勾股定理教學(xué)設(shè)計

1、勾股定理目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握勾股定理及其逆定理.能夠比較熟練地運用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條 邊長，求出第三條邊長，會用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形.勾股定理是平面幾何中的一個十分重要的定理，它反映了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系.在理論和實際中應(yīng)用很廣泛.重點：理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及應(yīng)用.難點：理解勾股定理的推導(dǎo).知識要點梳理知識點一：勾股定理a, b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.即直角三如果直角三角形的兩直角邊長分別為: 角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.圖120要點詮釋：(1)勾股定理揭示的是直角三角形的邊之間的平方關(guān)系的定理。(2)勾股

2、定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形。(3)理解勾股定理的一些變式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=(a+b)2-2ab知識點二：用面積證明勾股定理方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形。X正力拗SCD - g+gy = c2+4x-£2J2 ,12圖(1)中2,所以以+8二方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖(2)所示的正方形。圖(2) J 方法三：將四個全等的直角三角形分別拼成如圖（3） 1和（3） 2所示的兩個形狀相同的正方形。一 1b '(3)-2在（3） 1中，甲的面積=（大正方形面積）一（4

3、個直角三角形面積），在（3） 2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）一（4個直角三角形面所以，甲的面積=乙和丙的面積和，即:方法四：如圖（4）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形。,所以 aa+6a知識點三：勾股定理的作用1 .已知直角三角形的兩條邊長求第三邊；2 .已知直角三角形的一條邊，求另兩邊的關(guān)系；3 .用于證明平方關(guān)系的問題；4 .利用勾股定理，作出長為 占的線段。知識點四：原命題與逆命題如果兩個命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}。如果其中一個叫原命題, 則另一個叫做它的逆命題。知識點五：勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊 a、b, c,滿足a2+b2=c2.那么這個三角形是

4、直角三角形.要點詮釋：勾股定理及其逆定理的區(qū)別在于勾股定理從“形”(一個三角形是直角三角形)出發(fā)，得出三邊數(shù)量關(guān)系(a2+b2=c2),而勾股定理的逆定理從三邊數(shù)量關(guān)系(a2+b2= c2)出發(fā)，判斷其形(三角形是直角三角形)，它是判斷一個三角形是否是直角三角形或一個角是否是直角的有效方法。規(guī)律方法指導(dǎo)1 .掌握直角三角形的性質(zhì)如上圖1,直角A ABC的性質(zhì)：(1)勾股定理:ZC=90° ,則有 c2=a2+b2(2) /C=90° ,貝U有/ A+/B=90° ,(3) /C=90° ,則有 c>a, c>b。2 .在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾

5、股數(shù) 也j滿足不定方程X2+y2=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)(又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù))，顯然，以x,y,z為三邊長的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股數(shù)，對解題是會有幫助的：3、 4、 55、 12、 13;8、 15、 17;7、 24、 25;10、 24、 26;9、 40、 41.如果(a,b,c)是勾股數(shù)，當(dāng)t>0時，以at,bt,ct為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角 形。經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtMBC 中,/ C=900 施(1)已知 a=6, c=10,求 b,(2)已知 a=40, b=9,求 c；(3)已知 c=25, b=15,求

6、 a.思路點撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1)在4ABC 中，/ C=90(2)在4ABC 中，/ C=90(3)在4ABC 中，/ C=90,a=40,c=25,a=6, c=10,b=b=9,c='b=15,a=JU 二 20總結(jié)升華：在應(yīng)用勾股定理進行計算時一定要看清哪條是直角邊哪條是斜邊。舉一反三【變式】：如圖/ B=/ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少【答案】. / ACD=90°AD = 13, CD=12.AC2 =AD2-CD2=132-122二25AC=5又.

7、 / ABC=90 ° 且 BC=3由勾股定理可得AB 2=AC2-BC2 =52-32 二16AB= 4AB的長是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用、如圖，已知：在AASC中，4二60°,幺。二7。，&二3。.求：bc的長.思路點撥：由條件 4別， 想到構(gòu)造含30°角的直角三角形，為此作 血比于D,則有ZW 二 30°,52） = 1/5=152,再由勾股定理計算出 AD、DC的長，進而求出BC的長.解析： 作如1冊 于D,則因 25 = 60°,一二.1.（直角三角形的兩個銳角互余）2（在直角三角形中，如果一個銳角等于,那么它所對的直角

8、邊等于斜邊的一半）根據(jù)勾股定理，在 M4"中,AD = 73?-1? -15.根據(jù)勾股定理，在 必&O中,CD具AC*-g =小冰-©乂3二 65 = +5(7=65+15=80總結(jié)升華：利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的一個重要應(yīng)用.當(dāng)題目中沒有垂直條件時，也經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理t p舉一反二c 制 A 【變式1】如圖，已知： ZC = 90°, AMCM,戚p.求證：.BLc M A思路點撥：圖中已有兩個直角三角形，但是還沒有以 BP為邊的直角三角形.因此，我 們考慮構(gòu)造一個以 BP為一邊的直角三角形.所以連結(jié)BM.這樣，實際上

9、就得到了 4個直角 三角形.那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系 解析：連結(jié)BM ,根據(jù)勾股定理，在 處BMP中，而在 血行 中，則根據(jù)勾股定理有 ；.又,: AM-CM （已知）， 二二二".在FlhBCM中，根據(jù)勾股定理有sm2-cm2=bc.一丁 一: 二 .【變式2】已知：如圖，/ B=/D=90° , /A=60° , AB=4 , CD=2。求：四邊形ABCD 的面積。c分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié) AC,或延長AB、DC交于F, 或延長AD、BC交于點E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進一步根據(jù)本題給定的邊選第 三種較

10、為簡單。BE= 二解析：延長AD、BC交于E。 / A=60 ° , / B=90E=30BE2=AE 2-AB 2=82-42=48 ,AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=1- S 四邊形 ABCD =SA ABE -Sacde= 2 AB - BE- 2 CD類型三：勾股定理的實際應(yīng)用(一)用勾股定理求兩點之間的距離問題C3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60。方向走了 500 Jim到達(dá)B點，然后再沿北偏西 30。方向走了 500m到達(dá)目的地C點。山(1)求A、C兩點之間的距離。(2)確定目的地

11、 C在營地A的什么方向。思路點撥：把實際問題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度，利用勾股定理求解。解析：(1)過B點作BE/AD/ DAB= / ABE=60 °,30° +/CBA+ Z ABE=180 °/ CBA=90 °即4ABC為直角三角形由已知可得:BC=500m , AB=500 Jim由勾股定理可得：二：-：* AC = ；BCa+ABa =-0%(50邙)口 =100D(m)(2)在 RtA ABC 中,. BC=500m, AC=1000m/ CAB=30 °/ DAB=60 °/ DAC=30 °即點C在點A的

12、北偏東30°的方向總結(jié)升華：本題是一道實際問題，從已知條件出發(fā)判斷出ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵。本題涉及平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于 CH.如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CDLAB,與 地面交于H .解：OC = 1米 （大門寬度一半），OD=0.8米 （卡車寬度一半） 在RtA OCD中，由勾股定理得：CD=護 _=0 . 6 米，CH= 0 . 6 + 2

13、.3 = 2 . 9 （米） 2 . 5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.（二）用勾股定理求最短問題 4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊 A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在 四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案， 如圖實線部分.請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.(2)思路點撥：解答本題的思路是： 最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進行比較，得出結(jié)論.解析：設(shè)正方形的邊長為 1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB+BC+CD =3, AB+

14、BC+CD =3圖（3）中，在RtAABC中同理 一，圖（3）中的路線長為:：.：【：圖（4）中，延長 EF 交 BC 于 H,貝U FHXBC, BH=CH3 優(yōu) bh _ 1由/FBH='2 及勾股定理得：ea = ed=fb = fc= 3 . EF= 1 2FH= 1 3此圖中總線路的長為4EA+EF = 1+后總2.7323>2.828>2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線.總結(jié)升華：在實際生產(chǎn)工作中，往往工程設(shè)計的方案比較多，需要運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識 進行計算，比較從中選出最優(yōu)設(shè)計. 本題利用勾股定理、 等腰三角形的判定、全等三角形的 性

15、質(zhì).舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為 20cm,高AB為4cm, B C是上底面的直徑. 只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,試求出爬行的最短路程.10 cm,根據(jù)勾股定理得AC =以小+犯'即。'解:如圖，在 RtABC中，BC=底面周長的一半=答：最短路程約為10. 77 cm.類型四：利用勾股定理作長為 疝 的線段C5、作長為亞、出、后的線段。囪思路點撥：由勾股定理得，直角邊為 1的等腰直角三角形，斜邊長就等于 J2 ,直角邊（1）作直角邊為1 （單位長）的等腰直角 ACB ,使AB為斜邊；（2）作以AB為一條直角邊，另一直角邊為 1的Rt"/

16、'。斜邊為乂 ；（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形 幺&4 ,這樣斜邊AB、迎1、他、出? 的長度就是也、也、幣、出?？偨Y(jié)升華：（1）以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是正確的；（2）取單位長時可自定。一般習(xí)慣用國際標(biāo)準(zhǔn)的單位，如 1cm、1m等，我們作圖時只要取定一個長為單位即可?！咀兪健吭跀?shù)軸上表示而的點。解析：可以把710看作是直角三角形的斜邊,（阿二 10為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點，使OA=3 ,作AC ±OA且截取AC=1，以。為圓 心，OC為半徑做弧，弧

17、與數(shù)軸的交點 B即為亞。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對頂角相等（正確）3 .原命題：線段垂直平分線上的點， 到這條線段兩 端距離相等.（正確）（正確）解析：1.2.3.4.逆命題 逆命題 逆命題 逆命題有四只腳的是貓（不正確）相等的角是對頂角（不正確）到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.（正確）?（正確）4 .原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等. 思路點撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,判斷 A總

18、結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果A ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足ABC的形狀。施思路點撥：要判斷A ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有從該條件入手，解決問題。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=o。(a-3)2>0, (b-4)2>0, (c-5)2>0oa=3, b=4, c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 A ABC

19、是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。舉一反三【變式1】四邊形 ABCD中，/ B=90° , AB=3 , BC=4, CD=12 , AD=13 ,求四邊形ABCD的面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié)AC / B=90 ° , AB=3 , BC=4AC2=AB 2+BC2=25 (勾股定理)AC=5, AC2+CD2=169, AD2=169ac2+cd2=ad2/ ACD=90 ° (勾股定理逆定理)S酗皿CD = S甌+= BC AC CD =36【變式2】已知： ABC的三邊分別為 m2n2,2mn,m2+

20、n2（m,n為正整數(shù)，且m>n）,判斷ABC是否為直角三角形.分析:本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可證明：:' B3 . :' J ：= +加': + 一=(加，所以 ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形 ABCD , E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且1-FBF= A AB。B E C請問FE與DE是否垂直？請說明?！敬鸢浮緿EXEFo證明：設(shè) BF=a ,貝U BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接DF (如圖)DF2=

21、AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2, FEXDEo學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：一、判斷對錯()1.直角三角形直角邊長為 6, 8,則斜邊上的高為 2.4.()2.直角三角形兩邊為1, 2則另一邊為 后()3.兩直角邊的比為1 ： 45的直角三角形三內(nèi)角比為1 ： 2 ： 3.()4.等腰直角三角形斜邊中線與直角邊的比為()5.面積為12,底邊為6的等腰三角形腰長為5.()6.高為h的等邊三角形面積為2-h2.二、選擇題1 .周長為24,斜邊長為10的直角三角形面積為()A.12B.16C.20D.242 . ABC 中，Z C=90° ,/A=30

22、6; , M 為 AB 中點，MD，AB 交 AC 于 D.若 DM=7 ,則BC長為()A.7B.14C.7D.143 .直角三角形銳角平分線分對邊為15和25兩部分，則斜邊長為()A.50B.60C.70D.804.三角形內(nèi)角比為1 ： 2 ： 3,則三邊長度比為（）A.1 ： 2 ： 3C.1 ：亞：D.1 ：板：3三、填空題一,為直角邊作直角三角形,1 .已知線段a,求作線段 而 a時，可分別以2a和斜邊即為所求.2 .等腰直角三角形直角邊長為1,則斜邊長為.3 .等邊三角形邊長為 2,則面積為.4 .CD 為 RtAABC 斜邊上的高， AB=13 , AC=12 ,則 CD=5 .

23、周長為30,面積也為30的直角三角形斜邊中線長為 6 .兩直角邊之和為14,斜邊長為12的直角三角形斜邊上的高是 四、解答題1.計算：RtABC 中，Z C=90°,CD LAB 于 D, M 為 AB 中點，MD=CD ,求/ B.7 .AABC 中，D 為 BC 上一點，且 AB=AD ,求證 AC2-AB2=BC - DC. 能力提升：1 .如圖，A/MC = 120°, Z5 = 30°,如！AS,垂足為 a, CD二江陽,求AB的長.ab2 .如圖，BD=DC , DA ±AC , AC= 2.求/ BAD.O3 .如圖，在 ABC 中/ C=

24、90° , / CAB=60,AD為/ BAC的平分線，D到AB的距亨于5.6cm,求BC.4 .已知，如圖，AD，BC 于 D, CE，AB 于 E, AD、CE 交于 G,且 CG=AB ,求/ ACB.15 .如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且 EC=4 BC ,求證:AF XEF.U F6. 一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的驗證方法.如圖，火柴盒的一個側(cè)面 ABCD倒下到AB' C' D'的位置，連接CC',設(shè)AB=a , BC=b , AC=c , 請利用四邊形BCC' D&#

25、39;的面積驗證勾股定理：a2+b2=c27.已知：如圖，折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等 ）的一邊AD,使點D落在BC 邊的點F處，已知 AB=8cm , BC=10cm,求EC的長.綜合探究：,在花鋪內(nèi)走出1 .如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”了一條“路”.他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草2 .已知 ABC中，AB=40 , AC=30 , BC邊上的高為 24.求 ABC的面積.3 .已知A（1 , 3）, B（4, 2）,點P為x軸上一點.求使AP+BP的值最小時點 P的坐標(biāo)和 AP+BP的最小值.答案與解析：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：4 、1. X

26、 （畫示意圖利用勾股定理可以進行判斷）2. X （畫示意圖利用勾股定理可以進行判斷）3. ，（畫示意圖利用直角三角形30度角所對邊等于斜邊一半可以進行判斷）4. X （畫示意圖利用勾股定理可以進行判斷）5. V （畫示意圖利用三角形面積等于底乘高的一半可以進行判斷）6. X （畫示意圖利用三角形面積等于底乘高的一半可以進行判斷）二、1. D （設(shè)兩條直角邊為 a, b斜邊為c, a+b+c=24, c=10,和勾股定理可以求出面積 ）2. C （利用勾股定理及直角三角形中30度角所對邊等于斜邊的一半即可）3. A （過平分線與對邊的交點做斜邊的垂線可得全等，用勾股定理求出小三角形邊長為15,

27、20, 25,設(shè)另一直角邊長為 x,根據(jù)勾股定理得：x2+402=（x+20） 2,可求斜邊的長）4. B （設(shè)30度角所對邊為a,和勾股定理即可）三、1.3a （用（2a）+（3a）2=13a2）5. j5（勾股定理的簡單應(yīng)用）6. 招（過一個頂點坐高線即可）607. 13 （設(shè)CD=x ,應(yīng)用勾股定理和直角三角形面積的兩種表示方法即可）1325. 2 （a+b+c=30, ab=60,斜邊中線=2 c）136.6 （a+b=14 , c=12, a2+b2=c2,用直角三角形面積的兩種表示方法）四、1. . CDLAB CD=MD . . / CMB=45 ° 又 CM=MB .

28、 . / B=67.5 ° 或 22.5° .2.作 AE，BD 于 E, AB=AD ED=EB.AC 2-AB 2=（EC2+AE 2）-（EB 2+AE 2）=（EC+EB）（EC-ED尸BC - DC能力提升：1.分析：由于 AB是將ARAD中的一條直角邊,故要求 AB的長，只要求出 BD, AD 的長，利用勾股定理即可求出.解："。=12。葭3二3。ZC=W-ZW-Z£ = 30°,又,: AD I AS,垂足為a ,：，.一，.， _， ,二w ,在直角三角形BAD中， /£ = 30°, 二二"J J

29、 二"1 二2“答：AB的長為2出cut .2 .分析：作輔助線過 B作AC的平行線BE與AD延長線相交于 E可證 ADC與& BED 全等利用勾股定理 和30°角所對的邊是斜邊的一半的定理可得/BAD的度數(shù).解：延長AD與AC的平行線BE相交于點E BD=DC/ BDE= / ADC（對頂角相等）/ DAC= / DEB . ADC 9匕 EDBAC=BE 且/ E=90°-AB=BE又 AC=2且/E=90°/ BAD=30 °3 .解：RtAABC 中，/ CAB=60 ° ,/ B=30 ° （余角的性質(zhì)）

30、AD平分/ BAC（已知）1 .Z DAB= 2 / CAB=30 ° （角平分線性質(zhì)）丁./ DAB= / DBE（等量代換）AD=DB（等角對等邊）DBE 中，DE=5.6, Z B=30 ° （已知） .BD=2DE=11.2（cm）（直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半 ）AD=11.2（cm）（等量代換）同理 RtAACD 中，/ CAD=30 °2CD=二 AD=5.6(cm)BC=DC+DB=5.6+11.2=16.8(cm)，BC邊的長為16.8厘米.4 .解：- AD ± BC, CEXAB在ABD和CGD中：/ A

31、DB= / CDG=90 °又. / CEB=90 °/ B+ / BAD= / B+ / BCE=90 °/ BAD= / BCE又 CG=ABABD CGD(A.A.S)AD=DC又 ; AD ±DC/ ADC=90 °/ ACB= / DAC=45 °a a5 .證明：連結(jié) AE,設(shè)正方形邊長為 a,貝U DF=FC= 2 , EC= 4 ,a a §在 RtAECF 中，有 EF2=(2 )2+(4 )2?=16 a2;g 20同理可證.在 RtAADF 中，有 AF2=( 2 )2+ a2= 16 a；1 3在 RtAABE 中，有 BE=a- 4 a= 4 a,325,AE2=a2+(4 a)2= 16a2, af2+ef2=ae2.根據(jù)勾股逆定理得，/ AFE=90° ,AF ±EF.6.證明：四邊形BCC' D'為直角梯形，S 梯形 BCC D = 2 (BC+C ' D ' ) . BD ' =2 RtAABCRtAAB ? C', ./ BAC= / B' AC&#