高中數(shù)學(xué)5.2含有絕對(duì)值的不等式5.2.2含有絕對(duì)值的不等式的證明知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版選修4-5

1、含有絕對(duì)值的不等式的證明自主整理1. 對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、 b, 設(shè)它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、 B, 那么 |a-b|的幾何意義是_, 即線段 AB的 _.2. 絕對(duì)值不等式的性質(zhì) .(1)|a+b|_|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng) _時(shí)取“ =”.(2)|a|-|b|_|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng) _時(shí)取“ =”.(3)|a-b|_|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng) _時(shí)取“ =”.(4)|a-b|_|a|-|b|,當(dāng)且僅當(dāng) _時(shí)取“ =”.3. 三個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式 .|a- c| |a -b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng) _時(shí)取“ =”.高手筆記1. 含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)定理推廣:(1)|a1+a2+a3|

2、 |a 1|+|a 2|+|a 3|;(2)|a+a +a + +a | |a1|+|a|+ +|a|.123n2n2. 在應(yīng)用含有絕對(duì)值的不等式求某些函數(shù)的最值時(shí), 一定要注意等號(hào)成立的條件 .名師解惑對(duì)絕對(duì)值不等式的幾何意義的理解.剖析 : 絕對(duì)值不等式 |a|-|b| |a ±b| |a|+|b|的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差的絕對(duì)值與絕對(duì)值的和、差的關(guān)系. 用向量 a、 b 替換實(shí)數(shù) a、b 時(shí), 問(wèn)題就從一維擴(kuò)展到二維. 當(dāng)向量 a、 b不共線時(shí) , a+b、 a、 b 構(gòu)成三角形 , 有 | a+b| | a|+| b|. 當(dāng)向量 a、 b 共線時(shí) , 若 a、 b 同向 (

3、相當(dāng)于 ab0),| a+b|=| a|+| b|; 若 a、 b 異向 ( 相當(dāng)于 ab 0),| a+b| | a|+| b|. 這些都是利用三角形的性質(zhì)定理, 如兩邊之和大于第三邊等. 這樣處理 , 可以形象地描繪絕對(duì)值三角不等式,更易于記憶和利于定理的應(yīng)用. 絕對(duì)值三角不等式體現(xiàn)了“放縮法”的一種形式，但放縮的“尺度”還要仔細(xì)把握, 如不等式 |a|-|b| |a|- |b|a+b| |a|+|b|也成立, 因?yàn)?|a|-|b| 不一定是正數(shù).講練互動(dòng)【例 1】若 a b 0, 則下列結(jié)論中正確的是()A. 不等式和均不成立B. 不等式和均不成立C.不等式和 (a+) 2 (b+) 2

4、 均不成立D.不等式和 (a+) 2 (b+) 2 均不成立解析 : a b0, 成立 .1 / 5|a| |b|.,即不成立 .故 A錯(cuò).由 a b 0, 得 -b 0, a-b a.又a-b 0,a 0,即不成立.故B正確.由 a b 0, 得 0, a+ b+ 0.|a+| |b+|, 即 (a+ ) 2 (b+) 2.故 C、D錯(cuò).答案:B綠色通道本題利用不等式的基本性質(zhì)及絕對(duì)值的定義進(jìn)行推導(dǎo)判斷.變式訓(xùn)練1. 設(shè) ab 0, 下列四個(gè)不等式 : |a+b| |a|, |a+b| |b|,|a+b| |a- b|,|a+b| |a|-|b|中正確的是 ( )A. B. C.D.答案:C

5、【例 2】設(shè) m等于 |a| 、 |b| 和 1中最大的一個(gè) , 當(dāng)|x| m時(shí) , 求證 :| 2.分析 : 本題的關(guān)鍵是如何使用“m等于 |a| 、 |b| 和 1 中最大的一個(gè)”這一條件, 而 |a| 、|b| 、 1哪一個(gè)最大 , 會(huì)有三種不同的情況, 較復(fù)雜 , 但不管誰(shuí)最大 , 總有 m|a|,m |b|,m 1成立,而| +| | |+|, 只需比較 |a| 與 |x| 的大小和 |b| 與 |x2| 的大小關(guān)系即可 .證明 : 由題意 , 知 m|a|,m |b|,m 1,又 |x| m,|x| |a|. |1.|x| m|b|,| | 1.|x| m1, 1.|+| |+|=

6、|+| ·1+1=2 成立 .綠色通道分析題目時(shí) , 題目中的語(yǔ)言文字是我們解題的信息來(lái)源與依據(jù). 而解題時(shí)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)2 / 5言也往往需要從文字語(yǔ)言中“翻譯”轉(zhuǎn)化過(guò)來(lái), 準(zhǔn)確地理解題目中的文字語(yǔ)言, 適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行轉(zhuǎn)化也就成了解題的關(guān)鍵. 如本題題設(shè)條件中的文字語(yǔ)言“m等于 |a| 、 |b| 和 1 中最大的一個(gè)”轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言“ m|a| 、|m| |b| 、m1”是證明本題的關(guān)鍵, 但如果分情況討論就太麻煩了 .變式訓(xùn)練2. 已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a 、b R) 的定義域?yàn)?-1,1 .(1) 設(shè) |f(x)| 的最大值為 m,求證 :m ;(2) 在 (1)

7、中, 當(dāng) m= 時(shí), 求 f(x) 的表達(dá)式 .2(1) 證明 : f(x)=x+ax+b,x -1,1 且 |f(x)|m,4m2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|=2|b|+|1+a+b|+|1-a+b| |(1+a+b)+(1 -a+b)-2b|=2.m.(2) 解 : 由 m=, 得|f(0)|=|b|,-b.同理 ,-1+a+b ,-1- a+b .兩式相加 , 得 - 12+2b1,-b -.由得 b=- .當(dāng)b=-時(shí),由-1+a+b,得- 1a0;由-1- a+b,得0a1.由得 a=0.f(x)=x2- .【例 3】已知 a、b R,a 0, 求證 :.分析 : 本題要

8、證的不等式包含|a+b|、 |a-b|、 |a|-|b|和 2|a|.因而需要利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)將2|a|化為 |a+b+a-b| |a+b|+|a-b|, 這是一種常用的拼湊法. 其次 , 觀察不等式的3 / 5右邊含有 |a|-|b|,而|a|-|b|可能為正值 , 也可能為負(fù)值, 需分情況進(jìn)行討論.證 明 : (1) 若 |a| |b|,左 邊 =,+.左邊=右邊 .(2) 若 |a| |b|,左邊 0, 右邊 0,原不等式成立. 綜上可知 , 原不等式成立 .綠色通道分析所要證的不等式的結(jié)構(gòu), 抓住特點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造, 運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s變換 , 從而證出 .變式訓(xùn)練3

9、. 已知 0,|x-a| ,|y-b| , 求證 :|2x-3y+3b-2a|5.證明 : |2x -3y+3b-2a|=|2(x-a)-3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.2【例 4】設(shè) f(x)=x-x+3, 若 |x-a| 1, 求證 :|f(x)-f(a)| 2|a|+2.分析 : 本題為函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題, 實(shí)質(zhì)是用函數(shù)表述的不等式, 可將不等式的左邊代入“翻譯” , 再根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行變換.證 明 : f(x)=x 2- x+3, |f(x) -f(a)|=|x 2-x+3-(a 2-a+3)|=|(x 2-a 2)-

10、(x-a)|=|(x-a)(x+a-1)|=|x- a| ·|x+a -1|.|x -a|1, |f(x)-f(a)|x+a-1|=|(x-a)+(2a- 1)| |x -a|+|2a-1| 1+|2a-1| 1+|2a|+1=2|a|+2成立 .綠色通道不等式常與函數(shù)相結(jié)合, 將所涉及的函數(shù)值“翻譯”出來(lái), 并逐步變形 , 構(gòu)造出能用絕對(duì)值不等式性質(zhì)的新不等式. 本題中 , 由 |x+a-1|改寫(xiě)為 |(x-a)+(2a-1)|這是關(guān)鍵的一步變形,這是因?yàn)?|x+a-1|中含有x, 而不等式的右邊為2|a|+2不含 x, 而有 x 的信息只有 |x-a| 1,所以“變形”“構(gòu)造”在解本題時(shí)是關(guān)鍵.變式訓(xùn)練4. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1 , 且 f(0)=f(1),當(dāng)x1、 x2 0,1 , 且x1x2 時(shí) , 都有|f(x2)-f(x1)|x 2-x 1|, 求證 :|f(x2)-f(x1)|.證明 : 不妨設(shè) 0x1 x21,4 / 5若 x2-x 1, 則 |f(x2)-f(x1)