空間幾何體體積及表面積(講解)(解析版)(共19頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上考點24:空間幾何體的表面積和體積【思維導圖】【常見考法】考法一：體積1（等體積法之換頂點）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面底面，且，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）如圖，連接.因為底面是平行四邊形，且是的中點，所以也是的中點.又因是的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）在中，因為，所以，則.又因為側面底面，交線為，而平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（3）取中點為，連接.因為，為的中點，所以，又因為側面底面，交線為，所以平面.因為，所以，所

2、以.所以，所以三棱錐的體積.2.（等體積法之點面距）已知三棱錐中，為的中點，為的中點，且為正三角形.（1）求證：平面；（2）若，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：如圖，為正三角形，且為的中點，.又為的中點，為的中點，,.又已知,平面,.又,平面.（2）解：法一：記點到平面的距離為，則有 ，又,，又，在中，又，即點到平面的距離為.法二：平面平面且交線為，過作，則平面，的長為點到平面的距離；，又，.又，即點到平面的距離為.3（補形法）將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積【答案】（1）見解析；（2）.【解

3、析】（1）取中點為，連接、在正方形中，為的中點，為的中點在正方體中，且，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，為的中點，且，則四邊形為平行四邊形，又平面，平面，因此，平面；（2）正方體的棱長為，又，且，而，4（分割法）如圖，矩形中，、是邊的三等分點.現(xiàn)將、分別沿、折起，使得平面、平面均與平面垂直.（1）若為線段上一點，且，求證：平面；（2）求多面體的體積.【答案】(1)見證明(2) 【解析】（1）分別取，的中點，連接，因為，所以，且.因為，所以，且.因為面、面均與面垂直，所以面，面，所以，且.因為，所以，所以是以為斜邊

4、的等腰直角三角形，故，而，則，故面面，則面.（2）如圖，連接，由（1）可知，且，則四邊形為平行四邊形，故.因為 ，所以 .考法二：表面積1如圖，在四棱錐中，.為銳角，平面平面.（）證明：平面；（）與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的表面積.【答案】（）證明見解析；（）.【解析】（）如圖所示：作于，因為平面平面 所以平面. 所以取中點為，則，且所以所以， 又為銳角，點與點不重合.所以平面.又，與為平面內兩條相交直線，故平面.（）由（）知：平面，故即為與平面所成角，.在中，故，.而，所以故所求表面積為：.2如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點，為線段上的動點.（1）證明：平面；（2）若將直三棱柱沿平面

5、截開，求四棱錐的表面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：連接，因為，分別為，中點，所以，又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又為中點，所以，又，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）連接，因為，平面，平面，所以平面，所以，在中，所以，所以，所以四棱錐的表面積.3如圖,四棱錐中,底面是菱形,平面,是上一動點.（1）求證:平面平面;（2）若,三棱錐的體積為,求四棱錐的側面積.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】(1)平面,平面,.底面是菱形.又,平面,平面,平面.又平面,平面平面.(2)設菱形的邊長為, .在中, .又 平面,故.又,解得:,又平面, , 四棱錐的

6、側面積為:.考法三：求參數(shù)1如圖，在以、為頂點的五面體中，面是等腰梯形，面是矩形，平面平面，. （1）求證：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為四邊形是矩形，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又面，所以，在等腰梯形中，因，故，即，又，故平面，平面，所以平面平面；（2）的面積為，平面，所以，平面，故.2如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，是上一點，平面平面.（1）若是的中點，求證：平面；（2）設=，當取何值時，三棱錐的體積為？【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為，所以.因為是的中點，所以.，所以，所以.又因為平面平面所

7、以平面所以，所以平面.（2）設，所以，因為是等邊三角形，平面平面點到平面的距離，即為四棱錐的高，且因為所以整理得：又因為解得考法四：求最值1如圖，在直三棱柱中，點為側棱上一個動點（1）求此直三棱柱的表面積；（2）當最小時，求三棱錐的體積.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）將三棱柱展開成矩形，連接，交 于點，則此時最小.， .平面，且平面，又且，平面，平面為到平面的距離，.2如圖1，在矩形中，點在線段上，.把沿翻折至的位置，平面，連結，點在線段上，如圖2.（1）證明：平面；（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）依題意得，在矩形中，所以

8、，.在線段上取一點，滿足，又因為，所以，故，又因為，所以，因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）設到平面的距離為，又，所以，故要使三棱錐的體積取到最大值，僅需取到最大值.取的中點，連結，依題意得，則，因為平面平面，平面，故當平面平面時，平面，.即當且僅當平面平面時，取得最大值，此時.如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，得，設是平面的一個法向量，則得令，解得，又因為平面的一個法向量為，所以，因為為鈍角，所以其余弦值等于3如圖1，在邊長為4的正方形中，是的中點，是的中點，現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.（1）求證：平面；（2

9、）求五棱錐的體積最大時的面積.【答案】（1）見證明；（2）【解析】證明：（1）在圖1中，連接.又，分別為，中點，所以.即圖2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在翻折的過程中，當平面平面時，五棱錐的體積最大.在圖1中，取的中點，的中點.由正方形的性質知，.在圖2中，取的中點，分別連接，取中點，連接.由正方形的性質知，.又平面平面，所以平面，則.由，有，.同理可知.又為中點，所以，所以，所以.4如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面，且（）若為線段的中點，求證平面；（）求三棱錐體積的最大值；（）若，點在線段上，求的最小值【答案】（）詳見解析；（）；（）【解析】（）在中，因為，為的中點，所以又垂直于圓所在的平面，所以因為，所以