2016年專項練習題集-定義法求軌跡方程

1、2016年專項練習題集-定義法求 軌跡方程2016年專項練習題集-定義法求軌跡方程 選擇題1、點p（X）y）是平面中的一個動點）滿足:4r7 J（x 4）2 y2 10,則點p的軌跡方程是A.B.C.D.2 X252 X252 X92 X92 y92 y92 y252 y25【易錯點】不能將J(x 4)2 y2看做點(x,y )和點 (4,0)之間的距離?！窘忸}思路】利用橢圓的定義即可得出.【解析】點p (x, y)在運動過程中滿足關系式：J(x 4)2 y2 "(x 4)2 y2 10,點p到兩定點F (4, 0), F' -4, 0)的距離 之和滿足：|PF|+|P F&

2、#39; |=o >8.故點P的軌跡是以點F, F'為焦點,10為長軸 長的橢圓. 22易知，c=4,a=5,b=3,橢圓的方程為上、L259故選A .2、已知圓 g: (x+3 ) 2+y 2=4 ,圓 & (x-3)2+y 2=100 ,動圓c與圓外 圓。2都內切，則動圓 圓心的軌跡是()A.橢圓C.拋物線D.圓【分值】5【答案】A【考查方向】本題主要考查橢圓的定義.軌跡方 程,圓與圓的位置關系及其判定。菁優(yōu)網版權所【易錯點】找不出田+%為定值這一關系?！窘忸}思路】設動圓的半徑為r,由相切關系建 立圓心距與r的關系，進而得到關于圓心距的等式，結合橢圓的定義即可解決問題

3、.【解析】設動圓的半徑為r,動1心為c(X,y），因為動圓與園G： (X + 3) 2+y2 = 4 及園(x-3)2+y2=100都內切,則"尸"2, ce2 = 10 - r.因此動心為c的軌跡是焦點為G.中心在(0, 0)的橢圓.故選A.3.設動圓M與y軸相切且與C: x2+y2 -4x=0相外切，則動心M的軌跡方程為A. y2=8x.y2= - 8xC. y2=8x或y=0 (x<0)D. y2=8x或y=0【分值】5【答案】C【考查方向】本題考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題.【易錯點】忽視討論x.【解題思路】設出動圓圓心 M的坐標，利用動圓M與y

4、軸相切且與圓C: x2+y 2 - 4x=0相外 切，建立方程，化簡可得動圓圓心 M的軌跡方 程.【解析】設動圓圓心M的坐標為（x, y）,則.動圓M與y軸相切且與圓C: x2+y2-4x=0相外切J（x 2）2 y2 |x 2當 xv0 時）y=0 ;當 x RO 時）y2=8x 故選C.4、若動圓過定點A （-2,0）且和定圓（x-2）2+y2=4外切，則動圓圓心P的軌跡方程為A.B.22 y x 132x2 y 1(x 0)3C.2y2D. x 、1(x 0)3【分值】5【答案】D【考查方向】考查了雙曲線的定義、兩圓外切的 性質和動點軌跡求法等知識，屬于中檔題.【易錯點】容易錯誤的把軌跡

5、看成整支雙曲線?！窘忸}思路】設定圓（x-2） 2+y2=4的圓心為B,根據外切兩圓的性質得點P到B、A兩點的 距離之差等于2,由此可得點P在以A、B為焦 點的雙曲線的左支上，可得本題的答案.【解析】設動圓的半徑為 R,.動圓圓心為P,點A在動圓上，|PA|=R 又.定圓(x-2) 2+y2=4的圓心為B (2, 0), 半徑為2 ,定圓與動圓P相外切圓心距 |PB|=R+2由此可得 |PB| - |PA|= (R+2) - R=2 (常數)，點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的左支。易知：雙曲線焦點在X軸，a 1,c 2,所以方程為2 x2 y- 1(x 0)3故選：D5、已知圓 C: (x+

6、2 ) 2+y 2=36 和點 B (2,0),P是圓上一點，線段BP的垂直平分線交CP于M點，則M點的軌跡方程是（A.B.C.y2=6x2 2X_ y_9 52 2 x_ y .9 5D.x2+y 2=9【分值】5【答案】B【考查方向】本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，得出|MC|+|MB|=6>|BC| ,是解題的關鍵和難點.【易錯點】不能得出|MC|+|MB|=6【解題思路】根據線段中垂線的性質可得,|MB|=|MP|)又 |MP|+|MC|=半徑 6,故有|MC|+|MB|=6>|BC| ,根據橢圓的定義判斷軌跡橢圓，求出a、b值，即得橢圓的標準方程.解析：由圓的方程可知

7、，圓心 C (-2, 0),半 徑等于6,設點M的坐標為(x, y ),B用勺垂直平分線交CQ于點M ,|MB|=|MP|. JMP|+|MC|=半徑 6,|MC|+|MB|= 6>|BC| .依據橢圓的定義可得,點M的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，且2a=6 , c=2 , bw5 , 22故橢圓方程為1瓶1,故選B.填空題6、Z AB5勺三邊|BC| >|AC| >|BA|成等差數列, A、C兩點的坐標分別為(0,1), (0, -1),則 點B的軌跡方程是.【分值】322【答案】）卷1. （0vyv2） 34【考查方向】本題主要考查橢圓的定義，熟練掌握等差數列的定義、橢圓

8、的定義是解題的關鍵?！疽族e點】忽視|BC| >|AC| >|BA| ,而導致曲線為整條橢圓?！窘忸}思路】利用等差數列的定義可得，|BC|+|BA|=2|AC|=4>|AC| .利用橢圓的定義即可得出.解：. ABC三邊|BC| >|AC| >|BA|成等差數列，. |BC|+|BA|=2|AC|=4|ACj .由題意的定義可知：點B的軌跡方程是以點A,C為焦點（c=1 ）, a=2為半長軸長的橢圓的一部分，.b2=a 2 c2=4 1=3 .22，點B的軌跡方程是3匕1.34 ABC三邊 |BC| >|AC| >|BA| ,.0vyv2 .2 2故答案

9、為 ? i.（0vyv2）.3 47、如圖,， AB, P c D ，且ADLADIIBC, AD=2 ） BC=4 ） AB=6 ）若tan / ADP+2tan / BC5=則點P在平面 民內的軌跡是【分值】3【答案】橢圓的一部分【考查方向】本題考查橢圓的定義，注意定義中 動點到兩定點距離之和與定點間距離的大小比【易錯點】忽視定義中動點到兩定點距離之和與 定點間距離的大小比較.【解題思路】根據題意，易得tan / ADP=, tan / BCP=,又由 tan / ADP+2tan / BC5=且 AD=2 , BC=4 ,可得 AP+BP=10 ,比較可 得AP+BP >AB,由橢

10、圓的定義分析可得答案.解析：由 ADL a ,可得 ADL AP,tan / ADP=四邊形ABCD是梯形，則AD/ BC,可得BCXBC± BP,則 tan / BCP=,又由 tan / ADP+2tan / BC5=且 AD=2BC=4 ,可得 AP+BP=10 ,又由 AB=6 )則 AP+BP >AB )故P在平面a內的軌跡是橢圓的一部分,8、點M到點F (0, -3)的距離比它到直線1: y - 4=0的距離小1，則點M的軌跡方程是 .【分值】3【答案】x2= - 12y【考查方向】考查了兩點間的距離公式、軌跡方 程的求法、拋物線的定義與標準方程等知識，屬 于基礎題

11、.【易錯點】在去|x-3|的絕對值時，不能根據平面幾何原理，得y<3o解題思路：設M (x, y),由兩點間的距離公式 建立關于x、y的方程，結合平面幾何原理將方 程化簡整理，即可得到點 M的軌跡方程.【解析】設M (x, y),依題意得點M到點F (0, -3)的距離比它到直線1:y - 43=0 的距離小1 ,由兩點間的距離公式，得J(x 0)2 (y 3)2 |y 4 1 , 根據平面幾何原理，得yv4,原方程化為 &X 0)2 (y 3)23 y兩邊平方，得x2+ (y+3 )2= (3-y) 2,整理得 x2= - 12y即點M的軌跡方程是x2= - 12y .故答案為

12、：x2= - 12y .綜合題9、已知F (-2, 0),以F為圓心的圓，半徑為 r,點A (2, 0)是一個定點，P是圓上任意一 點，線段AP的垂直平分線l和直線FP相交于 點Q.在下列條件下，求點Q的軌跡方程，并 說明軌跡是什么曲線.(1) r=2時，點P在圓上運動；【分值】62【答案】x231,是雙曲線； 3【考查方向】本小題主要考查橢圓的定義、雙曲 線的定義、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解 能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想.熟 練掌握雙曲線、橢圓的定義及圓與直線的性質是 解決問題的關鍵.屬于中檔題.【易錯點】不能找出QA=QP及|QAQF|=|QP-QF|=FP這兩個關系式。【

13、解題思路】由題意得 QA=QP ,則|QA -QF|=|QP - QF|=FP=r=2 ,即動點Q到兩定點 F、A的距離差的絕對值為定值，根據雙曲線的 定義，可得點Q的軌跡是：以F, A為焦點，FA 為焦距長的雙曲線.【解析】（1）當r=2時，.A為OF外一定點，P為OF上一動點線段AP的垂直平分線交直線FP于點Q ,則 QA=QP ,則 |QA QF|=|QP QF|=FP=r=2 ,即動點Q到兩定點F、A的距離差的絕對值為定值，根據雙曲線的定義，可得點Q的軌跡是：以F,A為焦點，FA為焦距長的雙曲線，故 2a=2 , 2c=4 , ? a=1 , c=2 , b=向.2故方程為：x r=8

14、時，點P在圓上運動.【分值】6 22【答案】12 1,是橢圓【考查方向】本小題主要考查橢圓的定義、雙曲線的定義、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解 3 1,是雙曲線； 3能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想.熟練掌握雙曲線、橢圓的定義及圓與直線的性質是 解決問題的關鍵.屬于中檔題.【易錯點】不能找出QA=QP , FP=FQ+QP這 兩個關系式?！窘忸}思路】由題意QA=QP ,FP=FQ+QP=r=8 ,所以 FQ+QA=8 .故曲線是以A、F為焦點，長軸長為8的橢圓，由此能 求出曲線的方程.【解析】（2）當r=8時，由題意：QA=QP , FP=FQ+QP=r=8 ,所以 FQ+QA=9 .

15、故曲線是以A、F為焦點，長軸長為8的橢圓，其 2a=8 , 2c=4 , ? a=4 , c=2 , b= 2；3,22方程為：T6 12 S是橢圓.10、已知圓 F1：X2 y2 2x=15,點 F2 (1, 0), P 是圓 Fl 上任意一點，線段PF2的垂直平分線和半徑PFi相交 于Q(1)求動點Q的軌跡r的方程；【分值】5【答案】【考查方向】本題考查橢圓的方程的求法，注意 運用垂直平分線的性質和橢圓的定義，考查存在 性問題的解法，注意運用直線方程和橢圓方程聯 立，運用韋達定理和判別式大于 0,以及點滿足直線方程，屬于中檔題.【易錯點】找不出和為定值這一條件【解題思路】連結Q運用垂直平分

16、線定理可得,QP,可得QF1QF2QFi + QP 4F1F22,由橢圓的定義即可得到所求軌跡方程；解析：(1)將化為：(x+1 ) 2+y2=16 ,連結QF2,運用垂直平分線定理可得，QP QF2,可/口 QF1 QF2 QF1 + QP 4 F1F22 上心一上 j 、4 口得121,故動點Q的軌跡r是以F2為焦點，長軸長為4的橢圓.設其方程為：2223 1()可知a=2 , c=1，所以點Q的軌跡r的方程為(2)若直線y=k (x-1)與(1)中的軌跡r交于R, S兩點，問是否在x軸上存在一點T, 使得當k變動時，總有/OTS=/ OTR?說明理由.【分值】7【答案】存在T (4, 0

17、)【考查方向】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用垂直平分線的性質和橢圓的定義， 考查存在 性問題的解法，注意運用直線方程和橢圓方程聯 立，運用韋達定理和判別式大于0,以及點滿足 直線方程，屬于中檔題.【易錯點】不能將條件/OTS=郵©TRkTS+k TR=0 O【解題思路】假設存在T (t, 0)滿足/ OTS=Z OTR.誨(xi, yi), S(X2, y2), 聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和判別 式大于0,由直線的斜率之和為0,化簡整理， 即可得到存在T (4, 0).【解析】(2)假設存在T (t, 0)滿足 / OTS=Z OTR.設R(x1, y1), S (x2, y2)聯立，得(3+4k 2) x2-8k2x+4k 2-12=0 , 772由韋達定理有二，其中4。恒成立，由/ OTS=Z OTR (顯然S, TR的斜率存在)，故 kTS+k TR=0 即77+7二。) 冥 工 X 2 工由R, S兩點在直線y=k (x-1)上，