2010高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（2）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)學(xué)案

1、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）【學(xué)法導(dǎo)航】1.考查有關(guān)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的試題，從試題上看，抽象函數(shù)和具體函數(shù)都有，有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢(shì)，另外試題注重對(duì)轉(zhuǎn)化思想的考查，且都綜合地考查單調(diào)性與奇偶性.2.考查與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換，注意函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力. 3.考查與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的試題.對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理來解決.4加強(qiáng)函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想的考查是高考的一個(gè)重點(diǎn).善于轉(zhuǎn)化命題，引進(jìn)變量建立函數(shù)，運(yùn)用變化

2、的方法、觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)試題以提高數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展能力.5、注意與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查函數(shù)的性質(zhì). 6、函數(shù)的應(yīng)用，是與實(shí)際生活結(jié)合的試題，應(yīng)加強(qiáng)重視【典例精析】1.函數(shù)的性質(zhì)與圖象函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容在復(fù)習(xí)中要肯于在對(duì)定義的深入理解上下功夫復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化具體要求是：1正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性2從數(shù)形結(jié)合的角

3、度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法3培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來。因此，掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，這也正是“數(shù)形結(jié)合思想”的體現(xiàn)。復(fù)習(xí)函數(shù)圖像要注意以下方面1掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描點(diǎn)法和圖象變換法2會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題3用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題4掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納

4、、概括和綜合分析能力例1、（2008廣東汕頭二模）設(shè)集合A=x|x<-1或x>1，B=x|log2x>0，則AB=( ) Ax| x>1Bx|x>0Cx|x<-1 Dx|x<-1或x>1【解析】:由集合B得x>1 , AB=x| x>1，故選（A） 點(diǎn)評(píng)本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，是函數(shù)與集合結(jié)合的試題，難度不大，屬基礎(chǔ)題。例2、“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為

5、時(shí)間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是 （ ） A B C D【解析】：選（B），在（B）中，烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子在同一時(shí)間的路程比烏龜短。點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象是近年高考的熱點(diǎn)的試題，考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問題、分析問題的能力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視。例3、設(shè) ，又記則 （ ）A； B； C； D；【解析】:本題考查周期函數(shù)的運(yùn)算。，據(jù)此，因?yàn)樾?，故選.點(diǎn)評(píng)本題考查復(fù)合函數(shù)的求法，以及是函數(shù)周期性，考查學(xué)生觀察問題的能力，通過觀察，關(guān)于總結(jié)、歸納，要有從特殊到一般的思想。例4、函數(shù)，若,則的值為 （ ）A.3 B.0 C.-1 D.-2【解析】：為奇函數(shù)，又故即.點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生

6、觀察問題的能力，通過觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過變換式子與學(xué)過的知識(shí)相聯(lián)系，使問題迎刃而解例5、（2008廣東高考試題）設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性【解析】 對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。點(diǎn)評(píng)在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時(shí)，可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理，但學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后，函數(shù)的單調(diào)性就經(jīng)常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來處理函數(shù)的單調(diào)進(jìn)性，顯得更加簡(jiǎn)單、方便2.二次函數(shù)二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、

7、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ). 因此，從這個(gè)意義上說，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了. 學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.例6、設(shè)二

8、次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明.【解析】：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式. 證明：由題意可知.， ， 當(dāng)時(shí)，.又， ，綜上可知，所給問題獲證. 點(diǎn)評(píng)：本題主要利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫出二次函數(shù)的零點(diǎn)式例7、設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根和滿足（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）試比較與的大小并說明理由【解析】法1：（）令，則由題意可得故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是（II），令當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，即法2：（I）同解法1（II），由（I）知，又于是，即，故法3：（I）方程，由韋達(dá)定理得，于是故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是（II）依題意可設(shè)，則由，得，故點(diǎn)

9、評(píng)本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運(yùn)算能力3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù), 高考中既考查雙基, 又考查對(duì)蘊(yùn)含其中的函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運(yùn)用. 因此應(yīng)做到能熟練掌握它們的圖象與性質(zhì)并能進(jìn)行一定的綜合運(yùn)用.Oyx例8、已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（ ）ABCD【解析】：由圖易得取特殊點(diǎn) .選A.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正確利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小。例9、（2007全國(guó)高考試題）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則（）A B CD【解析】：設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，它們的

10、差為， ，4，選D。例10、（2008全國(guó)高考試題）若，則（ ）A<<B<<C <<D <<【解析】：由，令且取知<<4.反函數(shù)反函數(shù)在高考試卷中一般為選擇題或填空題，難度不大。通常是求反函數(shù)或考察互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用和圖象關(guān)系。主要利用方法為：反函數(shù)的概念及求解步驟：由方程y=¦(x)中解出x=j(y)；即用y的代數(shù)式表示x.。改寫字母x和y，得出y=¦-1(x)；求出或?qū)懗龇春瘮?shù)的定義域，（亦即y=¦(x)的值域）。 即反解Þ互換Þ求定義域互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的

11、關(guān)系，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系：注意：在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù)，但存在反函數(shù)的函數(shù)在定義域內(nèi)不一定嚴(yán)格單調(diào)，如y=。例11、（2007北京高考試題）函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ窘馕觥浚汉瘮?shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，原函數(shù)的值域?yàn)椋?選B。點(diǎn)評(píng)：本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，即：反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域例12、（2008湖南高考試題）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2),則函數(shù)的圖象一定過點(diǎn) .【解析】由函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2)得: 即函數(shù)過點(diǎn)則其反函數(shù)過點(diǎn)所以函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系以及圖象的平移5

12、.抽象函數(shù)抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點(diǎn)的函數(shù)值，特定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學(xué)生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質(zhì)法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問題，（一） 函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性，單調(diào)性周期性，特殊點(diǎn)等)反應(yīng)出來

13、的，抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化，化難為易，常用的解題方法有:1，利用奇偶性整體思考;2，利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化;3，利用周期性回歸已知4;利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合;5，借助特殊點(diǎn)，布列方程等.（二 ）特殊化方法1、在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用代換的方法，將x換成x等2、在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入3、研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對(duì)綜合題，的解答提供思路和方法. 總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難湊效，但我們?nèi)绻芡ㄟ^對(duì)題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會(huì)收到

14、事半功倍之功效，真有些山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村的快感.例13、定義在上的函數(shù)滿足（），則等于（ ）A2B3C6D9解：令，令；令得6.函數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合解決問題函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對(duì)問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系因此，運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵例14、某單位用2160萬元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造

15、一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=）【解析】：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，依題意得則，令，即，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，元.答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。點(diǎn)評(píng)：這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解決問題。利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法.例15、某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出432件

16、. 如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值（單位：元，）的平方成正比.已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件（I）將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成的函數(shù)；（II）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力【解析】：（）設(shè)商品降價(jià)元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個(gè)星期的獲利為，則依題意有，又由已知條件，于是有，所以（）根據(jù)（），我們有21200極小極大故時(shí)，達(dá)到極大值因?yàn)?，所以定價(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

17、的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力7.函數(shù)的零點(diǎn)例16、（2008山東荷澤模擬題）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 ）AB（1，10）CD解：因?yàn)閒（1）010，f（10）10，即f（1）f（10）0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,10）之間有零點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）f（b）0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，二分法，函數(shù)的應(yīng)用都是函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容。例17、（2007廣東高考題）已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為f (x)=2x -3，其零點(diǎn)x=不在區(qū)間-1，1上。當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f 

18、(x) 在區(qū)間-1，1分為兩種情況：函數(shù)在區(qū)間1，1上只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)或解得1a5或a= 函數(shù)在區(qū)間1，1上有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí) 或解得a5或a<綜上所述，如果函數(shù)在區(qū)間1，1上有零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-, 1, +) 【專題綜合】1準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實(shí)數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩部分第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì)，這部分的重點(diǎn)是能從變量的觀點(diǎn)和集合映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性

19、質(zhì)第一部分是理論基礎(chǔ)，第二部分是第一部分的運(yùn)用與發(fā)展例1已知函數(shù)f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C0或1 D1或2分析：這里首先要識(shí)別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言從函數(shù)觀點(diǎn)看，問題是求函數(shù)y=f(x)，xF的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三要素組成的這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1 F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選

20、C2掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了，對(duì)一些典型問題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等，并形成了研究這些問題的初等方法，這些方法對(duì)分析問題能力，推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)g(x)或f(x)g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對(duì)于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)是十分有益的；方程、不等式從另一個(gè)側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具例2方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為 （）A(

21、0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，+)分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了實(shí)際上這是要比較與2的大小當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1由于lg21，因此2，從而判定(2，3)，故本題應(yīng)選C說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫不僅要通過圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷例3(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k0)，若mn有f(m)0，

22、f(n)0，則對(duì)于任意x(m，n)都有f(x)0，試證明之；(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：若a，b，cR且|a|1，|b|1，|c|1，則ab+bc+ca-1分析：?jiǎn)栴}(1)實(shí)質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k0)， x(m， n)若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值均為正，則對(duì)于任意x(m，n)都有f(x)0之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手(1)證明：當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是增函數(shù)，mxn，f(x)f(m)0；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是減函數(shù)，mxn，f(x)f(n)0所以對(duì)于任意x(m，n)都有f(x)0成立(2)

23、將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1則f(a)=(b+c)a+bc+1當(dāng)b+c=0時(shí)，即b=-c， f(a)=bc+1=-+1因?yàn)閨c|1，所以f(a)=-+10當(dāng)b+c0時(shí)，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)因?yàn)閨b|1，|c|1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)0由問題(1)對(duì)于|a|1的一切值f(a)0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+10說明：?jiǎn)栴}(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”把證明ab+bc+ca-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+10

24、， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對(duì)稱的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問題轉(zhuǎn)化為在|a|1，|b|1，|c|1的條件下證明f(a)0(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)0) 例4定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對(duì)任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0對(duì)任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對(duì)任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=

25、-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)對(duì)任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)f(k

26、83;3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3-3+9+2，3-(1+k)·3+20對(duì)任意xR成立令t=30，問題等價(jià)于t-(1+k)t+20對(duì)任意t0恒成立R恒成立說明：?jiǎn)栴}(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)是奇函數(shù)且在xR上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對(duì)于任意t0恒成立對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解本題還有更簡(jiǎn)捷的解法：分離系數(shù)由k·3-3+9+2得上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡(jiǎn)捷、新穎【專題突破】1對(duì)函數(shù)作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是 ( )ABCg(t)=(t1)2Dg

27、(t)=cost2方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0的曲線是 ( )3已知命題p：函數(shù)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù) 是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是Aa1Ba<2C1<a<2Da1或a24.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為 （ ）A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)5.如果函數(shù)f(x)xbxc對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2t)f(2t)，那么（ ）A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D.

28、 f(4)<f(2)<f(1)6.已知函數(shù)yf(x)有反函數(shù)，則方程f(x)a (a是常數(shù)) （ ）A.有且僅有一個(gè)實(shí)根 B.至多一個(gè)實(shí)根 C.至少一個(gè)實(shí)根 D.不同于以上結(jié)論7.已知sincos，(，)，則tan的值是 （ ）A. B. C. D. 8.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且SS (pq，p、qN)，則S_。9.關(guān)于x的方程sinxcosxa0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。10.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為_11. 建造一個(gè)容積為8m，深為2m的長(zhǎng)方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的

29、最低造價(jià)為_。12已知函數(shù)滿足：，則 。13已知為正整數(shù)，方程的兩實(shí)根為，且，則的最小值為_14設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax+2x+1)(1)若f(x)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍15設(shè)不等式2x1>m(x1)對(duì)滿足|m|2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。16. 設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)的和為S，已知a12，S>0，S<0 。.求公差d的取值范圍；.指出S、S、S中哪一個(gè)值最大，并說明理由。(1992年全國(guó)高考) P MA H B D C17. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC，

30、PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離。18. 已知ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tanA·tanC2，又知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于4,求ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角19. 設(shè)f(x)lg，如果當(dāng)x(-,1時(shí)f(x)有意義，求 實(shí)數(shù)a的取值范圍。20已知偶函數(shù)f(x)=cosqsinxsin(xq)+(tanq2)sinxsinq的最小值是0，求f(x)的最大值 及此時(shí)x的集合21已知，奇函數(shù)在上單調(diào)（）求字母應(yīng)滿足的條件；（）設(shè)，且滿足，求證：（）、參考答案1不改變f(x)值域，即不能縮小原函數(shù)定義域。選項(xiàng)B，C，D均縮小了的定義域，故選A。2先作出f(x,y)=

31、0關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)的圖象，即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象，又f(2x,y)=0即為，即由f(-x,y)=0向右平移2個(gè)單位。故選C。3命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時(shí)，。 若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題。 若p為真，q為假時(shí)，無解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1<a<2，故選C.4圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)（特值法或代入法），選C；5函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；6從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；7設(shè)tanx (x>0），則，解出x2，再用萬能公式，選

32、A；8利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，則答案：0；9設(shè)cosxt，t-1,1，則att1,1，所以答案：,1；10設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24；11設(shè)長(zhǎng)x，則寬，造價(jià)y4×1204x×80×801760，答案：1760。12運(yùn)用條件知：=2，且=1613依題意可知，從而可知，所以有，又為正整數(shù)，取，則，所以，從而，所以，又，所以，因此有最小值為。下面可證時(shí)，從而，所以, 又,所以,所以,綜上可得:的最小值為1114分析:這是有關(guān)函數(shù)定義域、值域的問題，題目是逆向給出的，解好本題要

33、運(yùn)用復(fù)合函數(shù)，把f(x)分解為u=ax+2x+1和y=lgu 并結(jié)合其圖象性質(zhì)求解解:(1)的定義域是R對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立. a=0或a0不合題意，所以故a1即為所求.(2) 的值域域是R能取遍一切正實(shí)數(shù).a0時(shí)不合題意； a=0時(shí)，u=2x+1，u能取遍一切正實(shí)數(shù)；a0時(shí)，其判別式=22-4×a×10，解得0a1所以當(dāng)0a1時(shí)f(x)的值域是R15分析：此問題由于常見的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個(gè)角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x1)m(2x1)<0在-2,2上恒成立的問題。對(duì)此的研究，設(shè)f(m)(x1)m(2x1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一

34、次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在-2,2內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。解：?jiǎn)栴}可變成關(guān)于m的一次不等式：(x1)m(2x1)<0在-2,2 恒成立，設(shè)f(m)(x1)m(2x1), 則 解得x（,）說明 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)的解集是-2,2時(shí)求m的值、關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)在-2,2上恒成立時(shí)求m的范圍。一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化。或者含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參

35、數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。16分析： 問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個(gè)值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時(shí)S取最大值的函數(shù)最值問題。解： 由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。 解得：d3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因?yàn)閐0，故n(5)最小時(shí)，S最大。由d3得6(5)6.5，故正整數(shù)n6時(shí)n(5)最小，所以S最大。說明： 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集

36、上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進(jìn)行算式化，從而簡(jiǎn)潔明快。由次可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性。本題的另一種思路是尋求a0、a0，即鄰項(xiàng)變號(hào)：由d0知道aaa，由S13a0得a0，由S6(aa)0得a0。所以，在S、S、S中，S的值最大17分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。 P MA H B D C解：在PB上任取一點(diǎn)M，作MDAC于D，MHAB于H，設(shè)MHx，則MH平面ABC，ACHD 。MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當(dāng)x時(shí)，MD取最小值為兩異面直線的距離。說明：本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對(duì)于求最大值、最小值的實(shí)際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性