兩類偏微分方程的不變流形

1、兩類偏微分方程的不變流形本文主要研究偏微分方程的不變流形，即中心流形，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形，其中為定義在Banach空間X內(nèi)的非線性偏微分算子，（？）為線性算子，其譜具有三 分性,N為非線性算子且其算子階小于（?）的算子階.在動力系統(tǒng)理論中人們特別關(guān)心方程（0.1）的一些特殊解（平衡解，周期解，擬周期解等）的存在性和穩(wěn)定性，而這些 特解周圍的其它類型解的性質(zhì)可以通過研究這些特解而得到.KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理論是研究偏微分方程擬周期解的一個強(qiáng)有力工具,它主要包括正規(guī)形方法和Newton-Nash-Moser隱函數(shù)定理方法.用正規(guī)形方法得到的擬周期解是線性 穩(wěn)定

2、的.最近 Xavier Carbe,Ernest Fontich 和 Rafael de la Llave 引入?yún)?shù)化方法來 求解線性算子的譜具有三分性的方程的擬周期解.該方法利用線性算子（?）的（離散）譜的三分性把原系統(tǒng)約化到一個有限維的子空間中.雖然該方法也需要無窮次KAM 迭代，但是所解的同調(diào)方程均是有限維.而需要指出的是該方法需要借助數(shù)值模擬等方法預(yù)先求出所考察方程的一個近似解K（t）,即其中|e|Y充分小.本文主要考察Boussinesq方程關(guān)于以上 兩個方程已經(jīng)有大量的研究成果.特別地，Rafael de laLlave在2021證明了（0.2）擁有光滑的中心流形.2021年徐君祥

3、證明了 （0.2）在適 當(dāng)?shù)臈l件下存在一 族具有2個頻率的擬周期解.2021年Rafael de la Llave和 Yannick Sire證明了（0.2）有有限維的擬周期解.2021年和袁小平證明在d = 1情況 下（0.3）存在周期解和2-維的擬周期解.2021年，叢洪滋，劉建軍和袁小平證明 d>1時方程（0.3）也存在2-維擬周期解.2021年叢洪滋和高美娜證明了帶導(dǎo)數(shù)的復(fù)Ginzburg-Landau方程存在2-維擬周期解.2021年程紅玉和司建國證明了具 有擬周期 驅(qū)動的復(fù)Ginzburg-Landau方程存在（m + 2）-維的擬周期解 , 此時驅(qū)動 的頻率滿足Di

4、ophantine條件.本文的具體安排如下:第一章分為五節(jié).第一節(jié)介 紹所研究問題的背景,特別是兩個具體模型的研究背景及研究現(xiàn)狀.第二節(jié)給出 一些常用定義不等式,引理，命題等.第三節(jié)給出有限維和無窮維Hamilton系統(tǒng) 的KAM定理.第四節(jié)給出具有驅(qū)動的非Hamilton系統(tǒng)的KAM定理，其中驅(qū)動頻率滿足Diophantine條件.第五節(jié)我們介紹 Xavier Carbe,Ernest Fontich 和 Rafael de la Llave 在 2003 年引入的參數(shù)化方法并簡單地介紹用該方法構(gòu)造擬周期解的過程.第二章我們構(gòu)造具有擬周期驅(qū)動(驅(qū)動頻率滿足 Diophantine條件)的復(fù)G

5、inzburg-Landau方程的擬 周期解.具體地，我們把所研究方程的解寫成所在空間基的線性組合，把該和代入方程后得到一個格點(diǎn)方程，然后我們做一 個變換消去格點(diǎn)方程中的不可積項(xiàng)，再通過作用量角變量變換和一些簡單的計算我們得到一個可積系統(tǒng)加小擾動的系統(tǒng).最后 利用第一章所證明的定理1.5得到 我們的結(jié)果.第三章我們構(gòu)造 Boussinesq方程和復(fù)Ginzburg-Landau方程的有界解附近的穩(wěn)定流形.值得說明的是該解可以是用 任何方法得到的(向前)有界解.具體地，假設(shè)u(t)=R)是(0.1)的解，我們需要找到另 一個函數(shù)E (t)使得u(t)=K(t)+ E (t也是(0.1)的解.把是u(t尸K(t)和u(t尸K(t)+ E分別代入(0.1)中 并經(jīng)簡單 的計算得到關(guān)于O的開展方程(原方程的變分方和復(fù)Ginzburg-Landau方程程).以擬周期解K( 9 +31