流體力學習的題目及問題詳解

1、第一章緒論1-1連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的條件是什么？答：所研究問題中物體的特征尺度L,遠遠大于流體分子的平均自由行程 I，即l/L<<11-2設(shè)稀薄氣體的分子自由行程是幾米的數(shù)量級，問下列二種情況連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是否成立？（1 ）人造衛(wèi)星在飛離大氣層進入稀薄氣體層時；（2 ）假象地球在這樣的稀薄氣體中運動時。答：（1 ）不成立。（2）成立。1-3粘性流體在靜止時有沒有切應力？理想流體在運動時有沒有切應力？靜止流體沒有粘性嗎?答：（1）由于dv 0,因此dydV 0，沒有剪切應力。dy（2 ）對于理想流體，由于粘性系數(shù)0,因此dy 0，沒有剪切應力。（3 ）粘性是流體的根本屬性。只是在靜止流體中，

2、由于流場的速度為0,流體的粘性沒有表現(xiàn)出來。1-4在水池和風洞中進行船模試驗時，需要測定由下式定義的無因次數(shù)（雷諾數(shù)）Re UL，其中U為試驗速度，L為船模長度，為流體的運動粘性系數(shù)。 如果U20m/s，L 4m，溫度由10 C增到40 C時，分別計算在水池和風洞中試驗時的Re數(shù)。（10 C時水和空氣44的運動粘性系數(shù)為0.013 10 和0.014 10 ，40 C時水和空氣的運動粘性系數(shù)為440.0075 10 和 0.179 10 )。答: 10 C時水的Re為：Re UL20(m/s) 4 m0.013 10 4 m2/s6.154 107。10 C時空氣的Re為：ReUL20(m/s

3、) 4 m420.014 10 m /s5.714 107。40 C時水的Re為：ReUL20(m/s) 4 m0.0075 10 4 m2/s1.067 108。4.469 106。40 C時空氣的Re為：Re出叫叮丁0.179 10 4 m2/s1-5底面積為1.5m2的薄板在靜水的表面以速度 U 16m/s做水平運動（如圖所示），已 知流體層厚度h 4mm,設(shè)流體的速度為線性分布 u U y，求移動平板需要多大的力 （其hdudy中水溫為20 C ）。十Udu U由于uy，得到，因此hdy hU。h作用于平板上的粘性切向力為：FdSSU dS ShUS ;其中水的密度為h331.0 10

4、 kg /m ；20 C時水的運動粘性系數(shù)為：1.003710 6 m2/s;代入上式得到：答：平板表面受到剪切應力作用，根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，剪切應力為:33F 1.0 10 kg /m6.02 N1.0037 10 6 m2/s 16 m/s 1.5 m20.004 m1-6設(shè)物面附近流體的流動如圖所示，如果邊界層 內(nèi)流速按拋物線分布：2y yv U 22 ，當U 20m/s， 10cm，溫度為15 C，試問流體分別為水和空氣時，作用于壁面 OAB上的剪切應力。答：物體表面的剪切應力為:dvdy由于：2dv_y y2 2ydv2U U2Zu_ 韋，當y 0時，。dy dy2dy 丫。因此：2

5、U ° U2o(1 )當流體為水時：15 C時水的密度和運動粘性系數(shù)分別為：1.0 103 kg/m3，1.139 10 6 m2/s，2 1.0 103 kg/m31.139 10 6 m2/s 20 m/s/0.1 m 0.4556 Pa。(2 )當流體為空氣時：15 C時空氣的密度和運動粘性系數(shù)分別為：1.226 kg/m3，1.455 10 5 m2/s，2 1.226 kg/m31.455 10 5 m2/s 20 m/s/0.1 m 7.14 10 3 Pa。1-7有一旋轉(zhuǎn)粘度計如圖所示。同心軸和筒中間注入牛頓流體，筒與軸的間隙很小，筒以 等角速度轉(zhuǎn)動。設(shè)間隙中的流體速度

6、沿矢徑方向且為線性分布，I很長，底部影響不計。如測得軸的扭矩為 M，求流體的粘性系數(shù)。答：軸承受的剪切應力:dv_ddy2則軸受到的剪切力為:Fdl ld22;由于軸受到的扭矩為M ,則：dld3FM，即M ；24所以：4M3 o第二章 流體靜力學2-1 如果地面上空氣壓力為 0.101325MPa ，求距地面 100m 和 1000m 高空處的壓力。 答：取空氣密度為1.226 kg / m3 ，并注意到 1MPa 106 Pa 。（1 ）100 米高空處：p p0 gh 1.01325 105 Pa 1.226 kg / m3 9.81 m/ s2 100 m5101325 Pa 1203

7、 Pa 1.00122 105 Pa（2 ）1000 米高空處：p p0 gh 1.01325 105 Pa 1.226 kg / m3 9.81 m / s2 1000 m101325 Pa 12027 Pa 0.89298 105 Pa2-2 如果海面壓力為一個工程大氣壓，求潛艇下潛深度為50m 、500m 和 5000m 時所承受海水的壓力分別為多少？答：取海水密度為 1.025 103 kg/m3 ，并注意到所求壓力為相對壓力。1 ）當水深為Pgh50 米時：331.025103 kg /m39.81m/s250 m55.028 105 Pa 。2）當水深為500 米時：Pgh1.02

8、5 103 kg /m39.81m/s2500 m5.028 106 Pa 。3 ）當水深為5000 米時：Pgh331.025 103 kg /m39.81m/s25000 m5.028 107 Pa 。2-3 試決定圖示裝置中A，B 兩點間的壓力差。已知：h1 500 mm ， h2 200mm ，3h3150mm , h4250mm , h5400mm ；酒 精重度 17848N/m ,水銀重度332133400N / m，水的重度 39810N /m 。答：設(shè)A , B兩點的壓力分別為 Pa和Pb , 1,2,3,4各個點處的壓力分別為 p! , p? , P3和P4。根據(jù)各個等壓面的

9、關(guān)系有：P1PA3h1，P1P22h2 ，P3P21h3 ，P3P42h4 ，P4PB3 h5h4；整理得到：PAPB3 h5h42h41h32h23h1 ，PapB1h32 h2h43 h57848 0.15 1334000.250.255419.3 Pah4 h9810 0.4 0.25 0.52-4有閘門如圖所示，其圓心角60 ,轉(zhuǎn)軸位于水面上。已知閘門寬度為B,半徑為R,答:（1）求水平分力Pxhe Sx由于H Rsin，則he-H1R sin；SxHB R sin B。因此e 2211. 322 32PxRsi nRBsinR BRB。22 28（2）求垂向分力PzV其中:VR21-

10、RsinReosBr2b，2268試求閘門受到的合力及合力與自由面的夾角' 3222因此 PzVR B 0.523 0.217 R B 0.306 R B。6 8(3)求合力P合力大小：P . P2 P；0.484 R2B ；合力方向：tanPz. Px 0.306 R2B. 0.375 R2B 0.816，39.2。2-5設(shè)水深為h，試對下述幾種剖面形狀的柱形水壩，分別計算水對單位長度水壩的作用力。（1 ）拋物線：z ax2， （ a為常數(shù)）；（2）正弦曲線：z asinbx，（ b/a 1， a， b為常數(shù)）。2答：（1） z ax水平分力：Px1其中hc -h2垂直分力：Pza為

11、常數(shù)。he Sx ；Sx h 1 h ；因此 PxV ；-h h 1 h2。2 2其中VS1S，而 S hhV h 、ha ax2dx h1a0因此，Pz2J。3 az asinbx，(b/a 1，水平分力:Pxhc Sx垂直分力:PzV ；其中VS1S,而 S hXhVXhh0asin bxdxhaa12XhXhXh hxh n0 ax dx，并注意到Xh2h3b為常數(shù)）。h2。Xh0 a sin bxdxa cosbxXh0并注意到xhXh hh/a，于是得到:-arcsin»，于是得到: bh . harcs inb aa cosbb 1 arcsi nh bh . harcs

12、 inb aSabh2因此，Pzb.h arcs ina.a2 h2 a。2-6試求圖示單位長度水渠壁面所受的靜水作用力。已知水的重度渠左壁為y x的直線，右壁為的拋物線。答：（1 ）水渠左壁面受力采用平板公式計算作用力大?。篜hc S9810作用力方向：垂直作用于平板OA作用點:yfyc亡，其中yca acosbxhbb9810(N/m 3),水116935.67( N)并指向OA。因此，y 、20.9427（m）； hf3采用柱面公式計算水平分力：Pxhe Sx 9810 -e 2垂直分力：巳V98101 12合力：PPxPz2490522 ° 2 2（、y f sin 45 -

13、 - 2-（ m）。3 231 1 4905 N ；1 14905 N ；6936.72 N。（2 ）水渠右壁面受力水平分力：Pxhe Sx 9810 * 1 1 1 4905 N ；垂直分力：PzV ；1而 V S 1 S，S 1 1x2dx 10因此Pz合力：PV 98106540 N 。.Px2P；8175 N 。2-7 一圓筒形容器的半徑 R,所盛水的高度 H。若該容器以等角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動,設(shè)r=0，z=h點的壓力為p0，試求容器內(nèi)水的壓力分布及自由表面方程（設(shè)容器足夠高， 旋轉(zhuǎn)時水不會流出）。答：（ 1 ）作用于筒內(nèi)流體的質(zhì)量力包括兩項：第一項：與z坐標方向相反的重力，重力加速度

14、為g；第二項：沿r坐標方向的離心力，離心加速度為2r。因此單位質(zhì)量力為：f2r er g ez，其中：、ez分別為r、z方向的單位向量。（2）對于靜止流體微分方程：f p，其中壓力梯度：p P er P ez ；rz將質(zhì)量力f和壓力梯度 p代入，則得到：2r erg ez比較方程兩端，則得到:2r，上z(3 )壓力的全微分:dpp dr dz，將- r zr2r和一pg代入其中，有:dp2rdrgdz ；將上式兩端同時積分,得到:gzC，其中C為常數(shù)。將條件r 0、z h時pPo代入上式，則得到:C p°gh。即流體內(nèi)部的壓力分布為:P。ghp。g(h z)又由于在自由表面上： pP

15、o，代入到上述壓力分布式中，則得到:2 2r2 g(h z)該式便是筒內(nèi)流體的自由面方程。2-8 底面積a xa=200 x200mm 2的正方形容器的質(zhì)量為 m 1 =4kg ,水的高度為h=150mm，容器的質(zhì)量為 m2=25kg的重物作用下沿平板滑動，設(shè)容器底面與平板間的摩擦系數(shù)為0.13，試求不使水溢出的最小高度H。答：(1)求水平加速度ax:建立如圖所示坐標系，且設(shè)傾斜后不使水溢出的最小高度為H。設(shè)容器內(nèi)水的質(zhì)量為葉，容器和水的總質(zhì)量為 m，則：23ah 1.0 100.2 0.2 0.15 6 (kg ),m mimi4 6 10 (kg)。由牛頓第二定律：m2gmg （m m2）

16、ax ,其中0.13為摩擦系數(shù)，則水平加速度為：11axm2mg 25 0.13 10 g 0.667 g。m m235（2 ）求作用于流體上的單位質(zhì)量力：1單位質(zhì)量力為：faxi gk。代入到靜止流體平衡微分方程f p中，有:.1axigkpixpkz；比較方程兩端，可以得到:papax，xzg。（3 ）求自由表面方程壓力的全微分為：dp丄dx xdz。 z在自由液面上， p p0 con st, dp 0。代入到上式中得到：axdx g dz 0。對其進行積分，得到自由表面方程：axX gz C其中C為常數(shù)。* （確定常數(shù)C和高度H ）:由于自由表面方程通過兩點： （0,H）、（a,h1）

17、，代入到自由面方程中，則有:（1）0 ax gH Ca ax gh1 C將（1）代入到（2 ）中，得到:a ax gh1 gH又由于傾斜前后，水體積（質(zhì)量）保持不變，則有:2 1 2 ah a （H hj整理得到：hi 2h H將（4）代入（3 ）中，得到：a ax g（2h H ） gH，整理得到：H 電 a h 0.667g0.2 0.150.218（m），2g2g即不使水溢出的最小高度為0.218m。2-9 一物體位于互不相容的兩種液體的交界處。若兩液體的重度分別為1, 2 （ 2 > 1）,物體浸入液體 1中的體積為 V1，浸入液體 2中的體積為V2，求物體的浮力。答：設(shè)微元面積

18、dS上的壓力為 p，其單位外法向量為 n，則作用于dS上的流體靜力為dP pndS。沿物體表面積分，得到作用于整個物體表面的流體靜力為P 二:pndS。S設(shè)V部分的表面積為S1，設(shè)V2部分的表面積為S2,兩種液體交界面處物體的截面積為S , 交界面處的壓力為 P0。并建立下述坐標系，即取交界面為xoy平面，z軸垂直向上為正，液體深度 h向下為正，顯pndS pndS。S1S2在S1上pP01h P0 1Z，在S2上p P0 2Z ；代入到上式中得到:PPoiz ndSpo 2z ndSSiS2pondSiz ndSpondS2z ndSSiSiS2S2pondSpondSiz ndS2z nd

19、SSiS2SiS2在此，需要注意到，由于在交界面上z 0，因此有izndS 2Z ndS 0。將這兩SoSo項分別加入到上式的第二個括號和第三個括號中，則原式成為：pondSpondS1z ndS1z ndSS1 S2SiSo2z ndS 2z ndSS2So-pondS 二dSSS1 Soo 2 z ndSS2PPo dViz dV2z dVVViV2oiVik2V 2 kiVi2V2 k利用高斯公式，可以得到:即物體受到的浮力為 PiVi2V2 k。第三章流體運動學3-1粘性流體平面定常流動中是否存在流函數(shù)?答：對于粘性流體定常平面流動，連續(xù)方程為:存在函數(shù):P(x,y,t) v和 Q x

20、, y,t u，并且滿足條件：QPoxy因此，存在流函數(shù)，且為：v dx u dy ox,y,t Pdx Qdy3-2軸對稱流動中流函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程？答：如果流體為不可壓縮流體，流動為無旋流動，那么流函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程。3-3就下面兩種平面不可壓縮流場的速度分布分別求加速度。(1)um xmyv 2 2 2 22 x y2 x y2 2Kt y x2 2 2x y2Ktxy2 2 2x y，其中m，K為常數(shù)。答：(1)流場的加速度表達式為:uuuvvvaxuv ,ayu -v - otxytxy由速度分布，可以計算得到：u0,v0，因此ttum2 2y xum2xy ；x

21、2，x yy22 x2 2 ； yvm2xyvm2 x2 yx22 2 2 ，x yy22 x2 2。 y代入到加速度表達式中:ax0mxm2y2 xmymxy22 x2y22 x2 2 y22 x2 y22 x2 2 ym2x22 x2 2 yay0mxm2xymym2 x2 y22 x2y22 x2 2 y22 x2y22 x2 2 ym2y22 x2 2 y(2 )由速度分布函數(shù)可以得到:u1， 2 2K y xv2Kxyt,x yt3x y2Ktx3y2y2Kty3x22Ktyy2 3x2x22Ktx3y2axK -2y22x22 KtxyKt22xy' 222Ktyxy! 2

22、Ky2x22Kt 2xy代入到加速度表達式中:ay2xyyx22 2xy3x22 y22 3xy2x23xy2 22Ktx2 2x 3y2 2 3x yKtx2 y222xyx2y222xyx2 y22Kt2KtxKt2 2y x2 2 2x y2Kty2y2x3x22 3 y2 x2 x2y3y2 3 yx2 y233-4已知歐拉參數(shù)表示的速度場分布為x t， v y t，試求質(zhì)點位移和速度的拉格朗日表達式。已知t 0時x a， y b 。答：（1）流體質(zhì)點的軌跡方程為:dx udtdy vdt將速度分布帶入，得到:dx x t dt dy y t dt兩個方程除了自變量之外，完全一致，只需

23、要解一個即可。將第一個方程改寫為:dxx dt該方程為一階非齊次常微分方程，非齊次項為t。先求齊次方程的通解，齊次方程為:dxdxdt %，即匚dt ；兩端同時積分得到:In x t C , x Cet。(2 )令非齊次方程的特解為:*tx t Ct e，對其兩端求導得到:*C t et C t et ；dx tdtdx t將上述x t和代入到原非齊次方程中，有:dtCt et Ct et Ct et t。整理得到：C t t e兩端同時積分:C t t e tdtC1代入到特解中得到:C1 e t 1 Ge。(3)將初始條件a代入上式，得到:C1因此:同理可得:軌跡方程為:t 1 (a 1聞

24、 i t 1 (b 1)d j。（4 ）用拉格朗日法表達的速度為:a 1 eti b 1 etj。3-5繪出下列流函數(shù)所表示的流動圖形（標明流動方向），計算其速度、加速度，并求勢2 2 函數(shù)，繪出等勢線。（1） x y ； （ 2） xy ； （ 3） x y ； （4） x y。答：（1） x y 流動圖形：流線方程為 x y C，流線和流動方向如圖中實線所示； 速度：U 1，V 1，yxv ui vj i j，流場為均勻流動；加速度：a axi ay j0 ；求速度勢函數(shù)：由于平均旋轉(zhuǎn)角速度：z1v u1000，因此流場為無旋流場，勢函2x y2數(shù)（x,y）存在：x,yx,0x,y(x,y

25、)udx vdyudxvdy x y ；o,o0,0x,0等勢線：等勢線如圖中虛線所示（與流線垂直）。(2) xy流動圖形：流線方程為xy C，流線和流動方向如圖中實線所示;速度：ux， vy ；yxv uivj xi yj ；加速度:u u 丿 c axu v x 1 y 0 xxyvvc /ayu v x 0 y 1 yxyaaxiayj xi yj ；求速度勢函數(shù):由于平均旋轉(zhuǎn)角速度1v u1z0 00，流場為無旋流場，勢函數(shù)2x y2(x, y)存在：x,yx,0x,y1 2 2x y ；2(x,y)udx vdyxdxydy0,00,0x,0等勢線：等勢線如圖中虛線所示(與流線垂直)

26、。(3) x y速度：uyx2，vy流動圖形：流線方程為x/y C ,流線和流動方向如圖中實線所示;X .1 .v Ui vj i j ； y y加速度:u u xaxuv4xyyvv1ayuv3xyyX .1.aaxiayj 413 j ；y y求速度勢函數(shù):vuivj2yi2xj。加速度:uuaxu-v -4xxyvvayu -v -4yxyaaxiayj4xi 4yj丄1vu由于z2xy/ 、 2 2(4)x y0，流場為有旋流場，勢函數(shù)（x, y）不存在。流動圖形：流線方程為x2 y2 C，流線和流動方向如圖中實線所示;速度：u 2y， vy2x， x求速度勢函數(shù):1 _v_u2 x

27、y2 0，為有旋流場，勢函數(shù)（x, y）不存在。(1)u y，v x ；( 2)u x y，v x/ 、 2 2(3)u x yx，v2xy y 。求之。答：（1） u y，vx求速度勢函數(shù)：1 vu 1z1 1 12 xy 2求流函數(shù)：3-6已知平面不可壓縮流體的速度分布為判斷是否存在勢函數(shù)和流函數(shù)，若存在,0，為有旋流動，勢函數(shù)（x, y）不存在。u v由于000，滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù)（x, y）存在:x y(x,y)x,yvdx0,0x,0udy0,0xdx（2）u xy， v xy求速度勢函數(shù):1v u1 ,z1112x y2八122ydy x y 。0，為有旋流動，勢函

28、數(shù)（x, y）不存在。求流函數(shù):由于丄x0 ,不滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù) （x,y）不存在。(3) u x22xy求速度勢函數(shù):(x,y)2y2y0，為無旋流動，勢函數(shù)(x, y)存在:x,yudx0,0vdyx,02x0,0x dxx，y11 22xy y dy xx,022xy求流函數(shù):2x2x0，滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程,存在:(x,y)x,yx,00,0vdxudy0,02xydxx,y2xx,02 2y y dy 2x y xy3-7已知歐拉參數(shù)表示的速度分布為u Ax，v流函數(shù) （x,y）Ay ,求流體質(zhì)點的軌跡。答：由軌跡方程' 史 dt，并將u Ax和vAy

29、代入得到:u vdx Axdtdy aydt或者寫成:空Adtx巴Adty兩端同時積分，得到:In x At C1In y At C2x，即yC1eAtAtC?e3-8已知流場的速度分布為u xt， v y t，求 t 0 時通過 1,1,1點的流線。答：將速度分布函數(shù)代入連續(xù)方程:得到:因此可知,速度分布與 z坐標無關(guān)，流動為二維流動。由流函數(shù)定義式得到:x,y(x,y)0,0vdxx,0udy0,0x,yy t dx x tx,0dy y t x x t由于流函數(shù)為常數(shù)時C表示流線，因此流線方程為:將將條件：當t 0，1、y 1代入上式，得C2 ;因此該瞬時過1,1,1的流線方程為:xy

30、10。23-9已知平面不可壓縮流體的速度分布為u x t，v2xyt，求t 1時過 2,1點的流線及此時處在這一空間點上流體質(zhì)點的加速度和軌跡。答：（1）求流線方程:由于上x2xt2xt 0，流函數(shù)(x, y,t)存在，且為:x,y(x,y,t)vdx0,0x,0udy 00,0dxx,yx2tdy x2yt ；x,0則流線方程為:x2yt將條件：當1時,1代入,得C 4;則該瞬時過將(2,1)點的流線方程為:Uuu22,2xtaxtu-v-x xtxyvvv2xy2.aytu-v-xtxy(2)求加速度:將條件：t 1時，x22 22xyt 0 x 1 2xt2 22yt 2xyt 2xt

31、2xy 2x2yt2y 1代入，得到該瞬時過將(2,1)點的流體質(zhì)點的加速度為:ax12ay 12(3)軌跡方程:t4。3-10設(shè)不可壓縮流體的速度分布為(u ax2by2cz2,vdxy eyz fzx；(2)U2 z2 ,v c2xsin 2a2 z2 c。其中c、d、e、f為常數(shù)，試求第三個速度分布w。答：(1)將速度分布代入連續(xù)方程:U vx y0,得到:d 2a x，w ez z兩端同時積分得到:wx,y,z ez2d 2a xz2Ci x,y。（2 ）將速度分布代入連續(xù)方程:由于:0，y因此:兩端同時積分得到:w x, y,z C2x, y。3-11 有一擴大渠道,已知兩壁面交角為

32、1弧度，在兩壁面相交處有一小縫，通過此縫隙流出的體積流量為1 t （ m/s ），試求（1）速度分布；（2）t 0時壁面上r 2處2的速度和加速度。答：（1）求速度分布：設(shè)半徑為r處的徑向速度為 Vr ,周向速度為v。顯然v 0 ,且Vr S Q ;其中:S 1 r 1 r，因此徑向速度分布為:vr（2）求加速度:ar（3）當t 0時，在r 2處:17。323-12已知不可壓縮平面勢流的分速度為c 23ax23ay , 0,0點上u v 0，試求通過1 14，ar 20,0及0,1兩點連線的體積流量。答：(1)求速度分布:由平面不可壓縮流體的連續(xù)方程得到:-6 ax， x兩端同時對y積分:v

33、6axy C(x)；將條件：在(0,0)點v 0代入上式,得到:C(x) 0，因此:v6 axy。流動的速度分布為:u 3ax23ay2， v6axy。(2)求流函數(shù):(x,y,t)x,yvdx0,0x,0udy 00,0dxx,y3ax2 3ay2 dy 3ax2y ay3。x,0(3 )求流量:利用流函數(shù)的性質(zhì)：流場中任意兩點的流函數(shù)之差等于通過兩點之間連線的體積流量。由于： 0,00，0,1 a ；因此流量為:Q 0,00,10 a a。3-13設(shè)流場的速度分布為u ax, v ay,w 2az，其中a為常數(shù)。（1 ）求線變形速率,角變形速率，體積膨脹率;2）問該流場是否為無旋場？若是無

34、旋場求出速度勢。答：（1 ）線形變速率為:uxxa ，xyyzz2a ；角形變速率為:xyyzzx體積膨脹率為:xx yy zz aa 2a0。（2）求速度勢:由于平均角速度的三個分量分別為:因此:xiyjzk 0即流場為無旋流場，速度勢函數(shù)存在，且為:3-14xy(x,y,z) udx vdy00wdz 丄ax2 o21ay22az 。設(shè)流場的速度分布為 uy 2z, v z 2x,w x2y。試求（1）渦量及渦線方程;x y z 1平面上通過橫截面積 dA 1 mm 2的渦通量。答:（1）求渦量和渦線方程:流場的平均旋轉(zhuǎn)角速度的三個分量分別為:1 w v11m22 1 2，1 u w-2

35、121y 2 zx2，1 v u1 2 121z 2 x y02因此平均旋轉(zhuǎn)角速度為：1 .2i j k ；則渦量為：2i jk其三個分量分別為：xi，yj，zk ；將其代入到渦線方程：dx dy蟲，得到:xyzdx dzdy dz兩端同時積分得到渦線方程:x z Gy z C20（2）渦通量:將渦量在S上積分，得到渦通量為:JndSxiyjyknxi nyj nzk dSSSxnxy nyyg dSS其中：nnxinyj nzk，為平面xyz 1的單位外法向量。設(shè) F x, y, z x y z 1,則:S平面外法向量n在三個坐標軸上的分量為:nxnynz1111FyF1.1 1、33因此:

36、3-15別為xnxS3 dS 3ynydA-.3yhz dS已知流場的流線為同心圓族，速度分布為:5y2x5x2x。試求沿圓周 yR 5，和（3）,335時,R2的速度環(huán)量，其中圓的半徑R分10。答：（1 ）極坐標下的速度分布:在半徑為r的圓周上，vr 0，v u2 v2 ； 當r 5時:11 .uy一 sinr，5511vxcosr，55'.2I221 . 22 2vVLv 1sincos r5當r 5時:5y2 2x y5s inr- 2 2 sin r cos r5si n5x22x y5 cos r5 cos- 2 2 sin r cos rU 2v25sin5 cos（2）求

37、速度環(huán)量:速度環(huán)量dl。其中vVr er，dldrrd分別為r和 方向上的單位向量。因此:- vrCdr errdrd o3時:2r05rd185時:2r05rd1010時:rd10 。3-16設(shè)在1,0點置有0的旋渦,1,0點置有0的旋渦，試求下列路線的速度環(huán)量:（X1)2y2 1,2,y2的一個方形框,(4) X0.5, y0.5的一個方形框。答：（1）第四章 流體動力學基本定理及其應用4-1歐拉運動微分方程和伯努利方程的前提條件是什么，其中每一項代表什么意義?答：（1）歐拉運動微分方程是牛頓第二定律在理想流體中的具體應用，其矢量表達式為:Vt遷移其物理意義為：從左至右，方程每一項分別表示

38、單位質(zhì)量理想流體的局部慣性力、 慣性力、質(zhì)量力和壓力表面力。（2 ）伯努利方程的應用前提條件是：理想流體的定常運動，質(zhì)量力有勢，正壓流體，沿流線積分。單位質(zhì)量理想流體的伯努利方程的表達式為:V2上2gz C，從左至右方程每項分別表示單位質(zhì)量理想流體的動能、壓力能和位能，方程右端常數(shù)稱流線常數(shù)，因此方程表示沿流線流體質(zhì)點的機械能守恒。34-2設(shè)進入汽化器的空氣體積流量為 Q 0.15m / s，進氣管最狹窄斷面直徑 D=40mm ， 噴油嘴直徑d=10mm 。試確定汽化器的真空度。又若噴油嘴內(nèi)徑 d=6mm ，汽油液面距 噴油嘴高度為50cm，試計算噴油量。汽油的重度7355N/m3。答：（1

39、）求A點處空氣的速度：設(shè)進氣管最狹窄處的空氣速度為V1，壓力為P1，則根據(jù)流管的連續(xù)方程可以得到：1 2 2D2 d2 v1 Q，44Q因此：v12 r 。D d（2 ）求真空度Pv選一條流線，流線上一點在無窮遠處F, 點為A點；并且：在 F 點：pF p0 ， VF 0 ；在 A 點：Pa P1 ?，Va V1。將以上述條件代入到伯努利方程中，可以得到：因此真空度為:Pv PoPlPl若取空氣的密度為Pv8 1.226(3)求噴油量:2V11 2V14Q272D d8 Q221D2 d2 21.226 kg/0.1523.14設(shè)噴油嘴處汽油的速度為3m，那么計算得到:004 9'95

40、103Pa。v2，并設(shè)空氣的密度為1，重度為1，汽油的重度為 2。選在A點：PaP1P0122 w，在B點：PbP0，vb0，Zb代入到伯努利方程中，可以得到:1122hP0P0V12g222整理得到：一條流線，流線上一點為上述的 A點，2 2V2V1 2gh ；2另一點為汽油液面上的B點；并且：vA v2 ?， zA h 50cm 0.5m ；0 ；0 0 ；因此汽油噴出速度為：V2 Jv" 2gh ；12N/m3 ； w 驢 廠，并注意到噴油嘴的D2 d22 2其中空氣重度11g 1.226 9.81直徑是6mm，而不是原來的10mm，則計算得到:I21.226 9.8116 0

41、.15273553.1420.042 0.00622 9.81 0.524.366 9.813.817m/s因此汽油流量為:Q212433-3.14 0.0062 3.817 1.079 10 4m3/s 107.9cm3/s。 44-3如圖所示，水流流入U形彎管的體積流量 Q=0.01m 3/s，彎管截面由S1 =50cm 2減小到S2=10cm 2，流速v1和v2均勻，若S2截面上的壓力為一個工程大氣壓，求水流對彎管的作用力及作用點的位置。1000kg /m3。答：(1)求截面S1和S2上的流速V1和V2 :由連續(xù)方程可知:V2Q0.01m3/sS150 10 4m20.01m3/sS21

42、0 10 4 m22m/s，10m/s ；(2)求S1上的壓力p1:已知S2上的壓力P2 1個工程大氣壓0.981 105 Pa ；2P1V1P22V22g2g得到：P1 P21 、v： V 0.981 1052由伯努利方程:(3 )求水流對彎管的作用力P :-1000 100 41.461 105Pa。2由動量定理可以得到:P-P1-P22V1 S12V 2 S2其中R和P2分別為在S1和S2上，外界對水流的作用力；在此需要注意到，對于整個彎管,大氣壓力對其的作用力合力為0。因此：Si截面上作用力為：Rp1 p0 S11.164 105 0.981 105 50 10 4 240N，S2截面上作用力為：P2p2 p0 S2 0。因此：R Rv；S2240 103 22 50 10 4 102 10 10 4240 120360N（4 ）求作用力P的作用點：設(shè)作用點距S1截面中心線的距離為 e，兩管中心線之間的距離為 L。由動量矩定理可以得到：2P e v2 S2 L ；即：2324eV2 S2 10 10 10 10-100-