充滿創(chuàng)造活力的世紀(jì)。十七世紀(jì)引進(jìn)了卓越的微積分基本概念，十八世紀(jì)在此基礎(chǔ)上發(fā)展并增進(jìn)微積分的威力。在物理學(xué)、天文學(xué)及數(shù)學(xué)本身的激勵(lì)下，新的數(shù)學(xué)分支：無窮級(jí)數(shù)、常微分方程、偏微分方程、微分幾何及變分法，如雨后春筍，不斷涌現(xiàn)。這些分支（包括以后發(fā)展起來的復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析）形成了數(shù)學(xué)中一個(gè)廣闊的領(lǐng)域，泛稱分析學(xué)。綜合幾何與代數(shù)在十八世紀(jì)只有較小的擴(kuò)展。十八世紀(jì)是一個(gè)分析的世紀(jì)。十八世紀(jì)分析學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)是與實(shí)踐緊密相依，與物理學(xué)同步前進(jìn)。數(shù)學(xué)成了達(dá)到物理目的的一種方法，物理引導(dǎo)著數(shù)學(xué)前進(jìn)，并時(shí)常提供一些物理意義上的論據(jù)，以補(bǔ)數(shù)學(xué)論證的不足。人們用數(shù)學(xué)

20、結(jié)論在物理上的正確性來保證它在數(shù)學(xué)上的正確性。數(shù)學(xué)的邏輯性較差。十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家在沒有邏輯支持的情況下，如此勇敢地向前沖殺，使十八世紀(jì)成了數(shù)學(xué)的“英雄世紀(jì)”。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的陰影雖然總跟在數(shù)學(xué)的后面，但并沒有阻礙數(shù)學(xué)的前進(jìn)。不過十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的人們常常貶低十八世紀(jì)的成就，只把它看作粗糙的歸納性工作。十八世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家是歐拉。此外，還有貝努利家庭及法國(guó)學(xué)派各名家（蒙日、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、卡諾、克雷羅、傅里葉等）。十八世紀(jì)的分析遺留了很多問題，正象阿貝爾（公元18021829年）在1826年的一封信中所說：“人們?cè)诜治鲋写_實(shí)發(fā)現(xiàn)了驚人的含糊不清之處。這樣一個(gè)完全沒有計(jì)劃和體系的分

21、析，竟有那么多人能研究它，真是奇怪。最壞的是從來沒有嚴(yán)格對(duì)待過分析。人們到處發(fā)現(xiàn)這種從特殊到一般的不可靠的推理方法。而非常奇怪的是這種方法只導(dǎo)致極少幾個(gè)所謂的悖論?！睘榱烁淖兎治龅倪@種“沒有計(jì)劃和體系”的局面，建立它的嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)，波爾察諾、阿貝爾、柯西、狄里赫勒作了基礎(chǔ)性的工作，后來維爾斯特拉斯進(jìn)一步予以發(fā)展。其中以柯西和維爾斯特拉斯的成就最為顯著。1函數(shù)概念的發(fā)展解析幾何出現(xiàn)以后，有了變量，這為函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展提供了條件，而自然科學(xué)的發(fā)展需要人們研究函數(shù)。微積分產(chǎn)生之后，函數(shù)的研究就成為必然，初等函數(shù)已經(jīng)被充分認(rèn)識(shí)。牛頓用“流量”一詞表示變量之間的關(guān)系，萊布尼茲用“函數(shù)”一詞表示任何

22、一個(gè)隨曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量。1734年，歐拉使用記號(hào)表示函數(shù)。這個(gè)時(shí)期的函數(shù)概念，是由解析表達(dá)式（有限或無限的）所給出，是運(yùn)算的組合，函數(shù)要與曲線聯(lián)系起來。1807年，傅里葉由于研究熱的傳導(dǎo)問題，發(fā)現(xiàn)了不能用單個(gè)（有限的）解析式表達(dá)的函數(shù)，如，他的這一發(fā)現(xiàn)是函數(shù)概念發(fā)展的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。雖然歐拉等人也有類似傅里葉的思想，但只是在傅里葉對(duì)熱傳導(dǎo)深入研究引起人們注意時(shí)，他關(guān)于函數(shù)的這個(gè)發(fā)現(xiàn)才對(duì)人們有所震動(dòng)。1821年，柯西在他關(guān)于分析學(xué)的著作中給出函數(shù)一個(gè)新的定義：若干個(gè)有聯(lián)系的變量之間，當(dāng)給定了其中一個(gè)變量的值，就可以決定所有其它變量的值。該定義基本上擺脫了“解析表達(dá)式”的要求，側(cè)重于關(guān)于變量

23、間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，但仍未揭示出變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系這一函數(shù)概念的本質(zhì)。更進(jìn)一步的定義是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年給出的：如果對(duì)于給定區(qū)間的每一個(gè)的值，有唯一的一個(gè)的值與之對(duì)應(yīng)，那么就是的一個(gè)函數(shù)。他還舉出一個(gè)著名函數(shù)的例子，以說明函數(shù)概念的一般性，這就是“狄利克雷函數(shù)”：當(dāng)是有理數(shù)時(shí)，取值1；當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，取值0。這個(gè)函數(shù)是不可能寫出任何解析表達(dá)式來的。2函數(shù)的極限極限的思想自古以來就有，但直到柯西時(shí)，才使它有了一個(gè)明確的定義。他在1821年的代數(shù)分析教程中這樣說的：當(dāng)一個(gè)變量逐次所取得的值無限趨向一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多么小就有多小，則該定值就叫做這些值的極限?？挛鞯亩x與前人

24、不同的是，他擺脫了幾何圖形及幾何量的任何牽連，只用了“變量”的“數(shù)”或函數(shù)，沒有幾何或力學(xué)的直觀。在此基礎(chǔ)上，柯西很自然的定義了“無窮小量”及“無窮大量”，他把無窮小量看成是以0為極限的變量，這就澄清了對(duì)無窮小量“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)，把它從物理的、幾何的原形中抽象成為一個(gè)純數(shù)學(xué)概念。由柯西建立起來的這個(gè)分析體系，極限是最基本的概念，使用它給出了微分、積分、收斂、連續(xù)等幾乎所有的概念。但是，柯西的定義中這樣一些描述性的詞語，如：“無限接近”、“要多小就多小”等，其數(shù)學(xué)意義是不確切的，還留有物理過程的直觀痕跡，沒有達(dá)到算術(shù)化程度，因此這樣的極限論還是初步的、不精確的。1850年左右，魏爾斯特拉斯

25、為排除極限概念中的幾何直觀性，提出了關(guān)于極限的純算術(shù)定義，用他發(fā)明的所謂語言來表達(dá)極限概念，也就是我們現(xiàn)今使用的定義，它與柯西的定義不同的是：其中沒有任何或明或暗地含有幾何、運(yùn)動(dòng)的含義，完全算術(shù)化了。沒有“變量”、“變化”、“趨向”等動(dòng)態(tài)的詞，是一個(gè)靜態(tài)的定義，它說明極限的本質(zhì)是“靜態(tài)”的。柯西定義中“要多小有多少”這種詞是一種定性的描述，現(xiàn)在量化了。沒有涉及“無窮小量”，從而可以徹底地在微積分中排除“無窮小”概念。3關(guān)于導(dǎo)數(shù)1817年和1823年，波爾察諾與柯西分別定義了導(dǎo)數(shù)，都是按照函數(shù)增量與自變量增量之比的極限來定義的。與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的嚴(yán)密化問題，有下面幾點(diǎn)：柯西給出導(dǎo)數(shù)定義后，又把定義為任

26、一有限量，而把定義為，從而導(dǎo)數(shù)概念與萊布尼茲的微分統(tǒng)一起來，并可以通過導(dǎo)數(shù)定義微分。1797年，拉格朗日給出“拉格朗日中值定理”，1823年，柯西給出了中值定理的證明，并且用它闡明了與之間的關(guān)系?？晌⑿耘c連續(xù)性的關(guān)系花了幾十年時(shí)間才被人們弄清楚?？挛髡J(rèn)為，連續(xù)函數(shù)一定是可微的。雖然波爾察諾在1834年就已經(jīng)知道連續(xù)性與可微性有區(qū)別，并且構(gòu)造出連續(xù)但在任何點(diǎn)都沒有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)來，但是他沒有發(fā)表。1854年，黎曼給出處處連續(xù)但在很多點(diǎn)沒有導(dǎo)數(shù)的例子，這也沒有引起人們的注意。連續(xù)性與可微性之間驚人的區(qū)別，是由瑞士人塞萊里埃指出的，1860年他給出處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)（是正整數(shù)），此后魏爾斯特拉斯

27、也給出這樣的例子，連續(xù)性不蘊(yùn)含可微性的發(fā)現(xiàn)有重大意義，它使人們更加不敢依賴直觀和幾何的思考方式了。4積分學(xué)的嚴(yán)密化過程牛頓的積分本質(zhì)上是微分法的逆運(yùn)算，也可以說是“不定積分”；萊布尼茲把面積看成矩形微元的和，實(shí)際上是定積分。他們的這種模糊不清的概念和關(guān)系延續(xù)了100多年之后才被柯西等人弄清楚了。1823年，柯西對(duì)定積分做了開創(chuàng)性的工作，即他對(duì)連續(xù)函數(shù)下了定積分的定義，并對(duì)積分的理論進(jìn)行了下列建設(shè)性的工作。他證明連續(xù)函數(shù)的積分必存在，并強(qiáng)調(diào)在使用積分前先解決這個(gè)問題，這說明他對(duì)存在性是很重視的。由于沒有一致連續(xù)性的概念，他的證明是有缺陷的。證明了微積分基本定理。證明了全體原函數(shù)彼此之間僅相關(guān)一個(gè)

28、常數(shù)，且定義了不定積分為變上限的定積分，由此開始，人們把不定積分與原函數(shù)區(qū)分開了。定義了無窮區(qū)間上的積分及無界函數(shù)的積分。用極限定義了區(qū)域的面積、曲線的長(zhǎng)、立體的體積等概念。1854年，黎曼從考慮傅里葉級(jí)數(shù)和積分公式出發(fā)，認(rèn)為被積函數(shù)的條件應(yīng)該放寬，因此他把積分定義推廣到有界函數(shù)上，不再要求連續(xù)性，即所謂黎曼積分.1875年，達(dá)布引入了“達(dá)布和”，給出了可積性充要條件。至此，黎曼積分的理論基本上得到了完善。5無窮級(jí)數(shù)微積分的發(fā)展與無窮級(jí)數(shù)的研究密不可分。牛頓在他的的流數(shù)論中自由運(yùn)用無窮級(jí)數(shù)，他憑借二項(xiàng)式定理得到了和等許多函數(shù)的級(jí)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)則提供了將函數(shù)展開成無窮級(jí)數(shù)的一般方法。在18世紀(jì)，各

29、種初等函數(shù)的級(jí)數(shù)展開陸續(xù)得到，并在解析運(yùn)算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具。數(shù)學(xué)家在早期運(yùn)用無窮級(jí)數(shù)時(shí)，沒有對(duì)收斂和發(fā)散問題引起足夠重視。到了18世紀(jì)末，由于應(yīng)用無窮級(jí)數(shù)得到了一些可疑的有時(shí)甚至是完全荒謬的結(jié)果，如無窮級(jí)數(shù)到底等于什么？當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為一方面；另一方面，那么豈非？這種矛盾曾使傅里葉這樣的大數(shù)學(xué)家也困惑不解，甚至于讓歐拉也在此犯下了可笑的錯(cuò)誤。他在得到后，在令時(shí)，得出。由此可見當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界中的混亂局面。當(dāng)時(shí)幾乎無人過問分析中一些比較細(xì)致的問題，如級(jí)數(shù)、積分的收斂性等，顯然，無窮級(jí)數(shù)運(yùn)算的合法性亟待有人來研究。1811年，傅里葉首先給出了級(jí)數(shù)收斂的嚴(yán)格定義，而第一個(gè)對(duì)無窮級(jí)數(shù)的

30、收斂性質(zhì)作出研究的是數(shù)學(xué)大師高斯。1812年，他在無窮級(jí)數(shù)的一般研究的著作中研究超幾何級(jí)數(shù)時(shí)，把級(jí)數(shù)的使用限制在它的收斂范圍內(nèi)，同時(shí)，他引入了高斯級(jí)數(shù)的概念，除了證明這些級(jí)數(shù)的性質(zhì)外，還通過對(duì)它斂散性的討論開創(chuàng)了關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性的研究。1821年，柯西在分析教程一書中給出了著名的柯西準(zhǔn)則以及比值判別法和根式判別法。他在1853年認(rèn)識(shí)到，要使得連續(xù)函數(shù)的級(jí)數(shù)的和一定連續(xù)，必須有一致收斂的條件，但他仍然沒有看出在使用級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分時(shí)也要求一致收斂。是魏爾斯特拉斯引入了一起被忽視的一致收斂的概念，從而消除了微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂現(xiàn)象。他利用一致收斂的概念給出了逐項(xiàng)積分和在積分號(hào)下求微分的條件

31、。由于他對(duì)一致收斂的研究使得微積分日趨嚴(yán)密，他也因此成為分析嚴(yán)格化的最大貢獻(xiàn)者，并被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”。調(diào)和級(jí)數(shù)的討論引引起了對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是利用發(fā)散級(jí)數(shù)而獲得一些著名的數(shù)值逼近公式。18世紀(jì)通過研究發(fā)散級(jí)數(shù)獲得的一個(gè)重要常數(shù)“歐拉常數(shù)”，是歐拉討論如何利用對(duì)數(shù)函數(shù)來逼近調(diào)和級(jí)數(shù)時(shí)得到的，它最簡(jiǎn)單的表示形式為：.歐拉曾計(jì)算出的近似值為0.577 218，但迄今我們還不能判定究竟是有理數(shù)還是無理數(shù)。五、微積分發(fā)現(xiàn)的偉大意義1自從有了解析幾何和微積分，就開辟了變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，因而數(shù)學(xué)開始描述變化，描述運(yùn)動(dòng)。微積分改變了整個(gè)數(shù)學(xué)世界的面貌。牛頓、萊布尼茲17世紀(jì)創(chuàng)立的

32、微積分還存在著明顯的邏輯缺陷，但是這種缺陷并未抑制它旺盛的生命力。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?cè)谖⒎e分提供的思維和工具的基礎(chǔ)上闊步前進(jìn)，迅速創(chuàng)立了許多數(shù)學(xué)分支，諸如微分方程，無窮級(jí)數(shù)，變分法等。在進(jìn)入19世紀(jì)之后，還有諸多與微積分直接相關(guān)的數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生，原有的一些數(shù)學(xué)分支也開始利用微積分的方法，前者包括復(fù)變函數(shù)，微分幾何等，后者包括數(shù)論，概率論等?？梢哉f，在有了微積分之后的兩、三百年時(shí)間，數(shù)學(xué)獲得了極大的發(fā)展，獲得了空前的繁榮。微積分的嚴(yán)密邏輯基礎(chǔ)也在19世紀(jì)完善地建立起來。微積分基本定理的表現(xiàn)形式在多維空間和一般拓?fù)淇臻g中也獲得了拓廣，在更廣闊的領(lǐng)域中延伸，進(jìn)一步顯示了它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的普遍意義。2對(duì)其

33、他自然科學(xué)和工程技術(shù)的作用有了微積分，整個(gè)力學(xué)、物理學(xué)都得以它為工具加以改造，微積分成了物理學(xué)的基本語言，而且，許多物理學(xué)問題要依靠微積分來尋求解答?！皵?shù)理不分家”，這句話在有了微積分之后就具有了真實(shí)的意義，離開了微積分不可能有現(xiàn)代物理，無論是力學(xué)、電學(xué)還是光學(xué)、熱學(xué)。微積分的創(chuàng)立得到了天文學(xué)的啟示，此后，天文學(xué)再也離不開微積分。19世紀(jì)上半葉可能還認(rèn)為化學(xué)只需要簡(jiǎn)單的代數(shù)知識(shí)，而生物學(xué)基本上與數(shù)學(xué)沒有聯(lián)系?，F(xiàn)在，化學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)等都必須深入地同微積分打交道。3對(duì)人類物質(zhì)文明的影響工程技術(shù)是最直接影響人類物質(zhì)生活的，然而工程技術(shù)的基礎(chǔ)即數(shù)理科學(xué)，也可以說，現(xiàn)代工程技術(shù)少不了微積分的支撐，從

34、機(jī)械到材料力學(xué)，從大壩到電站的建設(shè)，都要利用微積分的思想和方法。如果說在落后的生產(chǎn)方式之下，只需要少量的幾何、三角知識(shí)就可以工作的話，如今，任何一個(gè)未學(xué)過微積分的人都不可能從事科學(xué)技術(shù)工作。在有了微積分和萬有引力原理之后，人們就預(yù)見了人造衛(wèi)星及宇宙飛行的可能，并且早已利用微積分計(jì)算出了宇宙速度。今日滿天飛行的人造衛(wèi)星早在微積分產(chǎn)生之初就已在學(xué)者們的預(yù)料之中。在今天人類廣泛的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)、金融活動(dòng)中，微積分也成了必不可少的工具。微積分誕生之初的主要背景是物理學(xué)和幾何學(xué)，而今，它幾乎成為一切領(lǐng)域所運(yùn)用。它對(duì)人類物質(zhì)生活的影響是越來越大。4對(duì)人類文化的影響只要研究變化規(guī)律就要用上微積分，在天文、社會(huì)科學(xué)

35、領(lǐng)域亦如此，因而微積分也浸透于人文、社會(huì)科學(xué)，用它來描述和研究規(guī)律性的東西。哲學(xué)尤其關(guān)注微積分，那是因?yàn)槲⒎e分給了哲學(xué)許多的啟示，它不僅影響了哲學(xué)方法，也影響到世界觀。辯證唯物主義更關(guān)注微積分。六、主要數(shù)學(xué)家介紹1牛頓-微積分的創(chuàng)始人2萊布尼茨-微積分的創(chuàng)始人戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日1716年11月14日）德國(guó)最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一位舉世罕見的科學(xué)天才，和牛頓（1643年1月4日1727年3月31日）同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。公元1646年7月1日，戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨出生于德