高等數(shù)學(同濟第五版)第八章-多元函數(shù)微分學-練習題冊

1、第八章多元函數(shù)微分法及其應用第一節(jié)作業(yè)一、填空題：1 .函數(shù)z ln(1 x2) Jy x2 3jxy 1的定義域為2 .函數(shù)f (x, y, z) arccos- z的定義域為22X y3 .設f(x,y) x2 y2, (x) cosx, (x) sinxMUf (x), (x) sinxy4 . limx 0 y y a二、選擇題(單選)：一1I1 .函數(shù)的所有間斷點是：sin xsin y(A) x=y=2n 兀(n=1,2,3,)；(B) x=y=n Mn=1,2,3,)；(C) x=y=m 兀(m=0, ±1, ±2,);(D) x=n 兀,y=m 兀(n=0,

2、 ±1, ±2,，m=0, ±1,±2, )。答：()2.函數(shù) f (x, y)(A)無定義;22sin2(x y2,22x y 0在點(0, 0)處:22x y 0(B)無極限；(C)有極限但不連續(xù);(D)連續(xù)。答：()三、求limx 0y a2 xy 4xy2 2四、證明極限lim 2 2X y2不存在。x 0x y (x y)第二節(jié)作業(yè)一、填空題：1 ci/ 2Sin(x y), xy 01 .設f(x, y) xy，則fx(0,1)2 cx ,xy 02.設f(x, y)x (y 1) arcsin /x,則fx(x,1)y二、選擇題(單選)：Y

3、 、，2設Z 2x y ,則Zy等于：(D)2y 4x y(A) y 2x y2 In 4; (B) (x y2) 2yln 4; (C) 2y(x y2)ex y三、試解下列各題：x+z Z1 .設 z lntan 一,求一,一. y x y22 .設 z arctan-y,求 x x y 22四、驗證r xx2 y2 z2滿足一2x y第三節(jié)作業(yè)、填空題:1 .函數(shù)z義當x 2,y 1, x 0.1, y0.2時的全增量z全微分值xdz.y2 .設 z ex,則 dz.二、選擇題（單選）：1 .函數(shù)z=f（x,y）在點Po （xo,yo）兩偏導數(shù)存在是函數(shù)在該點全微分存在的：（A）充分條件

4、；（B）充要條件；（C）必要條件； （D）無關條件。答：（）(A)充分必要條件；(C)充分非必要條件;三、試解下列各題：1.設 z xy x,求 dz. y2 . f(x,y)在(xo,yo)處兩個偏導數(shù)fx(X0,yo),fy(X0,yo)存在是f(x,y)在該點連續(xù)的:(B)必要非充分條件；(D)既非充分亦非必要條件。答：(2.設u xyz,求du.3 .求函數(shù)z ln(1 x2 y2)當x 1,y2時的全微分x4 .設z arccos j ，求 dz.22x y四、證明：f (x,) d|xy在點(0,0)處的偏導數(shù)存在，但在點 (0,0)處不可微。第四節(jié)作業(yè)一、填空題：1 .設z ex

5、 2y,而x sint,y t3,則生 dt 2 .設 z u2lnv,而 u ,v 3x 2y,貝1J-z yx3 .設 z f (x y,x y), f可彳,則 dz.二、選擇題(單選)：1 .設u (x y)z,而z x2 丫2,則川 uy等于：(A)2z(x y)z1 (x y)(x y)zln(x y);(B) 2z(x y)z;(C) 2(x y)z(x y)ln(x y);(D) 2(x y)z1ln(x y).答：()2 .設z 3xy,而xf (y)且f可導，則dz等dy(A)3xyy xf'(y)ln3;3xy(C) x yf'(y); ln33 .設u f

6、 (x y,xz)有二階連續(xù)偏導數(shù) '"""(A) f2xf11 zf12 xf12;""(C) xf21 xzf22 ;(B)3xyx yf'(y)ln3;(D)zxf'(y) zy 3xy x yf'(y)ln3答：()2，則x z"'"(B) xf12 xf2 xzf22 ;'""(D) f2 xf21 xzf22.答：()三、試解下列各題：一 x 、dz1 .設 z arctan(xy),而y e ,求一. dx2 . 求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)(其中

7、f 具有一階連續(xù)偏導數(shù)) ：(1) u f(x2y2,exy).(2) u f(x,xy,xyz).2Xz3.設xf(x,-), f具有二階連續(xù)偏導數(shù),求 一zyx y4.設z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy, 其中f具有連續(xù)偏導數(shù),求全微分dz。5.設z f (x, y),且f具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，而x2u,y，試以u, v為新的自變量交換方程：y xx 0.y四、設z 2y一天 f(x y )1 z，其中f(u)為可導函數(shù)，驗證：x x第五節(jié)作業(yè)、填空題:1.設lnTxV ar曲（，則稱z2 2x 4y 4z 10 0所確定，則2.設z z(x, y)由方程x2zx 3.設zz(

8、x, y)由方程xz4.由方程 xyz Jx2 y2 z2 dz.2arctany 0W 確定，貝 U.x y V2所確定的函數(shù)z z（x, y）在點（1,0, 1）處的全微分5.設函數(shù)x x(u, v)和y(u,v)由方程組 x u yv y v xu所確定,則 u二、選擇題（單選）：1.函數(shù)yy(x, z)由方程xyzexy所確定，則上是:(A)y(x 1).、；x(1y)(B)yx(1 y)xy；2.已知xx xe ,xetant, y cost,貝Udz dt(B)1-;2(C) 1；(D)0.三、試解下列各題:1 .設x 求二及二.z y x y22 .設 z3 3xyz a3,求

9、x y3 .設 x eu cosv, y eu sin v, z uv,試求-z 和-z. x y四、設(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，證明由方程(cx-az,cy-bz ) =0所確定的函數(shù)z=f(x,y)滿足 a b c. x y第六節(jié)作業(yè)一、填空題:1 .曲線x et cost, y et sint, z 2et在相應于t 0點處的切線與o殍由夾角的正弦 sin2 .曲線y f (x), zg(x, y)(其中f (x)和g(x, y)皆可微)上點(x0, y0, z0)處的切線方程是.、選擇題(單選)oy1 .曲線xyz 2上(2,1,1)點處的一個切向量與oz軸正向成銳角，則此切向量與x

10、y z 0軸正向所夾角為：3網(wǎng) 4;(B)34(C)3;(D)答：()2 .曲面xy2 z3 12±點(1, 2,2)處的切平面方程是：(A) x y 3z 5;(B) x y 3z 7;(C) x y 3z 3；(D) x y 3z 9.3 .曲線2x=y 2,z=x 2在某一點處的切向量于三個坐標軸正向夾角相等，與這一點相應的x值等于：1 -1(A)1；(B)-；(C)-；(D)2.2 3答：()三、試解下列各題：1.求曲線x t sin t, y 1 cost, z 4sin工在點(一 1,1,2/2)的切線方程及法平面22方程.2 .求橢球面x2 2y2 z2 1上平行于平面

11、x y 2z 0的切平面方程xyz50 .3 .求曲線2 y22在(3,4,5)點處的切線方程xyz四、試證曲面x JyJzK(a0)上任何點處的切平面在 各坐標軸上 的截距之和等于a.第七節(jié)作業(yè)、填空題:1.函數(shù)z=x2+y 2在點（1,2）處沿從點（1,2）到點（2,2 <3）的方向導數(shù)等于2.數(shù)量場f（x,yz）=x+2y+3z 在（-1,2,0）點處的梯度是3.設 f(X,y尸X 2-xy+y2,則f（x,y）在點（1,1）變化率最大方向上的單位向量為二、選擇題（單選）：函數(shù) y xyz 2yz1(A) 一；53ft 點(11,1)沿 I1(B)；52i 2j k的方向導數(shù)等于：

12、（C）1；31 (D)- 3三、試解下列各題:1.求函數(shù)z 12yr)在點( b22）處沿曲線衛(wèi)、, 22a2% 1在這點的內(nèi)法線方向的b2方向導數(shù).2.求函數(shù)u=xyz在點M（1,1,1）沿從點（1,1,1）到點（2,5,3）的方向的方向導數(shù)。3. 設 f(x,y,z)=x 2=2y 2+3z 2+xy+3x-2y-6z ，求 gradf(1,1,1).4.設n是曲面2x2 3y2 z2 6在點P(1,1,1)處的指向外側的法向量，求函數(shù)22n的方向導數(shù).x一也在點P處沿方向z四、設u,v都是x,y,z的函數(shù))u,v的各偏導數(shù)存在且連續(xù),證明：grad(uv尸vgradu+ugradv.第八

13、節(jié)作業(yè)一、填空題：1 .函數(shù) f(x,y)=4(x-y)-x 2-y2 的極大值為 。2 .設函數(shù)z=z(x,y)由方程x2+2y 2+3z 2+xy-z-9=0所確定，則函數(shù)z的駐點為3 .函數(shù)z=xy 在閉區(qū)域 xR, y R, x+y <1上的最大值為 。二、選擇題(單選)：1. z x 2y在滿足x2y25的條件下的極小值為：(A)5；(B) 5;(C)2.5;(D) 25.2. 函數(shù) z=x 2+y 3 在 (0,0) 處：(A)有極大值；(B)有極小值； (C)沒有極值；(D)既有極大值又有極小值。答： ( )三、試解下列各題：1 . 求函數(shù) f(x,y)=(6x-x 2)(

14、4y-y 2 )的極值。2 .要造一個容積等于 k的長方體無蓋水池，應如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面積最小。四、將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉而構成一個圓柱體，問矩形的邊長各為多少時，才可使圓柱體的體積為最大？第八章綜合作業(yè)一、填空題（每小題 4分，共20分）：1 .已知 u xy yz zx,貝1Jgradu （1,2,3）2 .設z xyex y sin-xr-z y x3 .設 z arctan x-y,貝1Jdz x y4 .曲面z x2 3y2在點（1,1,4）處的法線方程是 5 .設z f （x, y）在點（x0, y0）處存在一階偏導數(shù)，且在（x0, y0）處取得極值則必有

15、 成立.二、選擇題（單選）（每小題5分，共20分）：1. limx 0y 03xyxy 1 1(A) 3;(B) 6;（C）不存在;(D) 8答： ()2 .若函數(shù)f(x,y)在點(xo,yo)處：( A )偏導數(shù)存在， f(x,y) 在該點一定可微；( B )連續(xù)，f(x,y) 在該點偏導數(shù)一定存在；(C)有極限，則f(x,y)在該點一定連續(xù)；( D )可微，f(x,y) 在該點連續(xù)且偏導數(shù)一定存在。答： ()3 .曲線x sint, y cos2t,z sintcost在對應于t處的切線與xoy面的夾角是：(A)2;（b）W；3(C)4;1(D)arccos .3答：（4 .函數(shù)z=2x 3-4x，2xy-y 2的極值點為:(A) (0, 0)；(B) (1(C)(0, 0)與(11)(D)無極值點O答：（三、試解下列各題（每小題 7分,共28分）：1.設f(x, y,z)z 戶，求 df(1,1,1). iy2.設 ezxyz0,求2.設ux22z ,xr sincos , y rsinsin , zu ur cos，本, r