（整理版）高考數(shù)學(xué)專題15導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)

1、高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題15 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【難點突破】難點 1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義1拋物線y=-x2+2,過其上一點p引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的面積最小，求l的方程。把x0=代入得l的方程為：2x+3y-8=0.2由原點o向三次曲線y=x3-3ax2a0引切線，切于點p1x1,y1(o,p1兩點不重合)，再由p1引此曲線的切線，切于點p2x2,y2(p1，p2不重合)。如此繼續(xù)下去，得到點列pn(xn,yn)求x1;求xn與xn+1滿足的關(guān)系式；假設(shè)a>0，試判斷xn與a的大小關(guān)系并說明理由 (3)由2得xn+1=-難點 2利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性1mr,

2、研究函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間f(x)在-1，-上是減函數(shù)。當(dāng)0<m<3時，x1<x2.在區(qū)間-，-1，+上g(x)<0,即f(x)<0.3f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在r上的函數(shù)，其圖像交x軸于a、b、c三點，假設(shè)點b的坐標(biāo)為2，0，且f(x)在-1，0和4，5上有相同的單調(diào)性，在0，2和4，5上有相反的單調(diào)性。1求c的值；2在函數(shù)f(x)的圖像上是否存在一點mx0,y0使得f(x)在點m處的切線斜率為3b？假設(shè)存在，求出點m的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由。4函數(shù)f(x)=+b-1x2+cx(b,c為常數(shù))1假設(shè)f(x)在x(-,x1)及xx2+上單調(diào)遞

3、增，且在xx1,x2上單調(diào)遞減，又滿足0<x2-x12<2(b+2c).(2)在1的條件下，假設(shè)t>x1,試比擬t2+bt+c與x1的大小，并加以證明。難點 3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a0)是r上奇函數(shù)，當(dāng)x=-1時，f(x)取得極值2。1求f(x)的單調(diào)區(qū)間；2假設(shè)對于x1、x2-1，1，不等式|f(x1)-f(x2)|m，求m的最小值。2.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在-1，0 0，1上奇函數(shù)，當(dāng)x-1，0時，f(x)=2ax+(a為實數(shù))1當(dāng)x0，1時，求f(x)的解析式；2假設(shè)a>-1，試判斷f(x)在0，1上的單調(diào)性；3是否存在a，

4、使得當(dāng)x0，1時，f(x)有最大值-6。4x+2+1>0,x=.又x(0, )時，h(x)<0, x(,1)時，h(x)>0.x=時，h(x)有最小值h()=-a<.【易錯點點睛】易錯點 1導(dǎo)數(shù)的概念與運算1設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nn,那么f(x) ( )2函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3，fx的解析式可能為 afx=(x-1)3+32(x-1) bf(x)=2x+1 cf()=2(x-1)2 df(x)-x+3= 【特別提醒】1理解導(dǎo)數(shù)的概念時應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=

5、a處可導(dǎo)，那么 的運用。2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進行，注意不要遺漏3求導(dǎo)數(shù)時，先化簡再求導(dǎo)是運算的根本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù)；對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式；多項式的積的求導(dǎo)，先展開再求導(dǎo)等等?！咀兪接?xùn)練】1 函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3時取得極值，那么a= ( )a.2 b.3 c5函數(shù)f(x)=ln(x-2)-(1)求導(dǎo)數(shù)f(x) 答案： f(x)=易錯點 2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_.三條直線所圍成的面積為s=

6、15;4×2-=。2設(shè)t0,點pt,0是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在p點處有相同的切線。1用t表示a、b、c；2假設(shè)函數(shù)y=f(x)-g(x)在-1，3上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。【錯誤解答】 1函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點p(t,0).解得 t-9或t3.3.函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處有極值。1討論f(1)和f(-1)是函數(shù)的極大值還是極小值。2過點a0，16作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。【特別提醒】設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)為f(x0

7、)，那么過此點的切線的斜率為f(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).利用導(dǎo)數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解?！咀兪接?xùn)練】1 曲線y=2x-x3在點1，1處的切線方程為_.2設(shè)函數(shù)f(x)的圖像c1與函數(shù)g(x)圖像c2交于點p、q，過線段pq的中點作x軸的垂線分別交c1、c2于點m、n，證明c1在點m處的切線與c2在點n處的切線不平行。 4 函數(shù)f(x)=|1-|,(x>0)(1)證明：0<a<b,且f(a)=f(b)時，ab>1;易錯點 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

8、2假設(shè)f(x)在區(qū)間-2，2上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值?！惧e解分析】在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應(yīng)把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進行比擬大小才能產(chǎn)生最大小值點，而上面解答題直接用極大小值替代最大小2函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在r上是減函數(shù)，求a的取值范圍。4設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。1當(dāng)m為何值時，f(x)0;(2)定理：假設(shè)g(x)在a、b上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，那么至少存在一點x0(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m>1時，方程f(x)=0，在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個實根。【錯誤解答】 令f(

9、x)0,xln(x+m).5用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成如圖，問該容器高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？【特別提醒】1證函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)來證明，前者較繁，后者較易，要注意假設(shè)f(x)在a、b內(nèi)個別點上滿足f(x)=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足f(x)>0(或f(x)<0)函數(shù)f(x)仍然在a、b內(nèi)單調(diào)遞增或遞減，即導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。2函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比擬，函數(shù)在區(qū)間上的極大值或極小值可能有假

10、設(shè)干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，f(x)=0是可導(dǎo)數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數(shù)不一定處處可導(dǎo)時可以是不必要條件。3函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對函數(shù)值的比擬，連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a、b上必有一個最大值和一最小值，最多各有一個，但f(x)在a、b上就不一定有最大值或最小值。4實際應(yīng)用問題利用導(dǎo)數(shù)求f(x)在a、b的最大值時,f(x)=0在a,b的解只有一個，由題意最值確實存在，就是f(x)=0的解是最值點。【變式訓(xùn)練】1 mr,設(shè)p：x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根，不等式|m2-5m-3|x

11、1-x2|對任意實數(shù)a-1，1恒成立。q：函數(shù)f(x)=x3+(m+)x+6在-,+ 上有極值。求使p正確且q正確的m的取值范圍。因此，函數(shù)f'(x)在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(-，+)上有極值5 某企業(yè)有一條價值a萬元的流水生產(chǎn)線，要提高該流水生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，就要對充水生產(chǎn)線進行技術(shù)改造，假設(shè)增加值y萬元與技改把風(fēng)入x萬元之間的關(guān)系滿足y與a-xx2成正比例；當(dāng)x=時，y=;0t,其中t為常數(shù)且t0,2.(1)設(shè)y=f(x),求出f(x)的表達式，并求其定義域；答案： f(x)=8a2x212x3

12、=(0x，t2)2求出增加值y的最大值，并求出此時的技改投入x值。解析：y=sinx+cosx-sinx=xcosx,x(-,-)時，y>0.3 函數(shù)f(x)=在1，+上為減函數(shù)，那么a的取值范圍為 a0<a< b0<ae cae dae答案： c 解析：f(x)=)上恒成立，故時，lnx>1ln恒成立，x>4 函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最大值、最小值分別是 6 函數(shù)f(x)=x3-2x+3的圖像在x=1處的切線與圓x2+y2=8的位置關(guān)系是 a相切 b相交且過圓心 c相交但不過圓心 d相離7設(shè)集合a0,1)，b1,2，函數(shù)f(x)假設(shè)x

13、0a，且ff(x0)a，那么x0的取值范圍是()a. b(log32,1)c. d.8 函數(shù)f(x)lg(x0，xrf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；f(x)的最小值是2；f(x)在(，0)上是減函數(shù)，在(0，)上是增函數(shù)；f(x)沒有最大值方法二：當(dāng)n0時，f(x)1，x0,1)，那么log2x1x0,1)；10定義域為r的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；11函數(shù)f(x)，g(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，它們在同一坐標(biāo)系下的圖象如下圖，設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，那么()ah(1)<h(0)<h(1) bh(1)<h(1)<h(0)ch

14、(0)<h(1)<h(1) dh(0)<h(1)<h(1)答案：d解析：取特殊值，令f(x)x2，g(x)x3，那么h(0)<h(1)<h(1)12p：xr，使得x2x1<0，那么綈p：xr，均有x2x10b函數(shù)f(x)exex切線斜率的最大值是2c函數(shù)f(a)sinxdx，那么f1cos1d函數(shù)y3·2x1的圖象可以由函數(shù)y2x的圖象僅通過平移變換得到13設(shè)函數(shù)yf(x)是定義在r上以1為周期的函數(shù)，假設(shè)g(x)f(x)2x在區(qū)間2,3上的值域為2,6，那么函數(shù)g(x)在12,12上的值域為()a2,6 b20,34c22,32 d24,2

15、814由直線x，x，y0與曲線ycosx所圍成的封閉圖形的面積為()a. b.c. d1答案：c解析：直線x，x，y0與曲線ycosx所圍成的封閉圖形的面積為cosxdx.15函數(shù)f(x)ax3bx2cx，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(1,0)，(2,0)，如下圖，那么以下說法中不正確的選項是_當(dāng)x時，函數(shù)f(x)取得極小值；f(x)有兩個極值點；當(dāng)x2時，函數(shù)f(x)取得極小值；當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)取得極大值16. 函數(shù)f(x)=xlnx,那么f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.答案：(0,) 解析：令f(x)=lnx+1<0,得x(0, ).17.曲線y=2-x2與y=x3-2在交點處的

16、切線夾角是_.答案： 解析：聯(lián)立又=-x,( )=.兩函數(shù)在x=2處導(dǎo)數(shù)分別為-2、3.k1=-2,k2=3.tan=|=可求得=.18. 函數(shù)f(x)=mx3+mx2+3x在r上的增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。19.求函數(shù)f(x)=在，3上的最大值和最小值。f(3)=f()=-ln2-ln=-ln2-(ln3-ln2)2當(dāng)a取最大值時，存在tr，使x1，mm>1時，f(t-x) 恒成立，試求m的最大值。21.函數(shù)f(x)=-x3-bx2-5cx-2d在-，0上單調(diào)遞減，在0，6上單調(diào)遞增，且方程f(x)=0有3個實根：m、n、1。1求f(4)的取值范圍。ab=9，ac=3，bc=由a到c所需要時間為t，23. 函數(shù)y=f