正弦定理與余弦定理

1、正弦定理與余弦定理一、三角形中的各種關系設ABC的三邊分別是a,b,c，與之對應的三個角分別是 A,B,C.則有如下關系:1、三內(nèi)角關系三角形中三內(nèi)角之和為（三角形內(nèi)角和定理），即 ABC ，；2、邊與邊的關系三角形中任意兩條邊的和都大于第三邊，任意兩條邊的差都小于第三邊，即a b c, a c b,b c a ； a b c,a c b, b c a ；3、邊與角的關系（1）正弦定理三角形中任意一條邊與它所對應的角的正弦之比都相等，即a bsin Asin Bcsin C2R （這里，R為ABC外接圓的半徑）注1：（ I ）正弦定理的證明:在 ABC 中，設 BC a, AC b, AB c

2、,里，R為ABC外接圓的半徑）證：法一（平面幾何法）：在 ABC中，作CH AB，垂足為H證明:sin A2R （這b sin Bc sin C則在 Rt AHC 中，si nA； 在 Rt BHC AC中,sin BCHBCCH bsi nA,CH asi nBbsin A a sin B即一sin A sin B同理可證：sin B sin C于是有asin Absin Bcsi nC作ABC的外接圓。O,設其半徑為R連接BO并延長，則可得到。O的直徑BD，連接DA因為在圓中，直徑所對的圓周角是直角所以 DAB 90°于是在Rt DAB中，sin DABBDc2R又因為在同一圓中

3、，同弧所對的圓周角相等所以DCccc2Rsi nCsin Dc2R故a sin Ab sin Bc sin C2R （這里，R為ABC外接圓的半徑）法二（平面向量法）（U）正弦定理的意義:正弦定理指出了任意三角形中三邊與其對應角的正弦值之間的一個關系式, 也就是任意三角形的邊角關系（川）正弦定理適用的范圍：(i )已知三角形的兩角及一邊，解三角形;(ii )已知三角形的兩邊及其中一邊所對應的角，解三角形;(iii )運用a:b:c si nA: si n B : si nC解決角之間的轉(zhuǎn)換關系注2：正弦定理的一些變式:(i) a : b: c si nA: si n B : si nC ；ab

4、2R(ii ) sin A ,sin B ,sin C2R2R(iii )a 2RsinA,b 2Rsin B, c 2Rsin C .注3：已知三角形是確定的，則在運用正弦定理解該三角形時，其解是唯一 的；已知三角形的兩條邊和其中一條邊的對角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性， 所以其解是不確定的，此時可結合平面幾何作圖的方法、“大邊對大角，大 角對大邊”定理及三角形內(nèi)角和定理解決問題 .例1. ABC中，a,b分別為角A,B的對邊，若B 60°,C 75°,a 8，則b=_例2. ABC中，角代B,C的對邊分別為a,b,c，A ,a 屈b 1，則c _3例 3.在 ABC 中，

5、b .3,B 60o,c 1，求 a和代 C.例 4.在 ABC 中，已知 B 2 A,BC 2, AB 2 2運，則 A _.例5.已知 ABC中，角A,B所對的邊分別是a, b，若acosB bcosA,貝U ABC定是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形(2) 余弦定理三角形中任意一條邊的平方等于其他兩條邊平方的和減去這兩條邊與它們夾角 的余弦的乘積的2倍，即2 2 2 2a b c 2bccos A， b2 c2 a2cacosB，2 2 2cab 2abcosC注1:(I )余弦定理的證明：法一(平面幾何法)在 ABC中，作CH AB，垂足為H則在 Rt

6、AHC 中，si nA CHCH:cos A AHAHACbACbCH bsi nA, AH bcosABHAB AHc b cos A在Rt CHB中，由勾股定理有BC2CH2 22 BH 2于是有a2 (bs in A)2 (c b cos A)2 b2s in2 A c2 2bccosA b2 cos2 A b2(sin2 A cos2 A) c2 2bccos A b2 c2 2bccos A同理可證： b2 c2 a2 2cacosB， c2 a2 b2 2abcosC .法二(平面向量法)(U)余弦定理的意義：余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三 角形

7、兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以 變形并適當結合其它知識，則使用起來更為方便、靈活。(川)余弦定理適用的范圍:(i) 已知三角形的三條邊，可求出其三個內(nèi)角；(ii) 已知三角形的兩條邊及它們之間的夾角，可求出其第三條邊；(iii) 已知三角形的兩條邊及其中一條邊所對應的角，可求出其另兩個角及 第三條邊C a2 b22ca '.2 2 2注 2: 余弦定理的變式： cosA C ; cosB2bc2 . 2 2小 a b ccosC 2ab注3:常選用余弦定理判定三角形的形狀;注4:求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理 實現(xiàn)邊角互化

8、例1.在ABC中，三邊長為連續(xù)的正整數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長 例2.如下圖所示，在四邊形 ABC沖，已知AD CD, AD 10, AB 14，BDA 60°， BCD 135°,求 BC 的長.例3.在ABC中，已知BC 5, AC4,cos( AB)8，則 cosC()A.1116B.16C.16D.316(3) 面積公式：(i )常規(guī)方法：SABC夕ha ；(ii )三角函數(shù)法:S ABCabsinCacsinB bcsin A ；2 2 2(iii )海倫公式：Sabcp(p a)(p b)(p c) r p.這里，ha為邊a的高線；p為ABC

9、周長的一半，即p 2一 ； r為ABC內(nèi)切圓的半徑.例1.在ABC中，若已知三邊為連續(xù)的正整數(shù)，且最大角為鈍角.(1) 求該最大角；(2) 求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為 4的平行四邊形的最大面積(參考數(shù)據(jù)：cos71o 0.25)例2.在ABC中，內(nèi)角A, B,C對應的邊分別是a,b,c，已知a2 c2 2b2.(1)若 Bi，且 A為鈍角，求內(nèi)角A與C的大?。?2)若 b2，求ABC面積的最大值.二、關于三角形內(nèi)角的常用三角恒等式由三角形內(nèi)角和定理：ABC ，有A (B C)由此可得到：si nA si n(B C), cos A cos(B C)；又-2 2B C2 ，于是得到：.

10、AB CA . B Csincos， cossin2 2 2 2三、三角形的度量問題：即所謂的求邊、角、周長、面積、圓半徑等問題1）求角角邊的適用定理是正弦定理；（ 2）求邊邊角的適用定理是正弦定理或余弦定理；（ 3）求邊邊邊、邊角邊的適用定理是余弦定理 .注：在解決“邊邊角” （a,b,A） 類型的題目時，若利用正弦定理求角，則應判 定三角形的個數(shù)：假定： A 90o ， 若 a b ，則有一解； 若a b，則當a bsi nA時，有兩解；當a bs in A時，有一解；當a bsin A 時，無解；假定： A 90o ， 若a b，則有一解； a b ，則無解 .四、三角形形狀的判定方法（

11、 1）角的判定；（ 2）邊的判定；（ 3）綜合判定；（ 4）余弦定理判定 .注：余弦定理判定法：若c是ABC的最大邊，貝U： a2 b2 c2ABC 是銳角三角形； a2 b2 c2ABC是鈍角三角形； a2 b2 c2ABC是直角三角形.注：關于銳角三角形有以下等價結論：三角形是銳角三角形三內(nèi)角都是銳角任意兩角和都是鈍角三內(nèi)角的余弦值均為正值任意兩條邊的平方和都大于第三邊的平方.五、高考真題整理1. 設ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若c 2，b 6，B 120°， 則a （）A.B.2C.3D.,22. 如果等腰三角形的周長是底邊邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值是

12、（）A.518B.C.D.3、在 ABC 中，角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c，若 （、3b c）cos A acosC，貝Ucos A .14、在 ABC中，B -，BC邊上的高等于BC，則cos A.434 55、 ABC的內(nèi)角A， B， C的對邊分別為a， b， c.若cos A -， cosC 一，5 13a 1，則 b .&已知 ABC的三邊長分別為3，5，7 ,貝夠三角形的外接圓半徑等于 .7、在厶 ABC中，已知 B=45 ,D 是 BC邊上的一點，AD=10,AC=14,DC=6 求 AB的長.8、在 ABC中，內(nèi)角A,B,C對應的邊分別為a,b,c，已知c

13、2,C(1) 若 ABC的面積等于.3，求a,b ;(2) 若 sin C sin(B A) 2s in2A，求 ABC 的面積.9、設函數(shù) f（x） sinxcosx sin2（x ） （ x R）.4（1）求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；（2）在銳角ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c.若Cf（2）0，c 2，求ABC面積的最大值10、已知向量 m (,sin x)， n (1,sinx3cosx)，函數(shù) f(x) m n.（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，內(nèi)角B滿足f （B）3，且b 3，試求 ABC面積的最大值.

14、11、在ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且acosA 4，sinB4.(1)求 b ；(2)求 ABC的周長.12、設ABC三個內(nèi)角A ,B , C所對的邊分別為a , b , C.已知c -,3a cosA b cosB .(1)求角A的大小;2.過點P分別N .(2)如圖所示，在 ABC的外角 ACD內(nèi)取一點P，使得PC作直線CA、CD的垂線，垂足分別是M、 大值及此時的取值.13、ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c .已知 2cosC(acosB bcos A) c .(1)求 C ；(2)若c 7， ABC的面積為3 .3，求ABC的周長.214、

15、在 ABC 中，a2 c2 b2 . 2ac.(1) 求B的大??；(2) 求.2 cosA cosC的最大值.15、ABC的內(nèi)角A， B， C所對的邊分別為a， b， c.已知向量m (a,、3b)與 n (cosA,sin B)平行.(1) 求 A ；(2) 若a 、7 , b 2，求 ABC的面積.16、如圖，已知扇形的圓心角 AOB ，半徑為4.2，若點C是AB上一動 點(不與點A，B重合).(1) 若弦 BC 4(、3 1)，求 BC 的長；(2) 求四邊形OACB面積的最大值.【解析】(1)在 OBC 中，BC 4(、一 3 1)，OB OC 4、2由余弦定理，有OB2 OC2 BC

16、23232 16(42/3)32 V343cos BOC2OB OC2 32642 BOC6于是的長為4孑2.263(2)設AOC，(0,3 )3則 BOC23于是四邊形OACB的面積S四邊形OACB Saoc Sboc1OA OC sin AOC 1OB OC sin BOC2 21124、2 4、2 sin4 2 4、2 sin()22316sin162os224sin 8,3cos16忌in(6)2又(0，3 )故當6-時，四邊形OACB的面積最大，且最大值為16、3317、在厶 ABC中，若 AB 2 , AC , 2BC，求 S ABC 的最大值.【解析】（法2 2 .2由余弦定理，有 cosB -2aca2 4 2a24 a24a4aSabcacsin B21a 2 小 cos2b ad (44T)216a2 16 8a2 a4v16aa4 24a2 1613(a2 12)2 128 16又由三角形三邊關系，有:abC，即a颯 2222 a 2血2aCba2'2a故當 a 12，即 a 2