利用數(shù)軸教學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題初探

1、利用數(shù)軸教學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題初探桃花江鎮(zhèn)中心學(xué)校羅公平在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有一類重要的題型一一動(dòng)點(diǎn)問題的解答， 近 幾年來，動(dòng)點(diǎn)最值問題頻頻出現(xiàn)在各地中考、競賽試卷中。這類試題 突出了對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的測試， 加強(qiáng)了探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)了 學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決實(shí)際問題能力，對學(xué)生思維能力的提高有較大 的幫助。但是這類題目學(xué)生解答起來具有一定的難度，不易理解，容 易出錯(cuò)。為解決這一難點(diǎn)，桃江縣教研室在七年級期末考試命題中就 開始考查這一知識點(diǎn)，讓學(xué)生盡早熟悉動(dòng)點(diǎn)問題的解答方法。數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向右的方 向?yàn)檎较?，因此向右運(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向作運(yùn)動(dòng)的速度看 作負(fù)速度

2、。這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn) 動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。因此，在七年級數(shù)學(xué)教學(xué)中我們可以利用 數(shù)軸來教學(xué) 動(dòng)點(diǎn)問題。例1 (桃江縣2015七年級期末考試) 如圖，數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) A B開始時(shí)所表示的數(shù)分別為8, 4, A、B兩點(diǎn)各自以一定的速 度在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，且A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位.(1) A B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，在原點(diǎn)處相遇，求 B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速 度；(2) A B兩點(diǎn)按上面的速度同時(shí)出發(fā)，向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，幾秒鐘 時(shí)兩點(diǎn)相距6個(gè)單位長度？(3) A B兩點(diǎn)按上面的速度同時(shí)出發(fā)，向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，C點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)作同方向的運(yùn)動(dòng)，如果在運(yùn)動(dòng)過程中，始終有CA 2CB

3、求C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度.AO BI1>-804分析：(1)易求得A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒，所以B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為 每秒1個(gè)單位.(2)是一個(gè)追及問題，需分兩種情況，A點(diǎn)在B點(diǎn)前面和A點(diǎn)在B點(diǎn)后面。中先找出運(yùn)動(dòng)過程中 C A B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù) 其位置關(guān)系確定兩點(diǎn)間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程。解：(1) B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為：4 +(8小2) = 1(單位/秒)(2)設(shè)x秒時(shí)兩點(diǎn)相距6個(gè)單位長度，根據(jù)題意得：(a) A點(diǎn)在B點(diǎn)后面時(shí)，12 + x-2x=6,解得：x = 6(b) A點(diǎn)在B點(diǎn)前面時(shí) ，2x ( 1 2 + x) =6解得：x = 1 8答：6秒或1 8秒時(shí)，兩點(diǎn)相距6個(gè)

4、單位長度；(3)設(shè)C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒v個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng) t = 0 時(shí)，CA= 8, CB= 4, CA= 2CB 符合題意，當(dāng) t#0 時(shí)， 貝 U 2t+8vt =2(vt+4t),即 3vt =4t ,所以 v= 4 ,3答：C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是 每秒3個(gè)單位長度.3點(diǎn)評：熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法 是解決本題的關(guān)鍵。例2.（桃江縣2012年八年級全能知識競賽）電子跳蚤落在數(shù)軸上 的某點(diǎn)Ko,第一步從Ko向左跳1個(gè)單位到K,第二步由K向右跳2 個(gè)單位到K2,第三步由K向左跳3個(gè)單位到K,第四步由K跳4個(gè) 單位到，按以上規(guī)律跳了 100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)

5、軸上的點(diǎn) 出0所表示的數(shù)恰是20.04 ,試求電子跳蚤的初始位置 Ko點(diǎn)所表示的 數(shù)。分析：易得每跳動(dòng)2次，向右平移1個(gè)單位，跳動(dòng)100次，相當(dāng)于在 原數(shù)的基礎(chǔ)上加了 50,相應(yīng)的等量關(guān)系為：原數(shù)字+50=2 0.0 4 解：k0 點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)為 2 0 . 0 4 -100+99-98+97-6+5-4+3-2+1=- 2 9.96點(diǎn)評：數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為 ab;向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。運(yùn)用這一特征探究變 化規(guī)律時(shí)，要注意在循環(huán)往返運(yùn)動(dòng)過程中的方向變化。例3.如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為一20, B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為100。AB

6、*>-20100求AB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù);現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn) 動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻 Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度 向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 C點(diǎn)相遇，求C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度也向 左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。分析：設(shè)AB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為x,由BM=MA所以x ( 20) =100 x,解得x=40 即AB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為40易知數(shù)軸上兩點(diǎn)AB距離，AB=140設(shè)PQ相向而行t秒在C點(diǎn)相遇，依題意

7、有，4t+6t=120 ，解得 t=12(或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同，得一20+4t=1006t ,t=12)相遇C點(diǎn)表示的數(shù)為：一20+4t=28 (或1006t=28)設(shè)運(yùn)動(dòng)y秒，P、Q在D點(diǎn)相遇，則此時(shí)P表示的數(shù)為100 6y, Q表本的數(shù)為一20 4y。P、Q為同向而行的追及問題。依題意有，6y4y=120,解得y=60(或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同，得一204y=100 6y,y=60)D點(diǎn)表示的數(shù)為：一204y=-260 (或 1006y=260)點(diǎn)評：熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是 解決本題的關(guān)鍵。是一個(gè)相向而行的相遇問題；是一個(gè)同向而行 的追及問題

8、。在、中求出相遇或追及的時(shí)間是基礎(chǔ)。練習(xí)題：1.已知數(shù)軸上 A B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為一2, 4, P為數(shù)軸上一動(dòng) 點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為X。若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在P點(diǎn)，使P點(diǎn)到A B距離和為10?若存在， 求出x的值；若不存在，請說明理由。若點(diǎn)A、點(diǎn)B和P點(diǎn)（P點(diǎn)在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。它們的速度 分別為1、2、1個(gè)單位長度/分鐘，則第幾分鐘時(shí)P為AB的中點(diǎn)？（參考答案：?；?;一4或6;2）2 .已知數(shù)軸上有 A B、C三點(diǎn)，分別代表一24, 10, 10,兩只電 子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位/ 秒。問多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40