2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(選用)

1、2.3.2 拋物線的拋物線的簡單幾何性質(zhì)簡單幾何性質(zhì)07.01.05 前面我們已學(xué)過橢圓與雙曲線前面我們已學(xué)過橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì),它們都是通過標(biāo)準(zhǔn)方它們都是通過標(biāo)準(zhǔn)方程的形式研究的程的形式研究的,現(xiàn)在請大家想想現(xiàn)在請大家想想拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點及準(zhǔn)線是什么及準(zhǔn)線是什么?一、復(fù)習(xí)回顧：圖圖 形形方方 程程焦焦 點點準(zhǔn)準(zhǔn) 線線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py

2、（p0）練習(xí)練習(xí)：填空（頂點在原點，焦點在坐標(biāo)：填空（頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上）軸上） 方程方程焦點焦點準(zhǔn)線準(zhǔn)線開口方向開口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42開口向開口向右右開口向開口向左左開口向開口向上上開口向開口向下下yox)0,2(pFP(x,y)一、一、拋物線拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。延伸。1、范圍范圍由拋物線由拋物線y2 =2px（p0

3、）220pxy而而0p 0 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x ( , )x y關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱( ,)xy 由于點由于點 也滿也滿足足 ，故拋物線，故拋物線(p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、對稱性、對稱性yox)0,2(pFP(x,y)定義：拋物線和它的軸的交點稱為拋物線定義：拋物線和它的軸的交點稱為拋物線的的頂點頂點。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）當(dāng)當(dāng)y=0時時,x=0, 因此拋物線的頂點頂點就是坐標(biāo)原點（0，0）。注注:這與橢圓有四個頂點這與橢圓有四個頂點,雙曲線有雙曲線有兩個頂點不同。兩個頂點

4、不同。、頂點、頂點4、離心率離心率yox)0,2(pFP(x,y) 拋物線上的點與焦拋物線上的點與焦點的點的距離距離和它到準(zhǔn)線的和它到準(zhǔn)線的距離距離 之比，叫做拋物線之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的的離心率，由拋物線的定義，可知定義，可知e=1。 下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。5、開口方向、開口方向yox)0,2(pFP(x,y)拋物線拋物線y2 =2px（p0）的開）的開口方向向右。口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x軸正半軸，向右軸正半軸，向右-X，x軸負半軸，向左軸負半軸，向左+y，y軸正半軸，向上軸正半軸，向上-y，y軸負半軸，向下軸負半軸

5、，向下特點：特點：1.拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有沒有對稱中心對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準(zhǔn)線一個焦點、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;思考思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.yox)0,2(pFP(x,y)（二）歸納：拋物線（二）歸納：拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點焦點準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸

6、elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1補充補充（1）通徑：）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的兩點的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度通徑的長度：2PP越大越大,開口越開闊開口越開闊（2）焦半徑：）焦半

7、徑： 連接拋物線任意一點與焦點的連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的線段叫做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通徑的兩個、通徑的兩個端點端點可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。例例：已知拋物線關(guān)于已知拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M M（，），求（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點法畫出圖形它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點法畫出圖形。因為拋物線關(guān)于因為拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點在坐軸對

8、稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M M（，）（，），2 2解：解：所以設(shè)方程為：所以設(shè)方程為：)0(22ppxy又因為點又因為點M M在拋物線上在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx（三）、（三）、例題講解：例題講解：2 224yx作圖：作圖：(1)列表列表（在第一象限內(nèi)列表）（在第一象限內(nèi)列表）x01234y(2)描點描點：022.83.54(3)連線連線：11xyO變式題變式題：求并頂點在坐標(biāo)原點，對求并頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點M M（，（，），），拋物線拋物

9、線的標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程。2 2（三）、例題講解：（三）、例題講解：yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.（三）、例題講解：（三）、例題講解：練習(xí)練習(xí)：頂點在坐標(biāo)原點，焦點在頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y y軸上，并且經(jīng)過點軸上，并且經(jīng)過點M M（4,4,) )的的拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為yxxyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（三）、例題講解：（三）、例題講解：練習(xí)練習(xí)2 2：頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是X X軸，點軸，點M M（-5, )-5, )到焦點距離為到焦點距離為6 6, ,則則拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為52（三）、

10、例題講解：（三）、例題講解：變式題變式題2 2：已已拋物線拋物線C C的頂點在坐標(biāo)原的頂點在坐標(biāo)原點，焦點點，焦點F F在在X X軸的正半軸上軸的正半軸上, ,若若拋物拋物線線上一上一動點動點P P到到A(2, 1/3),FA(2, 1/3),F兩點的距兩點的距離之和最小值為離之和最小值為4,4,求求拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方的標(biāo)準(zhǔn)方程程。（三）、例題講解：（三）、例題講解：例例3.3.（課本例（課本例4P4P6161：）斜率為斜率為1 1的直線的直線l經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y y2 2=4x=4x的焦點的焦點, ,且與且與拋物線拋物線相交于相交于A A，B B兩點，求線段兩點，求線段ABAB的長。的

11、長。（三）、（三）、例題講解：例題講解：課本例題推廣課本例題推廣： 直線直線l l 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y y2 2=2px=2px的焦點的焦點, ,且與且與拋物線拋物線相交于相交于A A，B B兩點，則線段兩點，則線段ABAB的長的長|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+P+P. .練習(xí)練習(xí)3 3：已知過拋物線已知過拋物線y y2 2=9x=9x的焦點的的焦點的弦長為弦長為1212, ,則弦所在直線的則弦所在直線的傾斜角傾斜角是是（三）、（三）、例題講解：例題講解：2323434656.DCBA或或或練習(xí)練習(xí)4 4：若直線若直線l l 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y y2 2=4x=4x的的

12、焦點焦點, , 與與拋物線拋物線相交于相交于A A，B B兩點兩點, ,且且線段線段ABAB的的中點的橫坐標(biāo)為中點的橫坐標(biāo)為2 2, ,求線段求線段ABAB的長的長. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：例例4.4.課本例課本例5P5P6262：已知拋物線的方程已知拋物線的方程為為y y2 2=4x=4x, ,直線直線l l 經(jīng)過點經(jīng)過點P(-2,1),P(-2,1),斜率為斜率為k k. .當(dāng)當(dāng)k k為何值時為何值時, ,直線與直線與拋物線拋物線: :只有只有一個公共點一個公共點; ;有兩個公共點有兩個公共點: :沒有公共沒有公共點點. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：變式題變式題3

13、 3：已知直線已知直線y=(a+1)xy=(a+1)x與曲線與曲線y y2 2=ax=ax恰有一個公共點恰有一個公共點, ,求實數(shù)求實數(shù)a a的值的值. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)5 5：已知直線已知直線y=kx+2y=kx+2與拋物線與拋物線y y2 2=8x=8x恰有一個公共點恰有一個公共點, ,則實數(shù)則實數(shù)k k的值為的值為（三）、（三）、例題講解：例題講解：01 .0 .31 .1 .或或或或DCBA（三）、（三）、例題講解：例題講解：變式題變式題4 4：求過點求過點P(0,1)P(0,1)且與拋物且與拋物線線y y2 2=2x=2x只有只有一個公共點的直線方一個公

14、共點的直線方程程. .例例5 5：已知過點已知過點Q(4,1)Q(4,1)作拋物線作拋物線y y2 2=8x=8x的弦的弦AB,AB,恰被恰被Q Q平分平分, ,求弦求弦ABAB所在的直所在的直線方程線方程. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)6 6：求以求以Q(1,-1)Q(1,-1)為中點的拋物線為中點的拋物線y y2 2=8x=8x的弦的弦ABAB所在的直線方程所在的直線方程. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：例例6 6：求拋物線求拋物線y y2 2=64x=64x上的點到直上的點到直線線4x+3y+46=04x+3y+46=0的距離的最小值的距離的最小值, ,并并求取

15、得最小值時的拋物線上的點的求取得最小值時的拋物線上的點的坐標(biāo)坐標(biāo). .（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)7 7：拋物線拋物線y=-xy=-x2 2上的點到直線上的點到直線4x+3y-8=04x+3y-8=0的距離的最小值是的距離的最小值是3 .585734DCBA（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)8 8： 拋物線拋物線y y2 2=x=x和圓和圓(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1上最近的兩點之間的距離是上最近的兩點之間的距離是( )( )1.1.2.1.211210 DCBA（三）、（三）、例題講解：例題講解：例例7 7：已知拋物線已知拋物線y=2xy=2x2

16、 2上兩點上兩點A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )關(guān)于直線關(guān)于直線y=x+my=x+m對稱對稱, ,若若x x1 1x x2 2= =- -1/21/2, ,則則m m的值為的值為( )( )232532.2 .DCBA（三）、（三）、例題講解：例題講解：變式題變式題5 5：已知直線已知直線y=x+by=x+b與拋物線與拋物線x x2 2=2y=2y交于交于A,BA,B兩點兩點, ,且且OAOBOAOB(O(O為為坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點),),求求b b的值的值. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：例例8(8(習(xí)題習(xí)題2.3B2.3B組組2P2P646

17、4) )：正三角形正三角形的一個頂點位于原點的一個頂點位于原點, ,另外兩個頂另外兩個頂點在拋物線點在拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上上, ,求這個求這個三角形的邊長三角形的邊長. .yOxBA分析分析:觀察圖觀察圖,正三角形及拋物線都是軸對稱圖形正三角形及拋物線都是軸對稱圖形,如如果能證明果能證明x軸是它們的公共的對稱軸軸是它們的公共的對稱軸,則容易則容易求出三角形的邊長求出三角形的邊長.線上，線上，在拋物在拋物、的頂點的頂點解：如圖，設(shè)正三角形解：如圖，設(shè)正三角形BAOAByOxBA），則），則，）、（）、（，且坐標(biāo)分別為（且坐標(biāo)分別為（2211yxyx.2222212

18、1pxypxy ，所以：，所以：又又22222121|yxyxOBOA ，即：即：022212221 pxpxxx. 022121 ）（）（pxxxx，020021 pxx.21xx .|21軸對稱軸對稱關(guān)于關(guān)于，即線段，即線段由此可得由此可得xAByy ，且且軸軸垂垂直直于于因因為為設(shè)設(shè)oAOxABxyxA30),(11 yOxBA.3330tan11 oxy，pyx2211 .342|1pyAB .321py 所以所以（三）、（三）、例題講解：例題講解：變式題變式題6(6(復(fù)習(xí)參考題復(fù)習(xí)參考題A A組組7P7P6868) )：正三角形的一個頂點位于拋物線正三角形的一個頂點位于拋物線y y2

19、 2=2px(p0)=2px(p0)焦點焦點, ,另外兩個頂點在另外兩個頂點在拋物線上拋物線上, ,求這個三角形的邊長求這個三角形的邊長. .分析分析:觀察圖觀察圖,正三角形及拋物線都是軸正三角形及拋物線都是軸對稱圖形對稱圖形,如果能證明如果能證明x軸是它們的軸是它們的公共的對稱軸公共的對稱軸,則容易求出三角形的邊長則容易求出三角形的邊長.yOxBAF例例9、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈口圓的直徑為口圓的直徑為60cm,燈深燈深40cm，求拋物線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點的位置。的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點的位置。FyxO解：如圖所示，在探照燈的軸截解：如圖所示，在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點與原點