4.2-時(shí)域分析法--直接積分法

1、4.2 時(shí)域分析法直接積分法（時(shí)程分析）4.2.1 概述數(shù)值積分法是根據(jù)已知的初始時(shí)刻的位移、速度、加速度和荷載條件，計(jì)算下一時(shí)刻振動(dòng)響應(yīng)的方法。 數(shù)值積分法數(shù)值積分法屬屬于于初值問題，初值問題，也稱步步積分也稱步步積分法或時(shí)程分析法或時(shí)程分析法。法。時(shí)程分析法基本概念 因此，時(shí)程分析法是對(duì)結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動(dòng)微分方程直接進(jìn)行逐步積分求解的一種動(dòng)力分析方法。由時(shí)程分析可得到各質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化的位移、速度和加速度動(dòng)力反應(yīng)，并進(jìn)而可計(jì)算出構(gòu)件內(nèi)力的時(shí)程變化關(guān)系。由于此法是對(duì)運(yùn)動(dòng)方程直接求解，又稱直接動(dòng)力分析法。 直接動(dòng)力分析包括確定性動(dòng)力分析與非確定性動(dòng)力分析兩大類，即確定性動(dòng)力分析中的時(shí)程分析法與非確定性

2、分析的隨機(jī)振動(dòng)分析法，這里主要介紹時(shí)程分析法。 抗震規(guī)范規(guī)定，重要的工程結(jié)構(gòu)，例如：大跨橋梁，特別不規(guī)則建筑、甲類建筑，高度超出規(guī)定范圍的高層建筑應(yīng)采用時(shí)程分析法進(jìn)行補(bǔ)充計(jì)算。顯式積分、隱式積分顯式積分是在第i步計(jì)算中狀態(tài)ti滿足運(yùn)動(dòng)方程式的計(jì)算方法。用顯式積分法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)，為了提高計(jì)算精度，時(shí)間間隔t必須十分小，否則，隨著計(jì)算步數(shù)的增加，誤差不斷積累、出現(xiàn)發(fā)散的現(xiàn)象。當(dāng)前時(shí)刻的位移只與前一時(shí)刻的加速度和位移有關(guān)，這就意味著當(dāng)前當(dāng)前時(shí)刻的位移只與前一時(shí)刻的加速度和位移有關(guān)，這就意味著當(dāng)前時(shí)刻的位移求解無需迭代過程。時(shí)刻的位移求解無需迭代過程。 另外，只要將運(yùn)動(dòng)方程中的質(zhì)量矩陣另外，只要將運(yùn)

3、動(dòng)方程中的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣對(duì)角化（線性無關(guān)），前一時(shí)刻的加速度求解無需解聯(lián)立和阻尼矩陣對(duì)角化（線性無關(guān)），前一時(shí)刻的加速度求解無需解聯(lián)立方程組，從而使問題大大簡(jiǎn)化，這就是所謂的顯式求解法。方程組，從而使問題大大簡(jiǎn)化，這就是所謂的顯式求解法。 顯式積分、隱式積分隱式積分是滿足ti+t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方程式的計(jì)算方法。這種算法由于函數(shù)f包含未知的結(jié)構(gòu)響應(yīng)（求解ti+t時(shí)刻的反應(yīng)，但函數(shù)f卻含有待求的ti+t時(shí)刻的結(jié)構(gòu)響應(yīng)），因此，需要通過反復(fù)迭代的方法計(jì)算ti+t時(shí)刻的響應(yīng)，它是一個(gè)非線性計(jì)算的過程。隱式積分歸結(jié)為求解非線性方程組。顯式方法(explicit)在方程求解過程中只涉及到歷史的第i和i1步的

4、信息，而當(dāng)前的第i1步的信息（比如空間上的其他點(diǎn)）不會(huì)涉及到,而隱式方法(implicit)在求解當(dāng)前點(diǎn)(第i1步)時(shí)，會(huì)涉及到其他已知點(diǎn)的第i+1步信息,所以需要迭代。顯式求解與隱式在數(shù)學(xué)上說主要是在求解的遞推公式一個(gè)是用顯式方程表示，一個(gè)是用影視方程來表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解，這就是顯示方程，如果a(n)=a(n-1)+fa(n)，fa(n)為a(n)的函數(shù)，此時(shí)a(n)不能用方程顯示表示，及數(shù)學(xué)上的隱函數(shù)，一般很難直接求解，多用迭代試算法間接求解。1.1.運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程線性問題：線性問題： （1 1） ( )( )( )( )IDs

5、f tftf tP t ,CK為常數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣sf( )x tDf( )x t/sfxktg/Dfxctg非線性問題：非線性問題： ,CK為時(shí)變矩陣為時(shí)變矩陣sf( )x tDf( )x t ( ) ( )( )( )( ) 1gMx tC tx tK tx tMx 2.2.增量平衡方程增量平衡方程tt時(shí)刻：時(shí)刻： （2 2） x tx ttx t x tx ttx t () ( )x tx ttx t ( )()( )P tP ttP t令令將將(1),(2)(1),(2)兩式相減：兩式相減：（1 1） ( )( )( )( )IDsf tftf tP t ()()()()IDsf tt

6、fttf ttP tt ( )( )( )( )IDsf tftf tP t ( )()( )()( )( )IIIf tf ttf tMx ttx tMx t ( )()( ) ( )( )DDDftfttftC tx tDf( )x tDdfxdx Df( )x t()x ttx()Dftt ( )Dft( )c t斜率 Ddfc tdx ( )()( )( )( )sssf tf ttf tK tx tsf( )x tsdfxdxsf( )x t()x ttx()sf tt( )sf t( )k t斜率 stdfk tdx( ) ( )( )( )( )( )Mx tC tx tK tx

7、 tP t -增量方程增量方程(3)(3) ( )()( )()( )( )IIIf tf ttf tMx ttx tMx t ( )()( ) ( )( )DDDftfttftC tx t Dtdfc tdx ( )( )( )( )IDsf tftf tP t 結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)在t t時(shí)刻的剛度矩陣時(shí)刻的剛度矩陣由由t t時(shí)刻結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的切線剛度確定時(shí)刻結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的切線剛度確定方程左邊的力增量表達(dá)式是近似的！方程左邊的力增量表達(dá)式是近似的！Df( )x tDdfxdx Df( )x t()x ttx()Dftt ( )Dft( )c t斜率常用的隱式積分法隱式積分歸結(jié)為求解非線性方程組。但是從計(jì)

8、算效率考慮，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析中一般對(duì)它的計(jì)算過程加以修正提高計(jì)算收斂性和效率，各種改進(jìn)算法中Newmark 法和Wilson 法是結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析中最常用的兩種方法。非線性地震反應(yīng)分析的逐步積分法線性加速度法： t時(shí)間間隔內(nèi)加速度線性變化假定 平均加速度法： t時(shí)間間隔內(nèi)加速度為常數(shù)假定 Newmark法Wilson法 4.2.2 Newmark 法 Newmark 法是一種加速度法，它是根據(jù)時(shí)間增量?jī)?nèi)假定的加速度變化規(guī)律計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的方法。由于時(shí)間增量?jī)?nèi)加速度變化規(guī)律的假定形式是任意的，因此Newmark 法有多種形式的計(jì)算公式。為了方便理解起見，以下通過幾種特殊情況的加速度算法來介紹

9、Newmark 法。 1.線性加速度法 假定時(shí)刻ti到ti+1 (=ti+t)之間加速度線性變化 對(duì)上式積分得到速度和位移響應(yīng)： 1.1.線性加速度法線性加速度法在時(shí)刻在時(shí)刻t ti i+1+1結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)應(yīng)滿足運(yùn)動(dòng)方程：結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)應(yīng)滿足運(yùn)動(dòng)方程： 代入方程，得到代入方程，得到t ti i+1+1時(shí)刻的加速度：時(shí)刻的加速度：進(jìn)一步計(jì)算進(jìn)一步計(jì)算t ti i+1+1時(shí)刻的速度、位移。時(shí)刻的速度、位移。Newmark 法有很多的表示形式，也可以表示成直接計(jì)算位移的形式。與直接計(jì)算加速度響應(yīng)的計(jì)算方法相比，直接計(jì)算位移響應(yīng)的計(jì)算方法更加常用。關(guān)于直接計(jì)算位移的方法后面再介紹。2. 2. 平均加速度

10、法平均加速度法 假定加速度在假定加速度在t ti i- - t ti i+1+1區(qū)間區(qū)間內(nèi)為平均值：內(nèi)為平均值： 速度、位移為：速度、位移為：2.2.平均加速度法平均加速度法n在時(shí)刻在時(shí)刻t ti i+1+1結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)應(yīng)滿足運(yùn)動(dòng)方程：結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)應(yīng)滿足運(yùn)動(dòng)方程：n得到得到t ti i+1+1時(shí)刻的加速度為：時(shí)刻的加速度為：n進(jìn)一步計(jì)算進(jìn)一步計(jì)算t ti i+1+1時(shí)刻的速度、位移。時(shí)刻的速度、位移。 3. Newmark 法統(tǒng)一的表達(dá)式線性加速度結(jié)果iittt1平均加速度結(jié)果統(tǒng)一表達(dá)式=1/6 為線性加速度=1/4 為平均加速度線性加速度結(jié)果用增量形式表示振動(dòng)方程位移、速度和加速度增量其中n

11、根據(jù)上式，得到速度和加速度的增量 n代入運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)ewmark 法的收斂性可以證明， Newmark 法當(dāng)1/4時(shí)，計(jì)算是無條件收斂的。Newmark 法是工程計(jì)算中最常用的方法。Newmark 法計(jì)算過程4.2.3 wilson法 wilson法的基本假定是在時(shí)間間隔 t（1.0）內(nèi)加速度響應(yīng)線形變化 。 因此，在間隔內(nèi)任意時(shí)刻的加速度根據(jù)線性內(nèi)插可以表示為： 對(duì)上式積分，得到速度和位移的計(jì)算式n代入結(jié)構(gòu)運(yùn)力方程式得到計(jì)算t 時(shí)刻位移的方程組 n得到位移后進(jìn)一步得到t+加速度，然后內(nèi)插得到t+t加速度，進(jìn)一步計(jì)算位移和速度。當(dāng)當(dāng)1.371.37時(shí)時(shí)WilsonWilson法為無條件穩(wěn)定的計(jì)算

12、方法法為無條件穩(wěn)定的計(jì)算方法 wilson法的計(jì)算過程1. 計(jì)算常數(shù)a312. 等效剛度計(jì)算3. 對(duì)每一時(shí)間步計(jì)算等效荷載增量4. 解方程計(jì)算位移ttFKu-15.計(jì)算時(shí)刻t+t的響應(yīng)用增量形式表示的Wilson法（推導(dǎo)省略） 計(jì)算公式增量方程得到 時(shí)刻的響應(yīng)，再轉(zhuǎn)變成t+t的響應(yīng)：t 直接積分法的補(bǔ)充說明一種算法很難同時(shí)兼顧穩(wěn)定性和精度，穩(wěn)定與精度往往具有相反的傾向，穩(wěn)定性好的計(jì)算方法精度相對(duì)比較差一些。一般而言，顯式積分的穩(wěn)定性差一些，而且時(shí)間間隔的取值對(duì)計(jì)算穩(wěn)定性的影響很大。 穩(wěn)定性好的計(jì)算方法并不意味可以用任意大的時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行積分計(jì)算，無條件穩(wěn)定的計(jì)算方法（比如Wilson法）雖然不會(huì)

13、發(fā)生數(shù)學(xué)上的發(fā)散現(xiàn)象，但是容易出現(xiàn)早期結(jié)果偏大、后期出現(xiàn)異常振動(dòng)的計(jì)算結(jié)果，而且也有可能導(dǎo)致高頻振動(dòng)的計(jì)算結(jié)果失真的現(xiàn)象，因此，這種算法一般不太合適于帶有沖擊響應(yīng)的結(jié)構(gòu)計(jì)算。對(duì)于高次振動(dòng)成分比較重要的計(jì)算，用非常小的時(shí)間步長(zhǎng)按顯式積分較多。 W=15kNx(t)x(t)例：例：求位移時(shí)程曲線，求位移時(shí)程曲線，恢復(fù)力時(shí)程曲線，恢復(fù)力時(shí)程曲線，最大位移，最大恢復(fù)力，最大位移，最大恢復(fù)力，開始時(shí)靜止。開始時(shí)靜止。t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fs3kN3kN0.050.05fD0.050.05( )x ts/mkN1t

14、an c( )mx tgx ( )( )gP tmx t kN 解：解：1.1.確定步長(zhǎng)確定步長(zhǎng)kg10529. 181. 9/1015/33gWm/60/1.5296.264 rad/sk m2 /1.003 s;0.1sTt *263( )( )1.529( ) 947.4kN/m0.10.1K tk tk t*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05 ( )x tx tx tx t計(jì)算步驟：1.確定積分步長(zhǎng)t2.確定當(dāng)前積分步長(zhǎng)內(nèi)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣以及阻尼力和恢復(fù)力3.計(jì)算初始加速度4.確定等效剛度K*和等效荷載

15、矩陣P*5.計(jì)算6.根據(jù)公式(11)計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移，速度和加速度響應(yīng) x*263( ) ( ) ( )K tMC tK ttt *6( )( )3 ( ) 32tP tP tMx tx tC tx tx tt P(t)(kN)P(t)(kN)t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fsx(m)3kN3kN0.050.05*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05 ( )x tx tx tx t*263( )( )1.529( )947.4kN/m0.10.

16、1K tk tk t1. t=01. t=0(0) 0; (0) 0;(0)(0) 0;(0)(0) 0; (0) 0sDxxfkxfcxP(0)(0)(0)(0);(0)0IDsfffPx(0)0(0)0(0)0 xxx *(0)60;(0)60 947.41007.4kK*(0)2.5;(0)2.5PP*(0)(0)/(0)0.00248xPK(0)0.0744x2. t=0.1s2. t=0.1s(0.1)(0)(0)0.00248xxx(0.1)0.05x(0.1)(0.1)(0.1)0.1488sfkx彈性階段彈性階段60) 1 . 0(k(0.1)0.0744Df(0.1)(0.1

17、)(0.1)(0.1) /1.4889DsxPffm(0.1)(0)(0)0.0744xxx計(jì)算步驟：1.確定積分步長(zhǎng)t2.確定當(dāng)前積分步長(zhǎng)內(nèi)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣以及阻尼力和恢復(fù)力3.計(jì)算初始加速度4.確定等效剛度K*和等效荷載矩陣P*5.計(jì)算6.根據(jù)公式(11)計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移，速度和加速度響應(yīng) xP(t)(kN)P(t)(kN)t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fsx(m)3kN3kN0.050.05*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05

18、 ( )x tx tx tx t*263( )( )1.529( )947.4kN/m0.10.1K tk tk t2. t=0.1s2. t=0.1s(0.1)(0)(0)0.00248xxx(0.1)0.05x(0.1)(0.1)(0.1)0.1488sfkx彈性階段彈性階段60) 1 . 0(k(0.1)(0.1)0.0744Dfc x (0.1)(0)(0)0.0744xxx(0.1)0.0025(0.1)0.0744(0.1)1.4889xxx*(0.1)(0.2)(0.1)1.5;(0.1)15.4577PPPP*(0.1)(0.1) /(0.1)0.0153xPK(0.1)0.1

19、625x*(0.1)1007.4K(0.1)(0.1)(0.1)(0.1) /1.4889DsxPffm計(jì)算步驟：1.確定積分步長(zhǎng)t2.確定當(dāng)前積分步長(zhǎng)內(nèi)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣以及阻尼力和恢復(fù)力3.計(jì)算初始加速度4.確定等效剛度K*和等效荷載矩陣P*5.計(jì)算6.根據(jù)公式(11)計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移，速度和加速度響應(yīng) xP(t)(kN)P(t)(kN)t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fsx(m)3kN3kN0.050.05*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 (

20、 )0.05 ( )x tx tx tx t*263( )( )1.529( )947.4kN/m0.10.1K tk tk t3. t=0.2s3. t=0.2s(0.2)0.0178(0.2)0.2370(0.2)1.7616xxx(0.3)0.0314x(0.3)0.0722x 4. t=0.3s4. t=0.3s(0.3)0.0477(0.3)0.3349(0.3)0.1973xxx0.43sf5. t=0.4s5. t=0.4s(0.4)0.0791(0.4)0.2627(0.4)0.4988xxx(0.4)0.0477 0.0314 0.0791 0.05x(0.4)0.3349

21、0.07220.2627x屈服屈服計(jì)算步驟：1.確定積分步長(zhǎng)t2.確定當(dāng)前積分步長(zhǎng)內(nèi)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣以及阻尼力和恢復(fù)力3.計(jì)算初始加速度4.確定等效剛度K*和等效荷載矩陣P*5.計(jì)算6.根據(jù)公式(11)計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移，速度和加速度響應(yīng) x6. t=0.5s6. t=0.5s(0.5)0.1019(0.5)0.1827(0.5)1.1005xxx7. t=0.6s7. t=0.6s(0.6)0.1142(0.6)0.0603(0.6)1.3474xxx8. t=0.7s8. t=0.7s(0.7)0.1131(0.6)xx塑性發(fā)展塑性發(fā)展(0.5)0.1019(0.4)xx3sf塑性發(fā)

22、展塑性發(fā)展(0.6)0.1142(0.5)xx3sf位移減少，恢復(fù)彈性位移減少，恢復(fù)彈性P(t)(kN)P(t)(kN)t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fsx(m)3kN3kN0.050.05*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05 ( )x tx tx tx t*263( )( )1.529( )947.4kN/m0.10.1K tk tk t計(jì)算步驟：1.確定積分步長(zhǎng)t2.確定當(dāng)前積分步長(zhǎng)內(nèi)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣以及阻尼力和恢復(fù)力3.計(jì)算

23、初始加速度4.確定等效剛度K*和等效荷載矩陣P*5.計(jì)算6.根據(jù)公式(11)計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移，速度和加速度響應(yīng) x8. t=0.7s8. t=0.7s(0.7)0.1131(0.6)xx位移減少，恢復(fù)彈性位移減少，恢復(fù)彈性fsx(m)3kN3kN0.050.05x(0.7)x(0.7)7 . 0(sfmax0.05xmax(0.7) (0.05)xx(0.7)0.086xmax(0.7) (0.7)0.05)2.9345sfk xx（(0.7)0.1131(0.7)0.086(0.7)1.5359xxx9. t=0.8s 9. t=0.8s *( )( )94.74 ( )4.637 ( )P

24、tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05 ( )x tx tx tx t計(jì)算步驟：1.確定積分步長(zhǎng)t2.確定當(dāng)前積分步長(zhǎng)內(nèi)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣以及阻尼力和恢復(fù)力3.計(jì)算初始加速度4.確定等效剛度K*和等效荷載矩陣P*5.計(jì)算6.根據(jù)公式(11)計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移，速度和加速度響應(yīng) xt(s)00.10.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2fs(kN)00.14881.0692.863332.934x(cm)00.2481.784.777.9110.1911.43(max)11.31x(t)(cm)x(t)(cm)t(s)t(s)0.30.30.60.60.90.911.4311.433 3f fs s(t)(kN)(t)(kN)t(s)t(s)0.30.30.60.60.90.9maxmax11.433sxcmfkN若按彈性計(jì)算若按彈性計(jì)算maxmax9.535.72sxcmfkN0.00.10.20.30.40.50.60.7024681012位移 (cm)時(shí) 間 (s) 彈塑性 彈性0.00.