【北師大版數(shù)學(xué)】【福建地區(qū)】九年級上冊：1.1你能證明他們嗎 第2課時(shí) 教案

1、.1.1 你能證明它們嗎（第2課時(shí)）一、學(xué)生知識狀況分析在八年級下冊第六章證明（一），學(xué)生已經(jīng)感受了證明的必要性，并通過平行線有關(guān)命題的證明過程，習(xí)得了一些基本的證明方法和基本規(guī)范，積累了一定的證明經(jīng)驗(yàn)；在七年級下，學(xué)生也已經(jīng)探索得到了有關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題；而前一課時(shí)，學(xué)生剛剛證明了等腰三角形的性質(zhì)，這為本課時(shí)拓展等腰三角形的性質(zhì)、研究等要三角形的判定定理都做了很好的鋪墊。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)將利用前一課時(shí)所證明的等腰三角形的性質(zhì)定理，進(jìn)一步研究等腰三角形的一些特殊性質(zhì)，以及等腰三角形的判定定理，前者是性質(zhì)定理的直接運(yùn)用與拓廣，后者則是前者的逆命題，可以發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，

2、同時(shí)后者的證明過程中，需要借助反證法，因而反證法的學(xué)習(xí)與運(yùn)用也成為本課時(shí)的教學(xué)任務(wù)之一，為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：1知識目標(biāo)：探索發(fā)現(xiàn)猜想證明等腰三角形中相等的線段，證明等腰三角形的判定定理，進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性；初步了解反證法的含義，并能利用反證法證明簡單的命題；2能力目標(biāo)：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質(zhì)：對稱性，發(fā)展學(xué)

3、生的幾何直覺；引導(dǎo)學(xué)生體會蘊(yùn)含在問題解決過程中的思想方法，如歸納、類比、反證法等。3情感與價(jià)值觀要求鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性4教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)一一猜想證明”的過程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論結(jié)合實(shí)例體會反證法的含義難點(diǎn)：由一般結(jié)論歸納出特殊結(jié)論探求證明思路，特別是反證法的思路含義三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了八個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課；第二環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題 變式練習(xí)；第四環(huán)節(jié)：逆向思考，導(dǎo)出反證法；第五環(huán)節(jié)：適時(shí)提問 導(dǎo)出反證法；第六環(huán)節(jié)：及時(shí)鞏固 隨堂練

4、習(xí)；第七環(huán)節(jié)：探討收獲 課時(shí)小結(jié)；第八環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課活動內(nèi)容：在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?活動目的：回顧性質(zhì)，既為后續(xù)研究判定提供了基礎(chǔ)；同時(shí)，直接提出新的問題，過渡自然，引入本課研究內(nèi)容，而新的問題是原有性質(zhì)的一個(gè)自然拓廣，有助于提高學(xué)生提出問題的能力。第二環(huán)節(jié)：自主探究活動內(nèi)容：在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明。活動目的：讓學(xué)生再次經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，進(jìn)一步體會證

5、明的必要性，并進(jìn)行證明，從中進(jìn)一步體會證明過程，感受證明方法的多樣性?；顒有Чc注意事項(xiàng)：活動中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，如可以漸次提出問題：你可能得到哪些相等的線段？你如何驗(yàn)證你的猜測？你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法？通過學(xué)生的自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測、測量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出：等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等并對這些命題給予多樣的證明。如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學(xué)生得到了下面的證明方法：已知：如圖，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的角平分線求證：BD=CE

6、證法1：AB=AC，ABC=ACB(等邊對等角)1=ABC，2=ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等) 證法2：證明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)在證明過程中，學(xué)生思路一般還較為清楚，但畢竟嚴(yán)格證明表述經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，因此，教學(xué)中教師應(yīng)注意對證明規(guī)范提出一定的要求，因此，注意請學(xué)生板書其中部分證明過程，借助課件展示部分證明過程；可能部分學(xué)生還有一些困難，注意對有困難的學(xué)生給予幫助和指導(dǎo)。第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典

7、例題 變式練習(xí)活動內(nèi)容：提請學(xué)生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，研究課本“議一議”：在課本圖14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么結(jié)論?活動目的：提高學(xué)生變式能力、問題拓廣能力，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。活動注意事項(xiàng)與效果：教學(xué)中應(yīng)注意對學(xué)生的引導(dǎo)，因?yàn)閷W(xué)生先前這樣的經(jīng)驗(yàn)比較少，可能學(xué)生一時(shí)不知如何研究問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：把底角二等份的線段相等如果是三等份、四等份結(jié)果如何呢?從而引

8、出“議一議”。由于課堂時(shí)間有限，如果學(xué)生全部解決上述問題，時(shí)間不夠，可以在引導(dǎo)學(xué)生提出上述這些問題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生證明其中部分問題，而將其余問題作為課外作業(yè)，延伸到課外；當(dāng)然，也可以對不同的學(xué)生提出不同的要求，如普通學(xué)生僅僅證明其中部分問題，而要求部分學(xué)優(yōu)生解決所有的問題，甚至要求這部分學(xué)優(yōu)生思考“還可以提出哪些類似問題，你是如何想到這些問題的”。在學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)注意揭示蘊(yùn)含其中的思想方法。下面是學(xué)生的課堂表現(xiàn)：生在等腰三角形ABC中，如果ABD=ABC，那么BD=CE這和證明等腰三角形兩底角的角平分線相等類似證明如下：AB=AC，ABC=ACB(等邊對等角)又ABD=ABC,

9、 ACE=ACB,ABD=ACE在BDC和CEB中，ABD=ACE，BC=CB，ACB=ABC,BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)生如果在ABC中，AB=AC, ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE也是成立的因?yàn)锳B=AC，所以ABC=ACB，利用等量代換便可得到ABD=ACE，BDC與CEB全等的條件就能滿足，也就能得到BD=CE由此我們可以發(fā)現(xiàn)：在ABC中，AB=AC，ABD=ABC，ACE=ACB，就一定有BD=CE成立生也可以更直接地說：在ABC中，AB=AC，ABD=ACE，那么BD=CE 師這兩位同學(xué)都由特殊結(jié)論猜想出了一般結(jié)論請同學(xué)們把一般結(jié)論的

10、證明過程完整地書寫出來(教師可巡視指導(dǎo))下面我們來討論第(2)問，請小組代表發(fā)言生在ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE由此我們得到了一個(gè)更一般的結(jié)論：在ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE證明如下：AB=AC又AD=AC，AE=AB，AD=AE在ADB和AEC中，AB=AC，A=A，AD=AE，ADBAEC(SAS)BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)生一般結(jié)論也可更簡潔地?cái)⑹鰹椋涸贏BC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE師這里的兩個(gè)問題都是由特殊結(jié)論得出更一般的結(jié)論，這是我們研究數(shù)學(xué)

11、問題常用的一種思想方法，它會使我們得到意想不到的效果例如通過對這兩個(gè)問題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中，相等的線段有無數(shù)組這和等腰三角形是軸對稱圖形這個(gè)性質(zhì)是密不可分的第四環(huán)節(jié)：逆向思考，導(dǎo)出反證法活動過程與效果：教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?生如圖，在ABC中，B=C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了師你是如何想到的? 生由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作

12、BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把ABC分成兩個(gè)全等的三角形師很好同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分組討論生我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把ABC分成了兩個(gè)三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)纫驗(yàn)槲覀兊玫降臈l件是兩個(gè)三角形對應(yīng)兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個(gè)三角形全等的后兩種方法是可行的師那么就請同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來(教師可讓兩個(gè)同學(xué)在黑板上演示，并對推理證明過程講評)(證明略)師我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個(gè)非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形這一定理可以簡單敘述為：等角

13、對等邊我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的對稱美第五環(huán)節(jié)：適時(shí)提問 導(dǎo)出反證法我們類比歸納獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過來”思考問題也獲得了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論如果否定命題的條件，是否也可獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?我們一起來“想一想”：小明說，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也不相等你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?有學(xué)生提出：“我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的因?yàn)槲耶嬃藥讉€(gè)三角形，觀察并測量發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)角不相等，它們所對的邊也不相等但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因?yàn)樗臈l件和結(jié)論都是否定的”的確如此像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?

14、我們來看一位同學(xué)的想法：如圖，在ABC中，已知BC，此時(shí)AB與Ac要么相等，要么不相等假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)A=90°，B=90°，可得A+B=180°，但ABC中A+B+C=180°, “A+B=180°”與“A+B+C=180°”相矛盾，因此ABC中不可能有兩個(gè)直角引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢?引出反證法。都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法第六環(huán)節(jié)：及時(shí)鞏固 隨堂練習(xí) 已知：如圖，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求證：AB=AC證明：ADBC，1=B(兩直線平行，同位角相等)，2=C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角對等邊)第七環(huán)節(jié)：探討收獲 課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判