2015年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析版)

1、2015 年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一.選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，則集合 A B=（）UA2，5C2，5，6（2 5 分）設(shè)變量 x，y 滿足約束條件B3，6D2，3，5，6，8，則目標(biāo)函數(shù) z=x+6y 的最大值為（）A3B4C18D403（5 分）閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出 S&

2、#160;的值為（）A10B6C14D184（5 分）設(shè) xR，則“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要條件C充要條件B必要而不充分條件D既不充分也不必要條件5（5 分）如圖，在圓 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分點，弦 CD，CE 分別經(jīng)過點 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3，則線段 NE 的長為（）1AB3C          

3、   D6（5 分）已知雙曲線=1 （a0，b0）的一條漸近線過點（2，），且雙曲線的一個焦點在拋物線 y2=4A=1x 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（   ）B    =1C=1D=1（7 5 分）已知定義在 R 上的函數(shù) f（x）=2|xm|1（m 為實數(shù)）為偶函數(shù)，記 a=f（log 3），b=f（log 5），c=f（2m），則 a，b，c 

4、的大小關(guān)系為（）0.52AabcBacbCcabDcba8（5 分）已知函數(shù) f（x）=，函數(shù) g（x）=bf（2x），其中bR，若函數(shù) y=f（x）g（x）恰有 4 個零點，則 b 的取值范圍是（）A（ ，+）B（， ）   C（0， ）      D（ ，2）二.填空題（每小題 5 分，共 30 分）（i（95 分） 是虛數(shù)

5、單位，若復(fù)數(shù)（12i）a+i）是純虛數(shù)，則實數(shù) a 的值為10（5 分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位： m），則該幾何體的體積為m3211（5 分）曲線 y=x2 與 y=x 所圍成的封閉圖形的面積為12（5 分）在（x）6 的展開式中，x2 的系數(shù)為13（5 分）在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，已知ABC 的面積為 3，bc=2，cosA= ，則 a

6、0;的值為14（5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°動點E 和 F 分別在線段 BC 和 DC 上，且=  ，  =     ，則      的最小值為三.解答題（本大題共 6 小題，共 80 分）15（13 分）已知函數(shù) 

7、;f（x）=sin2xsin2（x（）求 f（x）的最小正周期；），xR（）求 f（x）在區(qū)間，  內(nèi)的最大值和最小值316（13 分）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加，現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員 3 名，其中種子選手 2 名，乙協(xié)會的運動員 5 名，其中種子選手 3 名，從這 8 名運動員中隨機(jī)選擇 4 人參加比賽（）設(shè) A 為事件“選出的 4 人中恰有&#

8、160;2 名種子選手，且這 2 名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件 A 發(fā)生的概率；（）設(shè) X 為選出的 4 人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望17（13 分）如圖，在四棱柱 ABCDA B C D 中，側(cè)棱 AA 底面 ABCD，ABAC，11111AB=1，AC=AA =2，AD=CD=1，且點 M 和 N 分別為

9、0;B C 和 D D 的中點1 1（）求證：MN平面 ABCD（）求二面角 D ACB 的正弦值；11（）設(shè) E 為棱 A B 上的點，若直線 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值為 ，求線11段 A E 的長14（18 13 分）已知數(shù)列a 滿足 a =qa （q 為實數(shù)，且 q1）

10、，nN*，a =1，a =2，nn+2n12且 a +a ，a +a ，a +a 成等差數(shù)列233445（1）求 q 的值和a 的通項公式；n（2）設(shè) b =n，nN*，求數(shù)列b 的前 n 項和n19（14 分）已知橢圓+=1（ab0）的左焦點為 F（c，0），離心率為，點 M 在橢圓上且位于第一象限，直線 FM 被圓 x2+y2=為 c，|FM|

11、=（）求直線 FM 的斜率；（）求橢圓的方程；截得的線段的長（）設(shè)動點 P 在橢圓上，若直線 FP 的斜率大于斜率的取值范圍，求直線 OP（O 為原點）的520（14 分）已知函數(shù) f（x）=nxxn，xR，其中 nN ，且 n2（）討論 f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)曲線 y=f（x）與 x 軸正半軸的交點為 P，曲線在點 P 處的切線方程為y=g（x），求證：對于任意的正實數(shù) x，都有&#

12、160;f（x）g（x）；（）若關(guān)于 x 的方程 f（x）=a（a 為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根 x ，x ，求證：|x12x |+21262015 年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一.選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，則集合 A B=（）UA2，5B3，6   

13、0;    C2，5，6    D2，3，5，6，8【考點】1H：交、并、補集的混合運算【專題】5J：集合【分析】由全集 U 及 B，求出 B 的補集，找出 A 與 B 補集的交集即可；【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7， B=2，5，8，U則 A B=2，5U故選：A【點評】此題考查了交、并、

14、補集的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵（2 5 分）設(shè)變量 x，y 滿足約束條件為（），則目標(biāo)函數(shù) z=x+6y 的最大值A(chǔ)3B4             C18           D40【考點】7C：簡單線性規(guī)劃【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)

15、函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)7合確定 z 的最大值【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由 z=x+6y 得 y= x+ z，平移直線 y= x+ z，由圖象可知當(dāng)直線 y= x+ z 經(jīng)過點 A 時，直線 y= x+ z 的截距最大，此時 z 最大由，解得，即 A（0，3）將 A（0，3）的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù) z=x+6y，得

16、60;z=3×6=18即 z=x+6y 的最大值為 18故選：C【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法3（5 分）閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出 S 的值為（）8A10B6C14D18【考點】EF：程序框圖【專題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 i，S 的值，當(dāng) i=8 時滿足條件 i5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 

17、6【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=20，i=1i=2，S=18不滿足條件 i5，i=4，S=14不滿足條件 i5，i=8，S=6滿足條件 i5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 6故選：B【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的 i，S的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4（5 分）設(shè) xR，則“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要條件C充要條件B必要而不充分條件D既不充分也不必要條件9【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件【專題】5L：簡易邏輯【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，

18、結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【解答】解：由“|x2|1”得 1x3，由 x2+x20 得 x1 或 x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要條件，故選：A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎(chǔ)5（5 分）如圖，在圓 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分點，弦 CD，CE 分別經(jīng)過點 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3，則線段 NE 的長為（）AB3CD【考點】NC：與圓有

19、關(guān)的比例線段【專題】17：選作題；5M：推理和證明【分析】由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求 NE 即可【解答】解：由相交弦定理可得 CM MD=AM MB，2×4=AM 2AM，AM=2，MN=NB=2，又 CN NE=AN NB，3×NE=4×2，NE= 故選：A【點評】本題考查相交弦定理，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)106（5 分）已知雙曲線=1 （a0，b0）的一條漸近線過點（2，），且雙曲線的一個焦點在拋物線 

20、;y2=4A=1x 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（   ）B    =1C=1D=1【考點】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易得其準(zhǔn)線方程，從而可得雙曲線的左焦點，再根據(jù)焦點在 x 軸上的雙曲線的漸近線方程漸近線方程，得 a、b 的另一個方程，求出 a、b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【解答】解：由題意， =，拋物線 y2=4的準(zhǔn)線上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，雙曲線的

21、一個焦點在拋物線 y2=4x 的準(zhǔn)線方程為 x=                                   x雙曲線的方程為故選：B【點評】本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬

22、于基礎(chǔ)題（7 5 分）已知定義在 R 上的函數(shù) f（x）=2|xm|1（m 為實數(shù)）為偶函數(shù)，記 a=f（log 3），b=f（log 5），c=f（2m），則 a，b，c 的大小關(guān)系為（）0.52AabcBacbCcabDcba11【考點】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù) f（x）為偶函數(shù)便可求出 m=0，從而 f（x）=2|x|1，這樣便知道f（x）在0，+）上單調(diào)遞增，根據(jù) f（x）為偶函數(shù)，便可將自變量

23、的值變到區(qū)間0，+）上：a=f（|log 3|），b=f（log 5），c=f（0），然后再比較0.52自變量的值，根據(jù) f（x）在0，+）上的單調(diào)性即可比較出 a，b，c 的大小【解答】解：f（x）為偶函數(shù)；f（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上單調(diào)遞增，并且 a=f（|log 3|）=f（log 3），b=f（log 5），0.522c=f（0）；0log 3log 5

24、；22cab故選：C【點評】考查偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間 0，+）上，根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小對數(shù)的換底公式的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性定義的運用8（5 分）已知函數(shù) f（x）=，函數(shù) g（x）=bf（2x），其中bR，若函數(shù) y=f（x）g（x）恰有 4 個零點，則 b 的取值范圍是（）A（ ，+）B（， ）C（0， ）D（ ，2）12【考點】53：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系【專題】2：創(chuàng)新題型

25、；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】求出函數(shù) y=f（x）g（x）的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù) h（x）=f（x）+f（2x），作出函數(shù) h（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可【解答】解：g（x）=bf（2x），y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x），由 f（x）b+f（2x）=0，得 f（x）+f（2x）=b，設(shè) h（x）=f（x）+f（2x），若 x0，則x0，2x2，則 h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若 0x2，則2x0，02x2，則 h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2

26、x|=2x+22+x=2，若 x2，x2，2x0，則 h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即 h（x）=，作出函數(shù) h（x）的圖象如圖：當(dāng) x0 時，h（x）=2+x+x2=（x+ ）2+  ，當(dāng) x2 時，h（x）=x25x+8=（x ）2+  ，故當(dāng) b= 時，h（x）=b，有兩個交點，當(dāng) b=2 時，h（x）=b，有無數(shù)個交點，由圖象知要使函數(shù) y=f（x）g（x）恰有

27、 4 個零點，即 h（x）=b 恰有 4 個根，則滿足 b2，故選：D13【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵二.填空題（每小題 5 分，共 30 分）（9 5 分）i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（12i） a+i）是純虛數(shù)，則實數(shù) a 的值為2【考點】A1：虛數(shù)單位 i、復(fù)數(shù)【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部等于 

28、0 且虛部不等于 0 求得a 的值【解答】解：由（12i）（a+i）=（a+2）+（12a）i 為純虛數(shù)，得，解得：a=2故答案為：2【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件，是基礎(chǔ)題（m10 5 分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位： ），則該幾何體的體積為m314【考點】L!：由三視圖求面積、體積【專題】11：計算題；5F：空間位置關(guān)系與距離【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱與兩個圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面相同的

29、圓柱與兩個圓錐的組合體，且圓柱底面圓的半徑為 1，高為 2，圓錐底面圓的半徑為 1，高為 1；該幾何體的體積為V=2×  12×1+ 12 2幾何體= 故答案為： 【點評】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目11（5 分）曲線 y=x2 與 y=x 所圍成的封閉圖形的面積為【考點】69：定積分的應(yīng)用【專題】11：計算題；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為

30、0;0，積分上限為 1，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可【解答】解：先根據(jù)題意畫出圖形，得到積分上限為 1，積分下限為 015直線 y=x 與曲線 y=x2 所圍圖形的面積 S= 1（xx2）dx0而 1（xx2）dx=（0曲邊梯形的面積是 故答案為： ）| 1=  =0【點評】本題主要考查了學(xué)生會求出原函數(shù)的能力，以及考查了數(shù)形結(jié)合的思想，同時會利用定積分求圖形面積的能力，解題的關(guān)鍵就是求原函數(shù)12（5

31、0;分）在（x）6 的展開式中，x2 的系數(shù)為【考點】DA：二項式定理【專題】11：計算題；5P：二項式定理【分析】在二項展開式的通項公式中，令 x 的冪指數(shù)等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2 的系數(shù)【解答】解：（x）6 的展開式的通項公式為 T =   （x）6r （  ）r=r+1（ ）r x62r，令 62r=2，解得 r=2，展開式中 x2 的

32、系數(shù)為×  =  ，故答案為：【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題1613（5 分）在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，已知ABC 的面積為 3，bc=2，cosA= ，則 a 的值為8【考點】HR：余弦定理【專題】58：解三角形【 分 析 】 由 cosA= ， A  （ 

33、;0 ，  ）， 可 得 sinA=         利用 SABC=       =    ，化為 bc=24，又 bc=2，解得 b，c由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA 即可得出【解答】解：A（0，），sinA=    ABC=&#

34、160;      =       bc=，化為 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=36+1648×=64解得 a=8故答案為：8【點評】本題考查了余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題14（5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC

35、=60°動點E 和 F 分別在線段 BC 和 DC 上，且=  ，  =     ，則     的最小值為【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】2：創(chuàng)新題型；5A：平面向量及應(yīng)用【分析】利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積公式將所求表示為關(guān)于  的代數(shù)式，根據(jù)具體的形式求最值【解答】解：由題意，得到 AD=BC=CD=1，所以=（）

36、60;（）17=（）  （         ）=2 × 1 × cos60°+1 × 1 ×cos60°+×2×1+ ×1×1×cos120°=1+ =  （當(dāng)且僅當(dāng)       時等號成立

37、）；故答案為：【點評】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積公式的運用、基本不等式求最值；關(guān)鍵是正確表示所求，利用基本不等式求最小值三.解答題（本大題共 6 小題，共 80 分）15（13 分）已知函數(shù) f（x）=sin2xsin2（x（）求 f（x）的最小正周期；），xR（）求 f（x）在區(qū)間，  內(nèi)的最大值和最小值【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；H1：三角函數(shù)的周期性；HW：三角函數(shù)的最值【專題】56：三角函數(shù)的求值【分析】（）由三角函數(shù)公式化簡可得 f（x）= s

38、in（2x），由周期公式可得；（）由 x，結(jié)合不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的知識易得函數(shù)的最值【解答】解：（）化簡可得 f（x）=sin2xsin2（x）= （1cos2x） 1cos（2x）= （1cos2x1+ cos2x+sin2x）= （ cos2x+sin2x）= sin（2x）18f（x）的最小正周期 T=；（）x，2x   ，  ，sin（2x）1， sin（2x） ，  ，f（x）在區(qū)間內(nèi)的最大值

39、和最小值分別為，【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬基礎(chǔ)題16（13 分）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加，現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員 3 名，其中種子選手 2 名，乙協(xié)會的運動員 5 名，其中種子選手 3 名，從這 8 名運動員中隨機(jī)選擇 4 人參加比賽（）設(shè) A 為事件“選出的 4 人中恰有 2 名種子選手，且這 2 名

40、種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件 A 發(fā)生的概率；（）設(shè) X 為選出的 4 人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望【考點】CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差【專題】5I：概率與統(tǒng)計【分析】（）利用組合知識求出基本事件總數(shù)及事件 A 發(fā)生的個數(shù)，然后利用古典概型概率計算公式得答案；（）隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 1，2，3，4，由古典概型概率計算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【解答】解：（）由已知，有&#

41、160;P（A）=事件 A 發(fā)生的概率為；（）隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 1，2，3，4P（X=k）=（k=1，2，3，4）隨機(jī)變量 X 的分布列為：，19XP1            2            34隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E（X）=【點

42、評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，是中檔題17（13 分）如圖，在四棱柱 ABCDA B C D 中，側(cè)棱 AA 底面 ABCD，ABAC，11111AB=1，AC=AA =2，AD=CD=1，且點 M 和 N 分別為 B C 和 D D 的中點1 1（）求證：MN平面 ABC

43、D（）求二面角 D ACB 的正弦值；11（）設(shè) E 為棱 A B 上的點，若直線 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值為 ，求線11段 A E 的長1【考點】LS：直線與平面平行；MI：直線與平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角【分析】（）以 A 為坐標(biāo)原點，以 AC、AB、AA 所在直線分別為 x、y、z 軸建1系，通過平

44、面 ABCD 的一個法向量與的數(shù)量積為 0，即得結(jié)論；（）通過計算平面 ACD 的法向量與平面 ACB 的法向量的夾角的余弦值及平方11關(guān)系即得結(jié)論；（）通過設(shè)20=    ，利用平面 ABCD 的一個法向量與  的夾角的余弦值為 ，計算即可（【解答】 ）證明：如圖，以A 為坐標(biāo)原點，以 AC、AB、AA 所在直線分別為 x、1y、z 軸建系，則 A（0，0，0），B

45、（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A （0，0，2），B （0，1，2），C （2，0，2），D （1，2，2），1111又M、N 分別為 B C、D D 的中點，M（1， ，1），N（1，2，1）11由題可知： =（0，0，1）是平面 ABCD 的一個法向量，=0，MN 平面 ABCD，MN平面 ABCD；=（0， ，0），（）解：由（I）可知：=（1，2，2），  =（2，0，0），&

46、#160;  =（0，1，2），設(shè) =（x，y，z）是平面 ACD 的法向量，1由，得，取 z=1，得 =（0，1，1），設(shè) =（x，y，z）是平面 ACB 的法向量，1由，得，取 z=1，得 =（0，2，1），cos ， =，sin ， =     ，二面角 D ACB 的正弦值為11；（）解：由題意可設(shè)=，其中 0，1，E=（0，2），=（1，

47、+2，1），又 =（0，0，1）是平面 ABCD 的一個法向量，21cos， =整理，得 2+43=0，解得 =線段 A E 的長為212 或2= ，（舍），【點評】本題考查直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題（18 13 分）已知數(shù)列a 滿足 a =qa （q 為實數(shù)，且 q1

48、），nN*，a =1，a =2，nn+2n12且 a +a ，a +a ，a +a 成等差數(shù)列233445（1）求 q 的值和a 的通項公式；n（2）設(shè) b =，nN*，求數(shù)列b 的前 n 項和nn【考點】8E：數(shù)列的求和（【專題】11：計算題；32：分類討論；48：分析法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】 1）通過 a =qa 、a 、a ，可得 a

49、60;、a 、a ，利用 a +a ，a +a ，a +a 成n+2n12354233445等差數(shù)列，計算即可；（2）通過（1）知 b =，nN*，寫出數(shù)列b 的前 n 項和 T 、2T 的表達(dá)式，nnnn利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可【解答】解：（1）a =qa （q 為實數(shù)，且 q1），nN*，a =1，a =2，n+2n1222a =q，

50、a =q2，a =2q，354又a +a ，a +a ，a +a 成等差數(shù)列，2334452×3q=2+3q+q2，即 q23q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍），a =；n（2）由（1）知 b =，nN*，n記數(shù)列b 的前 n 項和為 T ，nn則 T =1+2n+3+4+（n1）+n，2T =2+2+3n+4+5+（n1）+n，兩式相減，得

51、0;T =3+ +n=3+n=3+1n=4+    n【點評】本題考查求數(shù)列的通項與前 n 項和，考查分類討論的思想，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題19（14 分）已知橢圓+=1（ab0）的左焦點為 F（c，0），離心率為，點 M 在橢圓上且位于第一象限，直線 FM 被圓 x2+y2=為 c，|FM|=（）求直線 FM 的斜率；（）求橢圓的方程；截得的線段的長23（）設(shè)動點 

52、P 在橢圓上，若直線 FP 的斜率大于，求直線 OP（O 為原點）的斜率的取值范圍【考點】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KH：直線與圓錐曲線的綜合【專題】2：創(chuàng)新題型；5B：直線與圓；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（）通過離心率為，計算可得 a2=3c2、b2=2c2，設(shè)直線 FM 的方程為y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，計算可得結(jié)論；（）通過聯(lián)立橢圓與直線 FM 的方程，可得 M（c，c），利用|FM|=    計算即可；（）設(shè)動

53、點 P 的坐標(biāo)為（x，y），分別聯(lián)立直線 FP、直線 OP 與橢圓方程，分 x（ ，1）與 x（1，0）兩種情況討論即可得到結(jié)論【解答】解：（）離心率為，  =      = ，2a2=3b2，a2=3c2，b2=2c2，設(shè)直線 FM 的斜率為 k（k0），則直線 FM 的方程為 y=k（x+c），直線 FM 被圓 x2+y2=截得的線段

54、的長為 c，圓心（0，0）到直線 FM 的距離 d=，d2+=     ，即（      ）2+=     ，解得 k=，即直線 FM 的斜率為；+（）由（I）得橢圓方程為：=1，直線 FM 的方程為 y=（x+c），聯(lián)立兩個方程，消去 y，整理得 3x2+2cx5c2=0，解得 x= c，或

55、60;x=c，點 M 在第一象限，M（c，c），|FM|=，解得 c=1，a2=3c2=3，b2=2c2=2，24=    ，即橢圓的方程為+=1；（）設(shè)動點 P 的坐標(biāo)為（x，y），直線 FP 的斜率為 t，F(xiàn)（1，0），t=，即 y=t（x+1）（x1），聯(lián)立方程組，消去 y 并整理，得 2x2+3t2（x+1）2=6，又直線 FP 的斜率大于，62x26（x+1）2，整理得：x（2x+3）0 且

56、60;x1，解得 x1，或1x0，設(shè)直線 OP 的斜率為 m，得 m= ，即 y=mx（x0），聯(lián)立方程組，消去 y 并整理，得 m2= 當(dāng) x（ ，1）時，有 y=t（x+1）0，因此 m0，m=，m（，）；當(dāng) x（1，0）時，有 y=t（x+1）0，因此 m0，m=，m（，）；綜上所述，直線 OP 的斜率的取值范圍是：（，）（  ，   

57、60;）【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力、以及用函數(shù)與方程思想解決問題的能力，屬于中檔題2520（14 分）已知函數(shù) f（x）=nxxn，xR，其中 nN ，且 n2（）討論 f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)曲線 y=f（x）與 x 軸正半軸的交點為 P，曲線在點 P 處的切線方程為y=g（x），求證：對于任意的正實數(shù) x，都有 f（x）g

58、（x）；（）若關(guān)于 x 的方程 f（x）=a（a 為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根 x ，x ，求證：|x122x |+21【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】16：壓軸題；2：創(chuàng)新題型；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（）由 f（x）=nxxn，可得 f（x），分 n 為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況利用導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)的單調(diào)性（）設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（x ，0），則可求 x =n，f（x ）=nn2，可求 g（x）000=f（x