2020高考數(shù)學素養(yǎng)提升練六文含解析

1、素養(yǎng)提升練（六）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.2. , x 21. （2019 正定中學二模）已知集合 A= x|y=ln （ x -3x-4） , B= x|;>0,全 x 1集 U= R,則（?rA） n B=（）A. 1,2B, -1,2） U （3,4C. 1,3）D. -1,1） U 2,4答案 D解析 集合 A滿足 x23x 4>0, （x4）（ x+1）>0,則 A= x| x&

2、gt;4 或 x<- 1 , ?rA = x| -1<x<4,集合 B滿足 x>2 或 x<1,則（？4） n B= -1,1） U 2,4,故選 D. .a 3i2. （2019 馬鞍山二中一模）已知i-=b+2i（ a, bC R）,其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù) z=abi在復平面內(nèi)對應的點在 （）A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限答案 B解析 由已知得a-3i = （b+ 2i） i = 2 + bi ,由復數(shù)相等的充要條件可得a= - 2.所以z=abi=2+ 3i ,所以復數(shù)z = -2+3i在復平面內(nèi)對應點（2,3）在 b= - 3第

3、二象限，故選B.3. （2019 江淮十校聯(lián)考）為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡 人群中隨機抽取了容量為200的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各100人；男性120人，女性80人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則下列敘述中錯誤的是（）K.Kxi.KHl'o'lo'a'o8nlM b 4 2一1所占比味鎮(zhèn)儲農(nóng)對口籍 上叫 上性A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關B.是否傾向選擇生育二胎與性別有關C.傾向選擇生育二胎的人群中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D.傾向選

4、擇不生育二胎的人群中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)答案 C解析由比例圖可知，是否傾向選擇生育二胎與戶籍、性別有關，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)為0.8 X 120= 96人，女性人數(shù)為0.6 X80= 48人，男性人數(shù)與女性人數(shù)不相同，所以C錯誤,故選C.4. （2019 東北三校聯(lián)考）已知cos a7t61 i .c兀.=3，則 sin 2 a=(7A. 一9 B.79 C.答案 B解析 cos兀+百7t-=cos 2a 十 - = cos 2 a22cos.兀 7_a +"6" = g.故選 B.5. （2

5、019 太原五中模擬）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為3,且7S2=4Ss則公比q的值為（A. 1答案解析q=1,則 7G= 14a1,4&= 16a1,am。，7SW4&,不符合題意；若 qw1,a1 1 - q2a1 1 q42 3 -3由 （2019 全國卷n ）若X1 = F，X2="-是函數(shù)f（x ） = sin 3 x（ 3 >0）兩個相鄰的極值 44點，則3 =（）A. 2 B. 3 C . 1 D. 122答案 A解析由題意及函數(shù)y = sin ax的圖象與性質(zhì)可知，1一32兀cT= 4 . , T=兀,一 =兀,一3=2.故選 A.2443 （

6、2019 日照一中三模）已知某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的各條棱中最長 棱的長度為（）&=4&，得7x /q =4X ,q又 q>0, 'q=號故選 C.正規(guī)國4惻視圖A. 4 B . 5C. 13 D. 26答案 D解析三視圖還原的幾何體是一個側面垂直于底面的三棱錐，記為三棱錐A- BCD如圖,過點A作AE! BD于點E,過點C作C"BD于點F,連接CE AF由三視圖可得， AE= 4, BD= 4, BE= 3, ED= 1, BF= 2, FD= 2, CF= 3.所以 CE= C+F=9+1 = 10, AC= CE + A=10+16=2

7、6, Ag= bE + A=9+16=25, aD= A+ dE=16+1 = 17, BC= DC= fD + CP= 2?+32= 13,所以最長的棱為 AC其長度為26.故選D.8. （2019 常州高中模擬）已知直線l : 2x+y-8=0上的兩點 A, B,且|AB=4,點P 為圓D: x2+y2 + 2x-3 = 0上任意一點，則 PAB的面積的最大值為（）A. 5m+ 2 B , 25 + 3C. 4m+ 2 D . 4/ + 4答案 D解析 圓D： x2+y2 + 2x3=0變形為（x+1） 2+y2 = 4,可知圓心 D（ - 1,0） , D到直線2/5+2,可知（$ PA

8、.max一| 2 - 8| 廠 ，一 , 一，,，AB的距離也旨=275,貝恫上P點到直線的距離的最大值為1 一一=-« （2m + 2）><4= 44 + 4,故選 D. ，一、,.，a-3 x+L xv 1 ,滿足？ x1,9. (2019 吉林實驗中學三模 )已知函數(shù)f (x )=42log ax a, x>lX2 R且都有fx一 f x2 V 0,則實數(shù)Xi X2a的取值范圍為（）A. 0,B.D.答案解析由題意知f （x ）是減函數(shù)，故0vav1,3.1"4+ 2) - a,.一 13 .解得qwav，故選C.8410. （2019 鹽城二模）已

9、知在四面體 ABCM, AB= AD= BC= C氏BD= 2,平面ABD_平面BDC則四面體 ABCD勺外接球的表面積為（）20 %22 %A.- B . 6兀 C. D . 8兀答案 A解析 AB= AD= BC= CD= BD= 2,所以 ABDBDC勻為正三角形.過正三角形 BDC的中心 O作OdU平面BDCO為四面體 ABCD勺外接球的球心）.設M為BD的中點，外接球的半徑為 R連接AM CM OA過O作OG_ AM點G,易知G為 ABD勺中心，則 OO= OG= MO= MG-MA=乎><2=m,MG= OG=；><m=坐，GA= 芋.在直角三角形333AG

10、O,GA + GO= OA,即222 52=R, R = 1，四面體 ABCD的外接球的表面積320不一.故選A.311. （2019 全國卷I ）雙曲線22c、一b-1（a>0,b>0）的一條漸近線的傾斜角為130° ,則C的離心率為（）A. 2sin40B . 2cos40° C.1_1sin50 ° D. cos50°答案 Db解析由題息可得一a=tan1301+b2=U1 + tan2130。 a1cos50° .故選 D., sin 2130011 + cos2130° =|cos130° I1 , 1

11、12. (2019 安慶一中模擬)已知函數(shù)f (x) =03+2bx2+cx的導函數(shù)f (x)是偶函數(shù),若方程1f ( x) ln x= 0 在區(qū)間一,ee上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的取值范圍是A.C.121-2e1 2D. 1-e，答案解析.f (x)= 6x3 + 2bx2+cx,，f ' (x) =gx2+bx+c.;f ' (x)是偶函數(shù)，b=0,_,1B. T一行.f(x) =gx2+ c.；x2+cln x=0方程f' ( x) In x= 0在區(qū)間1: e上有兩個不相等的實數(shù)根， e一一 1在區(qū)間e，e上有兩個不相等的頭數(shù)根,即ln x ：x2=c在

12、區(qū)間2ee上有兩個不相等的實1e e上有兩個不同的，,、1(x) = _ x=x1-x2x，當 x1 時，6' (x)>0,e增，當xC(1 , e時,曠(x)<0, 6(x)在(1 , e上單調(diào)遞減，x C 1 e 時，6 (x) max e=g(i)=2.又 g e=- 2數(shù)根，可化為 6 (x) = ln x x (x>0)的圖象與y= c的圖象在區(qū)間 一二，6 (e) = 1 12, ()- > () (e) , 1 T-2< c< .2e2 e2e2故選A.第n卷(選擇題，共90分)二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.13.

13、 (2019 濟南一中模擬)已知向量 a =(3,4) , b=( 1, k),且 a,b,則 a+ 4b 與 a的夾角為解析 由 ab 可知 a - b= 0,即一3+ 4k= 0, k= 4,故 b= - 1, 4 , a+ 4b = (3,4) 3, , 、a+4b - a 22八、，兀+ 4 1, 4 = ( 1,7) , cos a = a +4b| a| =2，所以所成的角為 4 y>o,14. (2019 洛陽一高二模)已知實數(shù)x, y滿足不等式組 y<x,且目標函x+ y- me0,數(shù)z=3x 2y的最大值為180,則實數(shù) m的值為.答案 60/ /尸解析 當mco

14、時，不符合題意；當m>0時，畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影 部分所示，15. （2019 浙江高考）在 ABC中,ZBDC= 45° ,貝U BD=, cos/猿/7y2答案仔得1，一”，4解析如圖，易知sin ZC=-,53/ABC= 90 , AB= 4, BC= 3,點 D在線段 AC上.若ABD=.t'rxM/5由正弦定理可得在 BDOK/ %巧一切=<).一.、.,3 z 3 .目標函數(shù)z=3x 2y可變形為y='x 2，作出直線y=,x并平移，結合圖象可知，當平移后的直線經(jīng)過點 A(m,0)時，z=3x- 2y取得最大值為180,所以3m

15、- 0= 180,解得m=BCBDsin / C sin / BDCBC- sin / CB>； sin BDC3 x 三 j- 5_ 12 ;2逅=5 '由 / ABC= / ABDF / CBD= 90° ,可得 cos / ABD= cos(90 / CB= sin / CBD=sin兀一(/ C+ / BD=sin( ZC+ / BDC=sin Z C- cos / BDO cos / C sin / BDC=4X旦3*艮電 52521016 . (2019 濰坊一中三模)直線l : x=my+ 2經(jīng)過拋物線 C: y2= 2px( p>0)的焦點F, 與

16、拋物線相交于 A, B兩點，過原點的直線經(jīng)過弦 AB的中點D,并且與拋物線交于點 E(異于 原點)，則隘的取值范圍是 .答案(2, +oo)解析 因為l：x=m什2恒過定點(2,0)，即拋物線C: y2= 2px( p>0)的焦點為F (2,0), y2= 8x,所以拋物線C的方程為y2=8x,聯(lián)立整理，得y2-8my- 16=0, >0恒成x = m什 2,立，所以y1+y2=8m, x1 +地=my1 + y2)+ 4= 8n2+4,所以弦 AB的中點 D的坐標為(4 n2 +2,4匹直線OD勺方禾§為y = &,即丫=就乎由題意可知，狂°,與拋物線

17、C： y24 2宿+ 1.=8x聯(lián)乂可得 yE=,而m2| OE | yE|2m+ 1|OD lyD m=2 + -2 >2.m三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：60分.17 .(本小題滿分12分)(2019 浙江名校高考聯(lián)盟二模 )已知數(shù)列&+1的前n項和S 滿足 S= 2an, n N*.(1)求證：數(shù)列an+ 1為等比數(shù)列，并求 an關于n的表達式；(2)若 bn = log 2( an+ 1),求數(shù)列( an+ 1) bn的前 n 項和 T

18、n.解 (1)證明：由題可知 S=(a+ 1) + (a2+ 1)+(a3+ 1) + + (an+ 1) = 2an,即 a1+a2 + a3+ an+n=2an.當 n = 1 時，a1 + 1 = 2a1,得 a = 1,當 n>2 時，a+& + a3+ an1+n 1= 2an1,一，得 an + 1 = 2an 2an- 1 ,即 an = 2an- 1 +1 ,所以 an+ 1 = 2( an1+ 1)所以數(shù)列an+1是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，所以 an+1=2X2 n 1=2"，故 2門=2”一1.(2)由(1)知 bn=log2(an+1) =

19、log22n=n,則(an+ 1)bn= nX2n,T= 1 X 2 1 + 2X 2 2+ 3X 2 3+ (n1) X2 L1+ nx2 n2Tn= 1 X 2 2 + 2X 2 3 + 3X 2 4+ (n 1) x2 0 +nx2 n+1一 一_ 一 _ 2 X2n 1兩式相減得一Tn = 21+ 22+ 23+ 2n-nX2n + 1 =-nX2n+1= 2n + 1-22 1nx2n+1 = (1 -n) X2n+1-2所以 Tn=2+(n1) X2 n+1.18 .(本小題滿分12分)(2019 長沙一模)為了解某校學生參加社區(qū)服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該

20、校共有學生 960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:超過1小時不超過1小時男生208女生12m求m n；(2)能否有95%勺把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關？(3)以樣本中學生參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學生中隨機調(diào)查 6名學生，試估1t這6名學生中一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數(shù).附:RK>k。)0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828.2n ad- bc 2K=7bcTdarcb，其中 n=a+b+c+d解(1)根據(jù)分層抽樣法，抽樣

21、比例為n 20+8= .960560 'n= 48;.m48-20-8- 12=8.(2)根據(jù)題意完善2X2列聯(lián)表，如下:超過1小時不超過1小時合計男生20828女生12820合計32164848X 20X812X832 X 16X20X280.6857 V 3.841 ,計算K2=所以沒有95%勺把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關.32 2(3)參加社區(qū)服務時間超過 1小時的頻率為 48 3用頻率估計概率，從該校學生中隨機調(diào)查6名學生，估計這6名學生中一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數(shù)為6X 2= 4(人).319 .(本小題滿分12分)(2019 山東荷

22、澤模擬)如圖，在四棱錐 P ABCDK BCD PARTB是等邊三角形，平面 PADL平面ABCD且AD= 2AB= 4, CD= 2 :'3.(1)求證：平面 PADL平面PCD(2)E是AP上一點，當 BE/平面PCD寸，求三棱錐 C PDE勺體積.解 (1)證明：因為 AD= 4, AB= 2, BD= 273,所以 AD)=A+BC2,所以 ABL BD / ADB= 30 .又因為 BCD等邊三角形，所以/ BDC= 60° ,所以/ ADC= 90° ,所以DCL AD因為平面PADL平面ABCD平面PAD平面ABCD= AD所以CDL平面PAD因為CD

23、?平面PCD所以平面 PCDL平面PAD(2)過點B作BG/ CD交AD于點G,連接GE 因為BG/ CD BG平面PCD CD?平面PCD 所以BG/平面PCD當BE/平面PCD寸，因為 B(T BE= B, 所以平面BEG/平面PCD因為EG平面BEG所以EG/平面PCDPE DG又平面PACT平面PDC PD所以EG/ PD所以頡 . P D在直角三角形 BG碑，BD= 2淄，Z BDG= 30° ,所以 DG= 243cos30 = 3,一 PE DG 3所以PDAT不在平面PACrt,過點E作EFU PDT點H因為CDL平面PAD EH?平面PAD所以CDL EH因為PE

24、CD= D,所以EHL平面PCD所以EH是點E到平面PCM距離.過點A作AML PDT點M則AM=乎*4=2水.EH PE 33 3由 AM/ EH 彳#AMPA14,所以 E卡與一1一 一因為 Spcd= 2X4X2q3=4j3,1, - 3 3所以 V-pde= VE-pdc=. X 4 43 X= 6.32x y-a 由于y' =x,所以切線 DA的斜率為X1,故r = X1. X1 t整理得 2tx - 2y1+1 = 0.設 B(X2, y2),同理可得 2tx 2 2y?+1 = 0.故直線AB的方程為2tx2y+1 = 0.1所以直線AB過定點0,萬.120.(本小題滿分

25、12分)(2019 全國卷出)已知曲線 C： y = 2，D為直線y=一萬上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A, B(1)證明：直線 AB過定點；45, 一 一，(2)若以E 0, 2為圓心的圓與直線 AB相切，且切點為線段 AB的中點，求該圓的方程.1.i2解(1)證明：設 Dt, 一 , A(x1, y1),則 X1 = 2y.1(2)由(1)得直線AB的萬程為y=tx+1,.1y=tx +2，由 2可得 x2-2tx-1 = 0.xy=2于是 x1 + x2= 2t, yd y2= t (x1 + x2)+1 = 2t2+ 1.設M為線段AB的中點，則Mt , t2 + ；.由于

26、EMlAB,而 EM= (t, t22), AB歸向量(1 , t)平行，所以 t + (t22)t=0.解得 t =0 或 t = ± 1.當 t =0 時，|Em=2,所求圓的方程為x2+ y |2 = 4;當t=±l時，|面=啦，所求圓的方程為x2+ y 2 2 = 2.21 .(本小題滿分12分)(2019 開封一模)設函數(shù)f (x ) = (x 1)exgx2.(1)當k=e時，求f (x )的極值；(2)當k>0時，討論函數(shù)f (x )的零點個數(shù).解 (1) fz ( x) = xexkx = x(exk),當 k=e 時，f' (x) = x(e

27、xe),當x<0或x>1時，f ' (x) >0,所以f (x )在(8, 0)和(1 , +8)上單調(diào)遞增，當0<x< 1時，f ' (x)<0,所以f (x )在(0,1)上單調(diào)遞減，ef (x )的極大值為f ( 0) = 1,極小值為f ( 1)= (2)當 0v kv 1 時，令 f' (x) >0,解得 xv In k 或 x>0,f (x )在(00, In k)和(0, +°°)上單調(diào)遞增，在(in k, 0)上單調(diào)遞減，當k=1時，f' (x)>0, f (x )在(一8

28、, +8)上單調(diào)遞增，當 0vkwi 時，當 xC(8, 0)時，f (x ) < f (x )max= f ( in k) = (In k 1) kIn 2 k= - -(In k 1)2 + 1 <0,此時f (x )無零點，當 xC0, +8)時，f ( 0)=1V0, f ( 2) = e2-2k>e2-2>0,又f (x )在0 , +8)上單調(diào)遞增，所以 f (x )在0 , +8)上有唯一的零點， 故函數(shù)f(X )在定義域(一,+8)上有唯一的零點.當k> 1時，令f ' ( x) >0,解得xv 0或x> ln k,f (x )

29、在(00, 0)和(ln k, +°°)上單調(diào)遞增，在(0 , ln k)上單調(diào)遞減，當 xC(8, in k)時，f (x )<f (x )max= f ( 0) = 1v0,此時 f (x )無零點,當 x C in k, 十°°)時，f ( in k) < f ( 0)=1v0,22k+1 k k+1k+i k+1f (k +1) = ke 2= k e % ，t 1.2t .令 g(t)=e t , t = k+ 1>2,則 g (t) = e t ,令 h(t)=g' (t) , h' (t) = e,一1,.

30、 t >2, h' (t)>0, g' (t)在(2, +8)上單調(diào)遞增，g' (t) >g' (2) = e22>0,g(t)在(2,十8)上單調(diào)遞增，得 g(t)>g(2) =e2-2>0,即 f (k +1)>0,所以 f (x )在in k, +)上有唯一的零故函數(shù)f (x )在定義域(一00,+8)上有唯一的零點.綜合知，當k>0時函數(shù)f (x )在定義域(8, +8)上有且只有一個零點.(二)選考題：10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第 一題計分.22 .(本小題滿分10

31、分)選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程(2019 山西太原模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線 C的參數(shù)方程為x= V3cos a ,(a為參數(shù))，以坐標原點 O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，y= 1 + /3sin af兀L直線i的極坐標方程為p sin 0 + =243.(1)求曲線C的普通方程和直線i的直角坐標方程;(2)射線OP的極坐標方程為兀e =y( p>0),若射線OP與曲線C的交點為A,與直線i的交點為B,求線段AB的長.解(1)x = V3cos a ,由y = 1 + qSsin a ,可得y- 1 =cos a , 13sin a ,2所以x十 (y1) = 3c

32、os a + 3sin a =3,所以曲線C的普通方程為x2+(y1)2=3.由 psin 0+，=2口 可得 p 享ine+ose =2弧所以當 psin ep cos e 24=0,所以直線l的直角坐標方程為 x+q3y 4、Q=0.(2)解法一：曲線 C的方程可化為x2+y2-2y-2=0,所以曲線C的極坐標方程為p22psin 0 -2=0., 一兀兀由題息設A p 1, , B p 2,將8 =百代入 p之一 2 P sin 9 2=0,可得 p之一 p 2=0,所以p=2或p=1(舍去)，即p 1= 2,將 8 = 6代入 p sin 9 +- = 2*3,可得 p = 4,即 p

33、 2= 4,所以 | AB = | p i p 2| = 2.一 兀解法二：因為射線 OP的極坐標方程為 9 =萬( P >0)，&八：3所以射線OP的直角坐標萬程為 y = -T-x(x>0),3x2+ y-12=3,由J3解得 a(J3, 1),y = x x>0,3x + /3y-4>/3= 0,由 乖解得R2，3, 2),y=看x x>o , 3所以 | AB =2m_m 2+ 212 = 2.23 .(本小題滿分10分)選彳45:不等式選講(2019 山東荷澤模擬)已知函數(shù)f (x ) =|x-2| + |2x-1|.(1)求不等式f (x )<3的解集；(2)若不等式f (x ) wax的解集為空集，求實數(shù) a的取值范圍.3x+3, x<-,解 (1)解法一：由題意f (x