非線性控制系統(tǒng)分析

1、HEFEI UNIVERSITY自動(dòng)控制原理小論文 項(xiàng)目名稱： 非線性控制系統(tǒng)分析 制作人 ： 程康 1205012023 12電子2班 指導(dǎo)教師： 儲(chǔ)忠 完成時(shí)間： 2015年7月1號(hào) 一、主要內(nèi)容（1）典型非線性特性（2）描述函數(shù)（3）描述函數(shù)法二、基本要求（1）了解幾種典型非線性特性、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)以及分析方法。（2）理解描述函數(shù)的應(yīng)用條件、定義和求法。（3）熟練掌握幾種典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，并會(huì)運(yùn)用典型非線性特性的串并聯(lián)分解求取復(fù)雜非線性特性的描述函數(shù)。（4）掌握運(yùn)用描述函數(shù)法分線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩的方法，并能計(jì)算自振蕩的振幅和頻率。三、內(nèi)容提要1、典型非線性特性（1）非線性

2、系統(tǒng)的特點(diǎn)疊加原理無(wú)法應(yīng)用于非線性微分方程中。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的輸入信號(hào)和初始條件有關(guān)。線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，而非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)卻有關(guān)。有些非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵(lì)下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的自激振蕩或極限環(huán)。（2）典型非線性特性2、描述函數(shù)（1）描述函數(shù)的定義類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用來(lái)表示。（2）描述函數(shù)的應(yīng)用條件非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化為只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。非線性特性的靜態(tài)輸入

3、輸出關(guān)系是奇對(duì)稱的，即，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出中不包含直流分量。系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。（3）描述函數(shù)的求法描述函數(shù)求解的一般步驟是：首先由非線性特性曲線，畫出正弦信號(hào)輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的的數(shù)學(xué)表達(dá)式。利用傅氏級(jí)數(shù)求出的基波分量。將基波分量代入描述函數(shù)定義，即可求得相應(yīng)的描述函數(shù)。（4）組合非線性特性的描述函數(shù)非線性特性的并聯(lián)若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的描述函數(shù)，等于個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，串聯(lián)后總的非線性特性的描述函數(shù)并不等于個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。

4、而是應(yīng)該先求出這兩個(gè)串聯(lián)非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)。3、描述函數(shù)法（1）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，非線性部分可以用描述函數(shù)表示，線性部分則用頻率特性表示。利用描述函數(shù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據(jù)是：若曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若曲線包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若曲線與曲線相交，理論上將產(chǎn)生振蕩，或稱為自激振蕩。（2）自激振蕩的分析與計(jì)算自激振蕩條件自激振蕩的穩(wěn)定性判別自激振蕩穩(wěn)定的方法是：在復(fù)平面自激振蕩附近，當(dāng)按幅值增大的方向沿曲線移動(dòng)時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。反之，當(dāng)按幅值增

5、大的方向沿曲線移動(dòng)是從穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自激振蕩是不穩(wěn)定的。自激振蕩的計(jì)算對(duì)于穩(wěn)定的自激振蕩，其振幅和頻率的計(jì)算方法是：振幅可由曲線的自變量來(lái)確定，振蕩頻率由曲線的自變量來(lái)確定。147.1 引言對(duì)于非線性系統(tǒng)，描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型是非線性方程，它與線性系統(tǒng)的最大差別是不能使用疊加原理。一、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)相比，在數(shù)學(xué)模型、穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)、頻率響應(yīng)、時(shí)間響應(yīng)等許多方法均存在顯著的差別，非線性系統(tǒng)具有線性系統(tǒng)所沒(méi)有的許多特點(diǎn)，其主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）數(shù)學(xué)模型疊加原理無(wú)法應(yīng)用于非線性微分方程中。（2）穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參

6、數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的輸入信號(hào)和初始條件有關(guān)。研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須明確兩點(diǎn)：一是指明給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，二是指明相對(duì)于哪一個(gè)平衡狀態(tài)來(lái)分析穩(wěn)定性。（3）系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，換句話講，線性系統(tǒng)在某一初始狀態(tài)下的零輸入響應(yīng)是單調(diào)收斂的，則在其它初始狀態(tài)下的零輸入響應(yīng)形式仍為單調(diào)收斂，不可能是其它形式（如振蕩、發(fā)散等）。而非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)卻有關(guān)。當(dāng)初始狀態(tài)不同時(shí)，同一個(gè)非線性系統(tǒng)可有不同的零輸入響應(yīng)形式。（4）自激振蕩或極限環(huán)有些非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵(lì)下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統(tǒng)的

7、自激振蕩或極限環(huán)。如果非線性有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，則它的振幅和頻率不受擾動(dòng)和初始狀態(tài)的影響。二、非線性系統(tǒng)的研究方法目前工程上常用的分析非線性系統(tǒng)的方法有描述函數(shù)法、相平面法，以及分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般的方法，即李雅普諾夫直接法。當(dāng)然，近幾年發(fā)展起來(lái)的一些非線性系統(tǒng)分析法有：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、分形理論、專家系統(tǒng)等等。三、典型非線性特性（1）飽和特性kM-aaxy飽和非線性特性的數(shù)學(xué)描述k-aaxy 飽和非線性特性的特點(diǎn)是：當(dāng)輸入信號(hào)較小時(shí)，工作在線性區(qū)域；當(dāng)輸入信號(hào)較大時(shí)，輸出呈飽和狀態(tài)。（2）死區(qū)特性死區(qū)非線性特性的數(shù)學(xué)描述死區(qū)非線性出現(xiàn)在一些對(duì)小信號(hào)不靈敏的裝置中，-bb-aaxy如

8、測(cè)量元件、執(zhí)行機(jī)構(gòu)等。其特點(diǎn)是：當(dāng)輸入信號(hào)較小時(shí)，無(wú)輸出信號(hào)；當(dāng)信號(hào)大于死區(qū)后，輸出信號(hào)才隨著輸入信號(hào)變化。死區(qū)非線性對(duì)系統(tǒng)性能的主要影響是：（3）滯環(huán)特性滯環(huán)非線性也稱為間隙非線性，其數(shù)學(xué)描述為滯環(huán)非線性主要存在于機(jī)械加工設(shè)備由于裝配帶來(lái)的間隙，其特性是：當(dāng)輸入信號(hào)較小時(shí)，輸出為零；當(dāng)輸入信號(hào)大于a時(shí)，輸出呈線性變化；當(dāng)輸入信號(hào)反向時(shí)，輸出保持不變，直到輸入小于-a時(shí)，輸出才又呈線性變化。（4）繼電器特性-aab-bxyb-bxy繼電器非線性有雙位繼電器特性、具有死區(qū)的繼電器特性、具有滯環(huán)的繼電器特性、具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器特性。7.2 描述函數(shù)非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)表示，是線性部分頻率特性表示

9、法的一種推廣。該方法首先通過(guò)描述函數(shù)將非線性特性線性化，然后應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。一、描述函數(shù)的定義（1）描述函數(shù)的基本概念設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為正弦信號(hào)其輸出一般為非周期正弦信號(hào)，可以展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)若非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出部分的靜態(tài)特性曲線是奇對(duì)稱的，即，于是輸出中將不會(huì)出現(xiàn)直流分量，從而。式中：，同時(shí)，若線性部分的具有低通濾波器的特性，從而非線性輸出中的高頻分量部分被線性部分大大削弱，可以近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中只包含有基波分量，即式中：，（2）描述函數(shù)的定義類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用

10、來(lái)表示。顯然，時(shí)，為復(fù)數(shù)。（3）描述函數(shù)的應(yīng)用條件非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化為只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。非線性特性的靜態(tài)輸入輸出關(guān)系是奇對(duì)稱的，即，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出中不包含直流分量。系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。二、描述函數(shù)的求法描述函數(shù)求解的一般步驟是：首先由非線性特性曲線，畫出正弦信號(hào)輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的的數(shù)學(xué)表達(dá)式。利用傅氏級(jí)數(shù)求出的基波分量。將基波分量代入描述函數(shù)定義，即可求得相應(yīng)的描述函數(shù)。以繼電器非線性特性為例，說(shuō)明描述函數(shù)的求解方法。由于非線性為雙位繼電

11、器，即在輸入大于零時(shí)，輸出等于定值，而輸入小于零時(shí)，輸出為定值，故而，在正弦輸入信號(hào)的作用下，非線性部分的輸出波形為方波周期信號(hào)，且周期同輸入的正弦信號(hào)。其波形如下圖所示。由波形圖可見(jiàn)，輸出的方波周期信號(hào)為奇函數(shù)，則其傅氏級(jí)數(shù)中的直流分量與基波的偶函數(shù)分量系數(shù)均為零，即于是，輸出信號(hào)可表示為取輸出的基波分量，即于是，繼電器非線性特性的描述函數(shù)為顯然，的相位角為零度，其幅值是輸入正弦信號(hào)幅值的函數(shù)。常見(jiàn)非線性特性的描述函數(shù)：繼電器非線性描述函數(shù)飽和非線性特性的描述函數(shù)其它常見(jiàn)非線性特性的描述函數(shù)，見(jiàn)表7-1例：研究非線性函數(shù)的描述函數(shù)。解：畫出給定非線性特性曲線。顯然，非線性特性為單值奇函數(shù)，所

12、以，將代入上式，得到于是，描述函數(shù)為 三、組合非線性特性的描述函數(shù)簡(jiǎn)單非線性基本連接形式有串聯(lián)、并聯(lián)。（1）非線性特性的并聯(lián)計(jì)算總的描述函數(shù)為由此可見(jiàn)，若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的描述函數(shù)，等于個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。（2）非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，串聯(lián)后總的非線性特性的描述函數(shù)并不等于個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。而是應(yīng)該先求出這兩個(gè)串聯(lián)非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)。例：如下兩個(gè)非線性特性相串聯(lián)2121zx2121yz2121yx由串聯(lián)后的等效非線性特性，對(duì)照表7-1的死區(qū)加飽和非線性特性，可見(jiàn)，于是，等效非線性特性的描述函數(shù)為7.3 非線性系統(tǒng)的描

13、述函數(shù)法采用描述函數(shù)法研究的非線性系統(tǒng)應(yīng)該是如下結(jié)構(gòu)。一、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在上述所示的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，非線性部分可以用描述函數(shù)表示，線性部分則用頻率特性表示。由閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性如下其閉環(huán)特征方程為從而有上式稱為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)。表7-1給出了常見(jiàn)非線性函數(shù)的負(fù)倒描述函數(shù)曲線，其中箭頭表示了幅值的增大方向。利用描述函數(shù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據(jù)是：若曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若曲線包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若曲線與曲線相交，理論上將產(chǎn)生振蕩，或稱為自激振蕩。穩(wěn)定ReIm不穩(wěn)定ReImcdba振蕩ReIm二、自激振蕩的分析與計(jì)算由上

14、述分析可知，當(dāng)線性部分的頻率特性與負(fù)倒描述函數(shù)曲線相交時(shí)，非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩。下面進(jìn)一步分析自激振蕩的條件和自激振蕩的穩(wěn)定性。自激振蕩條件可以改寫為即自激振蕩的穩(wěn)定性cdba振蕩ReIm所謂自激振蕩的穩(wěn)定性是指，當(dāng)非線性系統(tǒng)受到擾動(dòng)作用而偏離原來(lái)的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠回到原來(lái)的等幅振蕩狀態(tài)的，稱為穩(wěn)定的自激振蕩。反之，稱為不穩(wěn)定的自激振蕩。如右圖所示，線性部分的頻率特性與負(fù)倒描述函數(shù)曲線有兩個(gè)相交點(diǎn)、，這說(shuō)明系統(tǒng)有兩個(gè)自激振蕩點(diǎn)。對(duì)于點(diǎn)，若受到擾動(dòng)使幅值增大，則工作點(diǎn)將由點(diǎn)移至點(diǎn)。由于點(diǎn)不被包圍，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故振蕩衰減，振幅自動(dòng)減小，工作點(diǎn)將沿曲線又回到點(diǎn)。反之亦然。所以

15、點(diǎn)是穩(wěn)定的自激振蕩。對(duì)于點(diǎn)，若受到擾動(dòng)使幅值減小，則工作點(diǎn)將由點(diǎn)移至點(diǎn)。由于點(diǎn)不被包圍，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故振蕩衰減，振幅進(jìn)一步減小，工作點(diǎn)將沿曲線向幅值不斷減小的方向移動(dòng)，從而不能再回到點(diǎn)。反之亦然。所以點(diǎn)是不穩(wěn)定的自激振蕩。判別自激振蕩穩(wěn)定的方法是：在復(fù)平面自激振蕩附近，當(dāng)按幅值增大的方向沿曲線移動(dòng)時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。反之，當(dāng)按幅值增大的方向沿曲線移動(dòng)是從穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自激振蕩是不穩(wěn)定的。自激振蕩的計(jì)算對(duì)于穩(wěn)定的自激振蕩，其振幅和頻率是確定并且是可以測(cè)量的，具體的計(jì)算方法是：振幅可由曲線的自變量來(lái)確定，振蕩頻率由曲線的自變量來(lái)確定。需要注意的是