24.2.2切線長定理

1、 切線長定理切線長定理BA1 1. .如何過如何過OO外一點(diǎn)外一點(diǎn)P P畫出畫出OO的切線？的切線？ 2 2. .這樣的切線能畫出幾條？這樣的切線能畫出幾條？如下左圖，借助三角板，我們可以畫出如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PAPA是是OO的切線的切線. .3.3.如果如果P=50P=50, ,求求AOBAOB的度數(shù)的度數(shù). .50130130OP OABP如何用圓規(guī)和直尺作出這兩條切線呢？如何用圓規(guī)和直尺作出這兩條切線呢？.思考：已畫出切線思考：已畫出切線PA,PBPA,PB，A,BA,B為切點(diǎn)，則為切點(diǎn)，則OAP=90OAP=90, ,連接連接OPOP，可知，可知A,B A,B 除了在除

2、了在O O上，還在怎樣的圓上上，還在怎樣的圓上? ?O PABO過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長叫過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長叫做這點(diǎn)到圓的切線長做這點(diǎn)到圓的切線長. .OPAB切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？切線長概念切線長概念切線和切線長是兩個(gè)不同的概念：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念：1.1.切線是切線是一條與圓相切的一條與圓相切的直線直線，不能度量；，不能度量；2.2.切線長是線段的長切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度

3、量. .OPAB比一比：比一比：切線與切線長切線與切線長 OABP12思考：思考：已知已知O O切線切線PAPA，PBPB，A A，B B為切點(diǎn)，把圓沿著為切點(diǎn)，把圓沿著直線直線OPOP對折對折, ,你能發(fā)現(xiàn)什么你能發(fā)現(xiàn)什么? ?折一折折一折請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論. .APOBPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與O O相切，點(diǎn)相切，點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)，是切點(diǎn)，OAPAOAPA，OBPB.OBPB.即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90， OA=OB OA=OB，OP=OPOP=OP，RtRtAOPRtAOPRtBOP(H

4、L)BOP(HL) PA = PB PA = PB， OPA=OPB.OPA=OPB.證一證證一證切線長定理切線長定理PAPA，PBPB分別切分別切O O于于A A，B B，PA=PB,OPPA=PB,OP平分平分APB.APB.過圓外一點(diǎn)，所畫的過圓外一點(diǎn)，所畫的圓的兩條切線的長相圓的兩條切線的長相等等. . 幾何語言幾何語言: :OPABAPOB若連接兩切點(diǎn)若連接兩切點(diǎn)A A，B B，ABAB交交OPOP于點(diǎn)于點(diǎn)M.M.你又能得出什么你又能得出什么新的結(jié)論新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .OPOP垂直平分垂直平分ABABM證明：證明：PAPA，PBPB是是O O的切線的切線, ,點(diǎn)點(diǎn)

5、A A，B B是切點(diǎn)，是切點(diǎn)，PA=PBPA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM為頂角的平分線為頂角的平分線. .OPOP垂直平分垂直平分AB.AB.試一試試一試APO.B若延長若延長POPO交交O O于點(diǎn)于點(diǎn)C C，連接，連接CACA，CBCB，你又能得出什，你又能得出什么新的結(jié)論么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .CA=CBCA=CB證明：證明：PAPA，PBPB是是O O的切線的切線, ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)，是切點(diǎn)，PA = PB PA = PB ，OPA=OPB.OPA=OPB.又又 PC=PC. PC=PC.PCAPCA

6、PCB PCB ，BC=AC.BC=AC.C.PBAO（3 3）連接圓心和圓外一點(diǎn)）連接圓心和圓外一點(diǎn)（2 2）連接兩切點(diǎn)）連接兩切點(diǎn)（1 1）分別連接圓心和切點(diǎn)）分別連接圓心和切點(diǎn)反思：在解決有關(guān)圓的反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時(shí)，往往需切線長問題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形要我們構(gòu)建基本圖形. .想一想想一想探究：探究：PAPA，PBPB是是O O的兩條切線，的兩條切線，A A，B B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OPOP交交O O于點(diǎn)于點(diǎn)D D，E E，交，交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)C.C.BAPOCE（1 1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPAOAPA，OB PB ABOPOB

7、 PB ABOP（2 2）寫出圖中與）寫出圖中與OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPCDAOPAOPBOPBOP， AOCAOCBOCBOC， ACPACPBCPBCP（4 4）寫出圖中所有的等腰三角形）寫出圖中所有的等腰三角形ABPABP，AOBAOB（3 3）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形BAPOCED【例例1 1】ABCABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓O O與與BCBC，CACA，ABAB分別相切于分別相切于點(diǎn)點(diǎn)D D，E E，F(xiàn) F，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求

8、，求AFAF，BDBD，CECE的長的長. .【解析解析】設(shè)設(shè)AF=x,AF=x,則則AE=xAE=xCD=CE=AC-AE=13-xCD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.BD=BF=AB-AF=9-x.由由BD+CD=BCBD+CD=BC可得可得13-x+9-x=1413-x+9-x=14，解得解得x=4.x=4. AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm. AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.【例題例題】【例例1 1】如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD的邊的邊ABAB，BCBC，CDCD，DADA和和O O分別相切于點(diǎn)分別相切于點(diǎn)

9、L L，M M，N N，P P，求證：求證：AD+BC=AB+CD.AD+BC=AB+CD.證明：證明：由切線長定理得由切線長定理得AL=APAL=AP，LB=MBLB=MB，NC=MCNC=MC，DN=DP,DN=DP,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即即AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CD，補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對邊補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等的和相等DLMNABCOP【例題例題】1.1.如果如果PA=4cm,PD=2cm,PA=4cm,PD=2cm,求半徑求半徑OAOA的長的長. .42xx【解析解析】

10、設(shè)設(shè)OA=xcmOA=xcm；在在RtRtOAPOAP中，中，OA=xcmOA=xcm，OP=OD+PD=OP=OD+PD=（x+2x+2）cmcm，PA=4cm,PA=4cm,由勾股定理，得由勾股定理，得PAPA2 2+OA+OA2 2=OP=OP2 2，即即4 42 2+x+x2 2=(x+2)=(x+2)2 2, ,整理，得整理，得x=3.x=3.所以，半徑所以，半徑OAOA的長為的長為3cm.3cm.【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】ABCDEF2.2.設(shè)設(shè)ABCABC的邊的邊BC=8BC=8，AC=11AC=11，AB=15AB=15，內(nèi)切圓，內(nèi)切圓II和和BC,AC,ABBC,AC,AB分別相切

11、于點(diǎn)分別相切于點(diǎn)D,E,F.D,E,F.求求AE,CD,BFAE,CD,BF的長的長. .Ixyz【解析解析】設(shè)設(shè)AE=xAE=x，BF=yBF=y，CD=z,CD=z, xyz答：答：AE ,CD ,BFAE ,CD ,BF的長分別是的長分別是9,2,6.9,2,6. x+y=15,x+y=15,y+z=8,y+z=8,x+z=11,x+z=11,x=9,x=9,y=6,y=6,z=2,z=2,則則解得解得1 1（珠海（珠海中考）如圖，中考）如圖，PA,PBPA,PB是是 O O的切線，的切線，切點(diǎn)分別是切點(diǎn)分別是A,BA,B，如果，如果P P6060, ,那么那么AOBAOB等等于（于（

12、） A.60A.60 B.90 B.90C.120C.120 D.150 D.150C C（3）如圖，）如圖，PA、PB、DE分別切分別切 O于于A、B、C，DE分別交分別交PA，PB于于D、E，已知，已知P到到 O的切的切線長為線長為8CM，則，則 PDE的周長為（的周長為（ ）A AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEA AP2.2.（杭州（杭州中考）如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為中考）如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1 1，那么這個(gè)正三角形的邊長為（那么這個(gè)正三角形的邊長為（ ）A A2 2 B B3 C3 C D D 32 3 【解析解析】選選D.D.如圖所示，連接如圖所示

13、，連接OA,OBOA,OB，則三角形，則三角形AOBAOB是是直角三角形，且直角三角形，且OBA=90OBA=90,OAB=30,OAB=30, ,又因?yàn)閮?nèi)切又因?yàn)閮?nèi)切圓半徑為圓半徑為1 1，利用勾股定理求得，利用勾股定理求得AB= ,AB= ,那么這個(gè)正三角那么這個(gè)正三角形的邊長為形的邊長為 . . 32 3AB3.3.已知：如圖已知：如圖,PA,PB,PA,PB是是O O的切線，切點(diǎn)分別是的切線，切點(diǎn)分別是A,BA,B，Q Q為為O O上一點(diǎn)，過上一點(diǎn)，過Q Q點(diǎn)作點(diǎn)作O O的切線，交的切線，交PA,PBPA,PB于于E,FE,F點(diǎn)，已知點(diǎn)，已知PA=12cmPA=12cm，求，求PEFP

14、EF的周長的周長. .【解析解析】 易證易證EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. PE+EQ=PA=12cm, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.PF+FQ=PB=PA=12cm.周長為周長為24cm.24cm.F例例2、如圖，過半徑為、如圖，過半徑為6cm的的 O外一點(diǎn)外一點(diǎn)P作圓作圓的切線的切線PA、PB，連結(jié)，連結(jié)PO交交 O于于F，過，過F作作 O切線分別交切線分別交PA、PB于于D、E，如果，如果PO10cm， 求求PED的周長。的周長。FOEDPBA思考：當(dāng)切點(diǎn)思考：當(dāng)切點(diǎn)F在弧在弧AB上運(yùn)動時(shí)，問上運(yùn)動時(shí)，問PE

15、D的周長、的周長、DOE的度數(shù)是否發(fā)生變化，請說的度數(shù)是否發(fā)生變化，請說明理由。明理由。FOEDPBA試一試：已知：如圖，試一試：已知：如圖，P為為 O外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，PA，PB為為 O的切線，的切線，A和和B是切點(diǎn)，是切點(diǎn)，BC是直徑。是直徑。C50 ，求求APB的度數(shù)的度數(shù)求證：求證：ACOP。 ABOCP已知已知:如圖如圖, O是是RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓,C是直角是直角,三邊長分別是三邊長分別是a,b,c.求求 O的半徑的半徑r. ABCODEF.2cbar（1 1）RtRt的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系已知已知:如圖如圖, O是是RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)

16、切圓,C是直角是直角,三邊長分別是三邊長分別是a,b,.求求 O的半徑的半徑r. ABCODEF拓展：拓展：RtRt的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系(2)已知已知:如圖如圖,ABC的面積為的面積為S,三邊長分別為三邊長分別為a,b,c. 求內(nèi)切圓求內(nèi)切圓 O的半徑的半徑r.ABCODEF.2cbaSr.21cbarS例：例：如圖，如圖， ABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓 O與與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)分別相切于點(diǎn)D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的長。的長。x13xx13x9x9x例題選講例題選講ADCBOFE1、填空：

17、如圖,PA、PB分別與O相切于點(diǎn)A、B，（1）若PB=12，PO=13，則AO= （2）若PO=10，AO=6，則PB= ；（3）若PA=4，AO=3，則PO= ；PD= ；D圖10OPBA2、已知如圖10，PA、PB分別與O相切于點(diǎn)A、B，PO與O相交于點(diǎn)D，且PA=4cm,PD=2cm.求半徑OA的長.D圖10OPBAl3、為了測量一個(gè)圓形鍋蓋的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鍋蓋平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30的三角板和一個(gè)刻度尺，按圖中所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鍋蓋的半徑，若測得PA=5cm，則鍋蓋的半徑長是多少？PABO切線的切線的6 6個(gè)性質(zhì)：個(gè)性質(zhì)：（1 1）切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)）切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn). .（2 2）切線和圓心的距離等于圓的半徑）切線和圓心的距離等于圓的半徑. .（3 3）切線垂直于過切點(diǎn)的半徑）切線垂直于過切點(diǎn)的半徑. .（4 4）經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)）經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn). .（5