【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 相似三角形的進一步認識課件 理 蘇教版 選修4-1-1

1、選修選修4 41 1幾何證明選講幾何證明選講第第1 1課時相似三角形的進一步認識課時相似三角形的進一步認識理解相似三角形的判定和性質定理理解相似三角形的判定和性質定理/了解直角三角形的射影定理了解直角三角形的射影定理【命題預測】【命題預測】 利用三角形的定義和性質、平行切割定理、射影定理證明三角形利用三角形的定義和性質、平行切割定理、射影定理證明三角形的相似或求線段的長度、角的度數(shù)及線段的比的相似或求線段的長度、角的度數(shù)及線段的比【應試對策】【應試對策】 1比例線段的學習，需按由特殊到一般進行合情推理平行線等分線段時，比比例線段的學習，需按由特殊到一般進行合情推理平行線等分線段時，比值為值為1

2、，從這一特殊現(xiàn)象中，得到當比值不為，從這一特殊現(xiàn)象中，得到當比值不為1時的一般的結論平行線分線時的一般的結論平行線分線段的定理和推論，我們可以由平面推廣到空間，將平行線改為平行平面，也段的定理和推論，我們可以由平面推廣到空間，將平行線改為平行平面，也可以探究相應的命題是否成立可以探究相應的命題是否成立2相似三角形的判斷要考慮六個元素，即三組對應角是否相等，三組對應邊是否相似三角形的判斷要考慮六個元素，即三組對應角是否相等，三組對應邊是否成比例，從而發(fā)現(xiàn)出一些判斷方法，在高中階段要掌握其定理的嚴格證明同成比例，從而發(fā)現(xiàn)出一些判斷方法，在高中階段要掌握其定理的嚴格證明同時，相似是全等的一般化，可以

3、結合三角形的全等學習相似問題三角形相似時，相似是全等的一般化，可以結合三角形的全等學習相似問題三角形相似的特殊情形是對直角三角形相似的研究的特殊情形是對直角三角形相似的研究3三角形相似的幾個判定定理可簡述為：角角、邊角邊、邊邊邊可對比全等，三角形相似的幾個判定定理可簡述為：角角、邊角邊、邊邊邊可對比全等，由全等的判定與性質等結論，猜想相似的判定與性質，并嚴格證明其猜想，結由全等的判定與性質等結論，猜想相似的判定與性質，并嚴格證明其猜想，結合圖形，寫出數(shù)學式，即把圖形語言、符號語言、文字語言三者緊密結合合圖形，寫出數(shù)學式，即把圖形語言、符號語言、文字語言三者緊密結合【知識拓展】【知識拓展】 證相

4、似三角形的思路證相似三角形的思路證兩個三角形相似，在已具備一角對應相等的條件時，往往先找是否有另一角對應證兩個三角形相似，在已具備一角對應相等的條件時，往往先找是否有另一角對應相等，當此思路不通時，再找等角的兩邊對應成比例相等，當此思路不通時，再找等角的兩邊對應成比例1平行截割定理平行截割定理(1)平平行線等分線段定理及其推論行線等分線段定理及其推論定理：如果一組定理：如果一組 在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與與這組平行線相交的這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等直線上截得的線段也相等推論：經(jīng)過梯形一腰的中點而推論：經(jīng)過梯形一腰的中點而

5、于底邊的直線平分另一腰于底邊的直線平分另一腰(2)平行截割定理及其推論平行截割定理及其推論定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段段 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應邊應邊 平行線平行線平行平行成比例成比例成比例成比例(3)三角形角平分線的性質三角形角平分線的性質三角形的內角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的三角形的內角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的 。(4)梯形的中位線定理梯形的中位線定

6、理梯形的中位線平行于梯形的中位線平行于 ，并且等于，并且等于 。比比 兩底兩底兩底和的一半兩底和的一半2相似三角形相似三角形(1)相似三角形的判定相似三角形的判定判定定理判定定理a 對應相等的兩個三角形相似對應相等的兩個三角形相似b兩邊兩邊 且夾角相等的兩個三角形相似且夾角相等的兩個三角形相似c三邊三邊 的兩個三角形相似的兩個三角形相似推論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與推論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與 相相似似直角三角形相似的特殊判定直角三角形相似的特殊判定斜邊與一條斜邊與一條 對應成比例的兩個直角三角形相似對應成比例的兩個直角三角形相似兩

7、角兩角對應成比例對應成比例對應成比例對應成比例原三角形原三角形直角邊直角邊(2)相似三角形的性質相似三角形的性質相似三角形的對應線段的比等于相似三角形的對應線段的比等于 ，面積比等于相似比的平方，面積比等于相似比的平方(3)直角三角形射影定理直角三角形射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上 與斜邊的乘積，斜邊上與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上 的的 相似比相似比射影射影射影射影 乘積乘積1l1l2l3，BC3， 2，則，則AB_.解析：解析：l1l2l3， ，即，即 2，解得，解得

8、AB6.答案：答案：62已知，如圖，在已知，如圖，在ABC中，中，DEBC，DE分別與分別與AB、AC相交于點相交于點D、E，AD AB1 3.若若DE2，則，則BC_.解析：解析：DEBC， ，即，即 ，解得，解得BC6.答案：答案：63如圖，如圖，CD是是RtABC的斜邊的斜邊AB上的高，且上的高，且BC5，CD3，則，則AD_.解析：解析：ACB90，CDAB于于D，由勾股定理得由勾股定理得BD 4，由射影定理得由射影定理得BC2BDBA，即，即524BA.BA ，因此，因此ADABDB .答案：答案：4如圖，在如圖，在ABC中，中，ACB90，CDAB，DEBC，那么與，那么與ABC相

9、似的相似的三角形的個數(shù)為三角形的個數(shù)為_解析：解析：與與ABC相似的三角形有相似的三角形有DBE，CBD，CDE，ACD，共，共4個個答案：答案：45(江蘇南京江蘇南京)已已知如圖所示，在知如圖所示，在ABC中，中，CDAB于于D，BC2BDAB，則，則ACB_.解析：解析：在在ABC與與CBD中，由中，由BC2BDAB，得，得 ，且，且BB，所，所以以ABCCBD.則則ACBCDB90.答案：答案：90【例【例1】已已知，知， 中，中，DEBF，求證：，求證： .思路點撥：思路點撥：由于條件中有平行線，考慮平行截割定理及推論，利用相等線段和由于條件中有平行線，考慮平行截割定理及推論，利用相等

10、線段和等比性質，證明線段成比例等比性質，證明線段成比例證明：證明：ABCD為平行四邊形，為平行四邊形，F(xiàn)DBC，BEDQ，一個問題中如果出現(xiàn)兩條或多條直線互相平行時，?？紤]平行線截割定理一個問題中如果出現(xiàn)兩條或多條直線互相平行時，?？紤]平行線截割定理即即 ，即，即 ，又，又DEBF， ABCD變式變式1：在在ABC中，中，D在在BC上，且上，且BADDAC，AB2，AC3，則，則BD DC_.解析：解析：BD DCAB AC2 3.答案：答案：2 3(1)定義法：就是對應邊成比例，對應角相等定義法：就是對應邊成比例，對應角相等(2)最常用的是判定定理最常用的是判定定理1、2、3.應用應用最多的

11、是判定定理最多的是判定定理1，即兩角對應相等，兩三角形相似，即兩角對應相等，兩三角形相似(3)對于直角三角形，除以對于直角三角形，除以上方法外，還有其特殊的方法：兩直角邊對應成比例，兩直角三角形相似；一條直上方法外，還有其特殊的方法：兩直角邊對應成比例，兩直角三角形相似；一條直角邊和斜邊對應成比例，兩直角三角形相似；斜邊上的高分成的兩直角三角形與原角邊和斜邊對應成比例，兩直角三角形相似；斜邊上的高分成的兩直角三角形與原三角形相似三角形相似【例【例2】已已知：如圖所示，在正方形知：如圖所示，在正方形ABCD中，中，P是是BC上的點，且上的點，且BP3PC，Q是是CD的中點的中點求證：求證：ADQ

12、QCP.思路點撥：思路點撥：由已知由已知DC90，很難找出第二個角對應相等，根據(jù)條件應，很難找出第二個角對應相等，根據(jù)條件應再尋找對應線段的比相等，從而問題容易解決再尋找對應線段的比相等，從而問題容易解決證明：證明：在在正方形正方形ABCD中，中，Q是是CD的中點，的中點， 又又BC2DQ， 在在ADQ和和QCP中，中， CD90，ADQQCP.變式變式2：如如圖，已知，圖，已知，AD、CE是是ABC的兩條高，的兩條高，H是是AD與與CE的交點，的交點，求證求證CDHADB.證明：證明：ADBC，CEAB，BADBCE，又，又BB，CDHADB.(1)相似三角形的對應邊成比例，對應角相等相似三

13、角形的對應邊成比例，對應角相等(2)相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比、周長比都等于相似相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比、周長比都等于相似比，而面積比等于相似比的平方比，而面積比等于相似比的平方(3)相似三角形外接圓的直徑、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平相似三角形外接圓的直徑、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方利用這些關系可以進行各種證明和求值方利用這些關系可以進行各種證明和求值 【例【例3】已已知，如圖，在知，如圖，在ABC中，中，ABAC，BDAC，點點D是垂足是垂足求證：求證：BC22CDAC.思路點撥：思路點撥：(1)

14、等腰三角形中基本輔助線為底邊上的高等腰三角形中基本輔助線為底邊上的高(2)因無法聯(lián)系射影定理和平行截割定理，故考慮運用相似三角形因無法聯(lián)系射影定理和平行截割定理，故考慮運用相似三角形證明：證明：過點過點A作作AEBC，垂足為，垂足為E，CEBE BC，由，由BDAC，AEBC，得得AECBDC90，又，又CC，AECBDC. . 即即BC22CDAC.變式變式3：(江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)如如圖所示，在正方形圖所示，在正方形ABCD中，中，O是是AC與與BD的交點，的交點，DAC的平分線的平分線AP交交CD于點于點P，BDC的平分線的平分線DQ交交AC于點于點

15、Q.求證：求證： 證明：證明：在在BQC和和DQC中中，BCDC，CQCQ，BCQDCQ，所以所以BQC DQC，即即BQDQ.因為因為AP為為DAC的平分線的平分線，DQ是是BDC的平分的平分線，所以線，所以QDCPAC，又，又DCQACP，所以所以QDCPAC，即即 ，又，又ACBD，BQDQ，所以所以 .1在計算與證明過程中，可以使用如下定理作為推理的依據(jù)：在計算與證明過程中，可以使用如下定理作為推理的依據(jù)：(1)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應邊成平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例比例(2)三角形的內角平分線分對邊成兩段

16、的長度比等于夾角兩邊長度的比三角形的內角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比(3)經(jīng)過梯形一腰中點而平行于底邊的直線平分另一腰經(jīng)過梯形一腰中點而平行于底邊的直線平分另一腰(4)梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半(5)若一條直線截三角形的兩邊若一條直線截三角形的兩邊(或其延長線或其延長線)所得對應線段成比例，則此直線與所得對應線段成比例，則此直線與三角形的第三邊平行三角形的第三邊平行(6)斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似【規(guī)律方法總結】【規(guī)律方法總結】 2在計算與證明過程中

17、，要重視輔助線的添加與面積法的應用在計算與證明過程中，要重視輔助線的添加與面積法的應用.【例【例4】(2009江蘇卷江蘇卷)如如圖所示，在四邊形圖所示，在四邊形ABCD中，中，ABC BAD.求證：求證：ABCD.分析：分析：根據(jù)兩個三角形全等可以知道根據(jù)兩個三角形全等可以知道ACBADB，故可得，故可得A，B，C，D四四點共圓，要證明點共圓，要證明AB和和CD平行就要證明這兩條直線和第三條直線相交時的同位平行就要證明這兩條直線和第三條直線相交時的同位角或內錯角相等，很顯然由已知的兩三角形全等可得角或內錯角相等，很顯然由已知的兩三角形全等可得DBACAB，再由，再由A，B，C，D四點共圓可得四

18、點共圓可得 所對的圓周角所對的圓周角CABCDB，即得，即得DBACDB，問題就解決了，問題就解決了【高考真題高考真題】規(guī)范解答：規(guī)范解答：由由ABC BAD，得，得ACBBDA，故，故A，B，C，D四點共圓，從四點共圓，從而而CABCDB.再由再由ABC BAD，得，得CABDBA，因此，因此DBACDB，所以，所以ABCD.【命題探究】【命題探究】以考生非常熟悉的一個平面圖形，設計為考查三角形全等的性質、圓以考生非常熟悉的一個平面圖形，設計為考查三角形全等的性質、圓內接四邊形的判斷與性質、兩直線平行的判斷等基礎知識，考查邏輯推理論證能力，內接四邊形的判斷與性質、兩直線平行的判斷等基礎知識，考查邏輯推理論證能力，是一道不可多得的是一道不可多得的“小巧靈活小巧靈活”的試題的試題【知識鏈接】【知識鏈接】 證明四點共圓常用的方法證明四點共圓常用的方法一是利用圓內接四邊形的判定定理，去證明四點組成的四邊形的對角互補；二是證一是利用圓內接四邊形的判定定理，去證明四點組成的四邊形的對角互補；二是證明四點到某一點的距離都相等明四點到某一點的距離都相等【全解密】【全解密】【技巧點撥】【技巧點撥】通過四點共圓就可以在圓上使用圓周角定理，實現(xiàn)角的相等的轉化，通過四點共圓就可以在圓上使用圓周角定理，實現(xiàn)角的相等的轉化，把分散的條件集中起來，這是進行幾何推理